Интеграл уравнений маятника

Найдем теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (13). Так как [c.410]

Решение. Используя первый интеграл а2/2—1=ф /2— os ф, заключаем, что при а<с2 постоянная а играет роль амплитуды линейных колебаний. Запишем теперь уравнение маятника в виде системы [c.322]

Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Следует, однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др. [c.365]

Рассмотрим вначале случай, когда вынуждающая сила постоянна, т. е. Р (О = Р- Такая ситуация, например, имеет место для пружинного маятника (рис. 39.1). Частный интеграл уравнения [c.219]

Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника относительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно I. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). [c.376]

Из уравнения (2.15) непосредственно видно, что величина Ь не влияет на динамику маятника. Фазовым пространством рассматриваемой системы является цилиндр с координатами е, б (О == 0 < 2л). Поскольку функция Лагранжа L не зависит явно от времени, имеет место обобщенный интеграл энергии [c.30]

Уравнение движения маятника допускает интеграл энергии [c.227]

Отметим, что уравнение колебаний физического маятника допускает интеграл энергии [c.459]

Показать, что система канонических уравнений Гамильтона для сферического маятника (см. 3.12) допускает первый интеграл, отличный от интеграла энергии. Каков физический смысл этого интеграла [c.702]

Следует заметить, что при замене уравнения движения первым интегралом возможно привнести в рассмотрение побочное решение, обусловленное математическим способом нахождения первого интеграла. Например, рассмотрим математический маятник, т. е. точку массы т, движущуюся в плоскости и связанную с неподвижной точкой О невесомым нерастяжимым и несжимаемым стержнем От длины I (рис. 80). Пусть на точку действует сила тяжести mg и реакция стержня R, направленная по стержню. [c.97]

Когда маятник совершает лишь вертикальные колебания, мы имеем С = 0 и, следовательно, = уравнение относительно Е становится тогда интегри- [c.224]

Позволим себе еще пояснить фазовый портрет физического маятника, изображенный на рис. 1.6, а. Из дифференциального уравнения физического маятника (1.10) следует интеграл энергии [c.12]

Здесь e — эксцентриситет орбиты смысл остальных параметров разъяснен в п. 3 4 гл. I. При е = О будем снова иметь интегрируемую задачу о колебаниях обычного маятника. Пусть 1хф Q. Тогда, как показано в [36], одна из пар сепаратрис невозмущенной задачи расщепляется, и поэтому при достаточно малых значениях е > О уравнение (3.3) не имеет аналитического интеграла, 2тг-периоди-ческого по и г . [c.268]

Рассмотрим теперь нелинейное уравнение колебаний математического маятника + и +е/ 1))8тг = 0. Покажем, что оно может иметь аналитический интеграл Г г,2,1), двоякопериодический по [c.367]

Качественное исследование поведения интегральных кривых. Из интеграла энергии (9) следует, что решение задачи о движении маятника сводится к решению уравнения известного нам типа (см. 4.7) [c.250]

Длина I плоского математического маятника меняется в зависимости от угла ф отклонения маятника от вертикали но закону / = / (ф). Составить уравнение Лагранжа и найти его первый интеграл. [c.133]

Точка массы т движется но гладкой сфере радиуса г в однородном ноле тяжести (сферический маятник). Составить уравнение Гамильтона-Якоби, найти его полный интеграл и получить закон движения точки в квадратурах. [c.261]

Нетрудно видеть, что оно имеет вид уравнения линейного маятника, при некоторых условиях совершающего колебания около некоторого положения ф, определяемого значением Ь линейного интеграла. [c.42]

Уравнения из (6,29), (6.31), (6.34) образуют полную систему для определения движения маятника на уровне интеграла [c.254]

Примем, что степень кручения стержня равна нулю, стержень изогнут в главной плоскости и, следовательно, упругая линия будет плоской кривой. Кинетическим аналогом такого стержня будет служить маятник, вес которого равен R и который качается около горизонтальной оси. Движение маятника может быть вполне определено по начальным условиям при помощи интеграла энергии. Равным образом и форма нашего стержня определится по уравнению (3) и условиям на конце. [c.418]

Дифференциальное уравнение траектории сферического маятника мы получим, исключая с1( из интеграла энергии (2.68) при помощи интеграла площадей (2.67) и заменяя постоянную с ее выражением (2.72) [c.97]

Пусть I = ОМ (рис. 367) — радиус сферы, по которой движется точка (длина нити). Направим из центра О сферы вертикально вниз ось Ог и будем определять положение маятника сферическими координатами ф и 0, где ф — угол отклонения радиуса ОМ от вертикали, а 0—угол между вертикальными плоскостями MOz и xOz. На маятник М действуют сила тяжести mg и реакция сферы (или натяжение нити) /V. Для составлершя уравнений движения воспользуемся первыми интегралами энергии и площадей. Так как сила mg потенциальная, а связь идеальная и склерономная, то имеет место интеграл энергии (42) [c.427]

Эти линейные уравнения с постоянными коэффициентами и без вторых частей представляют собой шесть уравнений бесконечно малых колебаний маятника, о которых было сказано выше. В этом случае также имеется один первый интеграл, известный а priori. В самом деле, имеем рз y2 1, [c.151]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

Составить уравнение Гамильтона-Якоби для одномерного линейного осциллятора (плоский маятник нри малых отклонениях, колебания груза на пружине, Ь(7-контур). Онределить его полный интеграл и найти закон движения. [c.260]

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ур-ия, в к-рых искомая ф-ия входит под знаком интеграла. Первое И. у. получено и решено Абелем, исследовавшим механич. задачу определить вид кривой, по к-рой двшкется маятник, если время колебания Г есть данная ф-ия наибольшей высоты. Представляя ур-ие искомой кривой в виде з — Ф(г) (з — длина дуги, 2 — высота), мы для ф-ии <р (г) = Ф [г) получаем И. у. А б е л я [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...