Закон преобразования компонент вектора

Подставляя в равенство (1 .10) значение 9j по формуле (1 .7), получим закон преобразования компонент вектора при переходе от старых к новым осям [c.391]

Подстановка значения э/ по формуле (1 .б) в равенство (1 .10) дает закон преобразования компонент вектора при переходе от новых осей к старым [c.391]

Исходя из закона преобразования компонент вектора как объекта, не зависящего от поворота координатных осей, вытекает его определение. [c.391]

Подстановка полученного выражения в разложение (1,2) приводит к закону преобразования компонент вектора [c.8]

Разложение вектора (1.1) в новом базисе е- и учет связей (1.2) приводят к закону преобразования компонент вектора [c.11]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Получим, наконец, формулы преобразования компонент векторов и тензоров при переходе от одной системы координат (а ) к другой (а ), связанных законом [c.16]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Лица, предпочитающие вычислительные процедуры абстрактным конструкциям, могут рассматривать этот закон преобразования компонент как определение векторов. А именно, они могут характеризовать вектор заданием его компонент относительно некоторого базиса, а затем использовать закон преобразования для вычисления компонент относительно любого другого базиса. Иными словами, они могут отправляться от перечней упорядоченных наборов из п чисел ( , и "), ( , и")..., ассоциируемых с [c.500]

Основой аналитического определения тензоров является установление определенного закона преобразования их компонент при преобразованиях систем координат. Как и для векторов, этот закон [c.43]

Сумма —результат действия свертывания по индексам а и Р, выполненного над тензором Т а.]. Покажем, что действие свертывания по одной паре индексов понижает ранг тензора на две единицы, т, е. величины являются компонентами тензора первого ранга, т. е. компонентами вектора. Чтобы это доказать, надо рассмотреть закон преобразования величии Та ,. На основании формул преобразования (1.71) имеем [c.57]

Наряду с интервалом могут быть образованы и другие инварианты, представляющие собой комбинации из неинвариантных физических величин. Наиболее важным примером таких инвариантов является определенная комбинация из импульса и энергии тела. Каждая из этих величин в отдельности не является инвариантом, а три компоненты вектора импульса и энергия тела определяют некоторую новую физическую величину, инвариантную по отношению к преобразованиям Лорентца. Применение подобных инвариантов не только упростило формулировку многих физических законов, но и облегчило доказательство их инвариантности. [c.296]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

Для формул преобразования прямолинейных прямоугольных координат характерна таблица коэффициентов Оу,-, из которой определяется закон перехода от вектора с компонентами х,-, г,-, г,- к новому вектору с компонентами Ху, Уу, 2у. Таблица этих коэффициентов (матрица) отделяется обычно двойными чертами (в отличие от определителя). [c.515]

В механике деформируемого тела рассматривают физические величины (векторы и тензоры), не зависящие от выбора системы координат, но иногда их удобнее изучать в некоторых специально выбранных системах координат. Векторы и тензоры в каждой из систем координат задаются совокупностью величин, называемых компонентами вектора или тензора. Если эти компоненты заданы в одной системе координат, то они определены и в любой другой системе, ибо определение вектора и тензора включает и закон преобразования их компонент при переходе от одной системы координат (базиса) к другой. Одним из важнейших достоинств векторного исчисления является.то, что уравнения, характеризующие состояние механической системы (уравнения равновесия или движения,) можно формулировать в инвариантной форме по отношению к координатным системам. [c.7]

Следовательно, вектор подчиняется определенному закону преобразования его компонент (1.5) и отличается от скалярной величины, численное значение которой не меняется при преобразовании координат. Очевидно, что сам вектор не меняется в новых координатах, а меняются только его компоненты. [c.6]

Физические законы, с помош ью которых решаются задачи, в том числе и в механике сплошной среды, должны быть записаны в инвариантной форме, не зависящей от выбора системы координат. Выявление инвариантных свойств математических величин (векторов, тензоров) —основная задача тензорного анализа. Вот почему в тензорном анализе большое внимание уделяется преобразованию систем координат и компонент векторов и тензоров, с чего и начинается изучение математических основ механики сплошной среды. [c.14]

Сравнение (1.3.5) и (1.3.3) указывает, что правило умножения справа тензора Q на вектор а сохраняется в новой системе осей, если компоненты этого тензора подчиняются закону преобразования (1.3.6). Обратное преобразование имеет вид [c.803]

Тензорные поля различных типов определяются подобным образом. При этом компоненты преобразуются как внешнее (или прямое) произведение компонент векторов. Таким образом, закон преобразования для [c.383]

Мы знакомы с понятием вектора — хорошим примером является вектор перемещений и точки трехмерного деформируемого твердого тела. Вектор — это физическая величина, определяемая тремя компонентами в направлениях трех базисных векторов системы координат (см. соотношения (4.15) и (4.18)). Легко видеть, что величины компонент вектора зависят от выбора системы координат. Однако поскольку вектор является физической величиной, то при преобразовании системы координат его компоненты подчиняются определенному закону преобразования. [c.478]

Математически векторы и тензоры определяются с помощью закона преобразования следующим образом ). Векторы и тензоры являются системами чисел или функций, компоненты которых при переходе от системы координат к а " [c.478]

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — Цс,уг1 — аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). [c.20]

Задача 14. Выписать закон преобразования ковариантных и контравариантных компонент векторов при преобразовании прямоугольной системы координат в сферическую и цилиндрическую [c.105]

Координаты д не являются компонентами вектора, поскольку они не преобразуются по закону (16.5) (за исключением случая линейных преобразований). [c.127]

Поворот системы координат. При повороте системы координат, согласно рис. 8.5, перемещения и = их и V = Ну переходят в и соответственно в Ит), и для компонент вектора справедлив закон преобразования в комплексной форме [c.211]

Вектор называют также тензором первого ранга. Соответственно этому компоненты тензора второго ранга в декартовых координатах определяются так, что они преобразуются при повороте системы координат как произведение двух векторов. Закон преобразования имеет вид [c.310]

В некоторой точке (х ) вектор определяется как величина, которая в каждой системе координат имеет четыре компоненты а с тем же законом преобразования, что и дифференциалы координат в (9.10), т. е. [c.215]

Это соотношение между gik метрическим тензором легко получается непосредственно из (9.286), (9.289) и (9.302). С помощью (9.298), (9.319) и (9.313), (9.314) получим следующий закон преобразования для ковариантных компонент стандартного вектора [c.256]

Имея формулы (14.1) и (14.15), дающие законы преобразования для компонентов тензоров второго и четвертого ранга, нетрудно по аналогии написать формулу преобразования для компонентов тензора любого ранга. При этом оказывается, что (в рамках вышеуказанного обобщения) векторы следует рассматривать как тензоры первого ранга, а скаляры — как тензоры нулевого ранга. [c.100]

I, -г + 1,..., I. Поэтому для того, чтобы провести разложение представления Д А (а) на неприводимые представления, достаточно установить кратности собственных значений оператора Щ в базисном пространстве представления К. В соответствии с законом преобразования (17.5) спинор, у которого (в данной системе координат) только одна компонента отлична от нуля, будет собственным вектором инфинитезимального оператора Яз, который в данном случае с точностью до множителя совпадает с оператором 5з проекции на ось Ог полного спина [c.193]

Следовательно, вектор подчиняется определённому закону преобразования его компонент и отличается от скалярной величины, численное значение которой не меняется при преобразовании координат. [c.5]

Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой системы осей дается формулами (1.3.6). Их можно получить также, исходя из зависимости Коши (1.4.5). Совместим N с единичным вектором тогда k s проекции на старые оси квазивектора — напряжения на площадке с нормалью — по (1.4.6) будут [c.28]

Далее, было показано, что Р/ в асимптотически лоренцевых системах координат типа рассмотренных в (11.158), (11.159) и (11.212) — (11.214) равны Pi, вытекающим из эйнштейновских выражений (11.183) и (11.183 )- После того как общековариантиые выражения Pi получены с помощью тетрадного формализма, можно забыть о тетрадах вовсе и перейти к вычислению Pj в системах координат, в которых справедливы комплексы (11.183), (11.266) и (11.272), зависящие только от метрики. Таким путем можно прийти к компонентам 4-импульса изолированной системы, используя закон преобразования 4-вектора. [c.342]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

Векторы определяются компонентами В, входящими в уравнения связей (II.132а). Конечно, это определение здесь условно, так как не рассмотрен закон преобразования функций в[- [c.192]

Таким образом, ковариантные компоненты преобразуются с помощью той же матрицы, что и базисные векторы е,-, контравариантные —с помощью обратной. Это обстоятельство и объясняет название ковариантные в буквальном переводе означает сопреобразующиеся, контравариантные —противопре-образующиеся (по отношению к закону преобразования векторов базиса е,-). [c.314]

Определенный выше вектор называется контрава-риантным вектором в точке Р. Контравариантное векторное поле есть такое соответствие между контрава-риантными векторами и точками многообразия, когда в каждой точке определен один вектор. В любой заданной координатной системе х такое поле определяет при однозначные функции v x), которые связаны с соответствующими функциями v (x) в любой другой КООР динатной системе х уравнениями типа (12.4), где компоненты и частные производные относятся к одной точке. Уравнения (12.4) дают закон преобразования для контравариантного векторного поля. [c.383]

Здесь Ьс являются ковариантньши компонентами вектора в системе 0 , а й — компонентами в системе Ко ариантные тензоры второго ранга подчиняются закону преобразования [c.25]

Рассмотрим закон преобразования ко- и контравариантных компонент поверхностного вектора (X при преобразовании координат сХ , новыми , выражащимися уравнениями [c.15]

Закон преобразования для величин (9.286) очень сложен, но для группы калибровочных преобразований Г и Г являются контравариантными и ковариантными компонентами 4-вектора. Это легко показать, если вспомнить, что калибровочные пребразования не изменяют систему отсчета. Каждая система отсчета R в 4-пространстЕе описывается семейством мировых линий точек отсчета = onst или соответствующим полем касательных времениподобных единичных векторов, направленных в будущее. Эти единичные векторы равны VV , где Fj — 4-скорости точек отсчета системы R. Тогда Г и F-j являются компонентами этих единичных векторов в любой внутренней системе координат S в R, поскольку пространственные компоненты равны нулю и [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...