Уравнение частот, или вековое уравнение

Это уравнение называется уравнением частот или вековым уравнением. Из предыдущего изложения теории главных колебаний следует, что оно имеет только положительные решения каждому корню j этого уравнения соответствует амплитудный вектор Uj (j = 1, 2,. .., n), причем если какой-либо корень Л/, уравнения (22) будет кратным, то всегда можно найти ровно столько соответствующих ему линейно независимых амплитудных векторов, какова его кратность. Амплитудные векторы из уравнения (21) находятся с точностью до произвольного постоянного множителя. Их нормировка (если она требуется) производится в соответствии с условием (15). [c.504]

Могут быть использованы при решении уравнения частот или векового уравнения. [c.117]

Уравнение (20.62), или эквивалентные ему уравнения (20.63) и (20.64), называется уравнением частот, или вековым уравнением. [c.481]

Уравнение (9.7) и оно же (9.8) в раскрытом виде называется уравнением частот или вековым уравнением. Не следует путать уравнение частот (9.8) с характеристическим уравнением уравнение (9.8) появляется как следствие поиска решения в виде (9.3), а характеристическое — при поиске решения в виде Уравнение (9.8) переходит в характеристическое при р = — А . [c.37]

УРАВНЕНИЕ ЧАСТОТ, ИЛИ ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ. В практической постановке задача об интегрировании системы дифференциальных уравнений малых колебаний сводится к нахождению частных решений, соответствующих главным колебаниям. Именно с этими колебаниями связаны критические резонансные) состояния системы. В предыдущем разделе была установлена форма т ких частных решений когда система совершает одно из главный колебаний, все координаты q изменяются по одному и тому же гармоническому закону [c.122]

Уравнение частот, или вековое уравнение [c.123]

После раскрытия определителя мы получим в левой части многочлен и-й степени относительно X. Таким образом, квадрат частоты Х = оз искомого гармонического решения (10) должен удовлетворять алгебраическому уравнению й-й степени (13). Уравнение (13) называется вековым уравнением или уравнением частот. [c.233]

Раскрывая определитель (14 ) или из (15 ) находим уравнение частот, иначе называемое вековым уравнением [c.596]

Здесь Ху- - горни вековою уравнения или уравнения частот [c.121]

В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все 6,- = О при 1ф j изменяется только координата 6у.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты Xj = (iij удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для q не существует, то Ij — uij (У=1,. .., л) — все корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов Иу, определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. [c.243]

Собственные частоты и главные координаты. В предыдущем параграфе мы видели, что решения вида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты со, а в общем случае при п различных значениях. Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию нескольких колебаний с частотами соь. , Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного колебания или собственными частотами системы. [c.359]

Резонансные частоты определяются из уравнения (49), которое называется вековым уравнением, или уравнением частот. [c.254]

Как мы видели ранее (стр. 87), вырожденное колебание возникает при совпадении двух или нескольких корней векового уравнения. Тогда при той же частоте / уравнения (2,10) бз дут иметь две или несколько систем решений [c.99]

Вещественность и положительность корней векового уравнения очевидны из чисто физических соображений. Действительно, если бы собственные частоты замкнутой системы со содержали мнимую часть, то это привело бы к наличию у ее смещений и скоростей XJ экспоненциально убывающего или возрастающего множителя с Я = Я и, следовательно, к изменению со временем полной энергии системы, что противоречит закону ее сохранения. То же самое утверждение можно доказать и строго математически. [c.239]

В форме определителя (26.4) записано уравнение, называемое характеристическим или вековым оно определяет значение постоянной (О. В нашем случае характеристическое уравнение биквадратное и для 0) получаются два значения со и toi, что приводит к двум вещественным положительным <0[ и 2. По физическому смыслу величины о) и (02 являются собственными частотами колебаний системы число их всегда равно числу степеней свободы. [c.223]

При неограниченном возрастании t последний член правой части уравнения (2.107) неограниченно увеличивается. Он называется секулярным или вековым членом решения. Вследствие этого получаем колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Итак, резонанс имеет место при совпадении частоты собственных колебаний с частотой возмущающей силы и характеризуется неограниченным ростом амплитуды. Можно убедиться непосредственной подстановкой, что секу-лярный член является частным решением уравнения [c.70]

Уравнение (3.57) называется уравнением частот или вековым уравнением. Последнее наименование связано с тем, что в теоретической астрономии аналогичные уравнения служат для определения периодов вековых неравенств в движении планет ). Вековое уравнение (3.57) представляет собой уравнение п-й степени относительно р . При условии положительности потенциальной энергии оно определяет п положительных ), в общем случае различных значений квадратов собственных частот системы. [c.123]

Теоремы Рэлея об эффекте наложения связи и изменений жесткости и масс системы имеют многочисленные приложения в практических расчетах. Они позволяют во многих случаях с достаточной уверенностью следить за направлением изменений частот системы при различных конструктивных изменениях, связанных с изменениями масс и жесткостей отдельных ее частей. На этих теоремах основаны методы варьирования масс и жесткостей, с помощью которых в проектируемой машине обеспечивается достаточная удаленность рабочего режима от критических или резонансных зон. Этими теоремами в некоторых случаях можно пользоваться для разделения корней векового уравнения. [c.155]

Уравнение (32) — уравнение п-ой степени относительно <р оно называется вековым, или частотным, и даёт п значений для собственных частот ( спектор частот ) колебаний, т. е. столько, сколько в системе степеней свободы. [c.184]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

Уравнение (20.62), или эквивалентные ему уравиення (20.63 и (20.64), называегся уравнением частот, или вековым уршшнием Докажем, что оба кория этого уравнения относительно В веще венны и положительны. Для доказательства обозначим левую ча уравнения (20.64) или, что то же самое, уравнения (20.63)терез А ( ) Тегда пользуясь соотношениями (20.56) и (20.58), будем нм [c.664]

Вырожденные колебания, обобщение понятия нормального колебания. Может оказаться, что два или несколько корней векового уравнения (2,11) или (2,34) и (2,38) совпадают между собой, т. е. что два или несколько нормальных колебаниГ обладают одинаковой частотой. Тогда эти два или несколько колебаний называются вырожденными между собой. В этом случае для вырожденной частоты имеется два или несколько наборов решений уравнений (2,10), скажем, М . 4 [c.87]

Выполняя операцию симметрии, преобра уюи ,ую равновесную конфигурацию молекулы в саму себя, мы не изменяем ее потенциальной энергии и силовых постоянных. Поэтому для преобразованной конфигурации вековое уравнение, а следовательно, и частоты получаются те же, что и для первоначальной конфигурации. Однако в колеблющейся молеку.ае преобразованные смещения не обязательно совпадают с первоначальными смещениями. Следует различать три случая поведения норма.гьного ко.гебания по отношению к заданной операции симметрии норма.гьное колебание может оставаться неизменным, может из.иеншпь только знак или может претерпеть изменения, большие, чем простое изменение знака. [c.95]

В разделе 1, было указано, что ЗЛ/—6 или ЗЛ —5, частоты нормальных колебаний многоатомной -молекулы могут быть однозначно определены из векового уравнения (2,11), если известны силовые постоянные. Но даже и в этом случае фактическое нахождение нормальных колебаний представляет собой весьма трудоемкий процесс, так как вековое уравнение обычно является уравнением весьма высокого порядка. Если, однако, молекула обладает из-В2СТНЫМИ элементами симметрии, то в соответствии с изложенным в предыдущем разделе мы можем определить возможные типы нормальных колебаний. При наличии одного колебания данного типа симметрии его форма полностью определяется без точного решения векового уравнения даже и в том случае, когда мы имеем два колебания данного типа симметрии, вообще говоря, нетрудно составить достаточно полное представление о форме этих колебаний. Поэтому сндчала мы найдем число колебаний каждого типа симметрии для различных молекул ). [c.149]

Для определения по значениям силовых постоянных частот колебаний, а также формы нормальных колебаний в тех случаях, когда послэдние не опре-де.тяются одними лишь свойствами симметрии, необходимо решить вековое уравнение (2,11) или (2,38). Разумеется, в действительности силовые постоянные, вообще говоря, неизвестны, однако значения частот нормальных колебаний получаются опытным путем из спектров. Поэтому соотношения между силовыми постоянными и частотами, получаемые из векового уравнения, могут быть применены для определения силовых постоянных или, иначе говоря, для нахождения вида потенциальной функции молекулы в зависимости от наблюденных частот. В самом деле, определение сил, удерживающих атомы в молекуле в равновесном положении, является одной из основных задач при изучении колебательной структуры спектров многоатомных молекул. [c.159]

Уравнение (43.16) называется характеристическим или векошм уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение сте пени 5 относительно ш и в общем случае имеет 5 различных вещественных и положительных корней (а = 1,2,. .., ). Определенные таким образом величины называют собственными частотами системы. В частных случаях некоторые из корней векового уравнения могут совпадать. Совпадающие собственные частоты со называются вырожденными. Если у системы имеются две совпадающие частоты со = (о = (о, то колебание с частотой а называется дважды вырожденным могут быть и трехкратно вырожденные собствен ные частоты. Вырождение собственных колебаний механической системы всегда связано с наличием определенной симметрии ее равновесной конфигурации. [c.239]

Отношения (3.76) определяют собственную форму колебани соответствующую собственной частоте р . Собственная форма -это отношение амплитуд или пропорциональных им миноров эл1 ментов любой строки определителя системы (3.73) после подст) новки в него корня векового уравнения. Число собственны форм колебаний системы равно числу степеней свободы. Собс венную форму задают обычно числовыми значениями амплит (или графически — ординатами определенной длины), отнош ния которых равны отношениям (3.76). [c.130]

МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ. Метод начальных параметров в матричной форме является одним из весьма эффективных приемов расчета динамических напряжений в сечениях вала при любых сосредоточенных или распределенных гармонических нагрузках. В окончательных результатах расчета этот метод приводит к развернутому вековому уравнению, что дает возможность использования его для нахождения всех собственных частот (или критических чисел оборотов) вала. С помощью введения подходящих масштабов для длин и нагрузок расчеты по этому методу становятся легко выполнимыми даже ручными счетными приспособлениями, не говоря уже о быстродействующих цифровых машинах, где итеративная природа метода начальных параметров оказывается особенно приспособленной для программироввг ния и выполнения вычислений. [c.218]

Таким образом, уравнение (6.22) отбирает собственные значения параметра ц I вместе с тем определяет собственные частоты системы. Оно называется рактеристическим уравнением или уравнением частот и соответствует вековому уравнению систем с конечным числом степеней свободы. [c.255]

При применении методы разложения решений дифференциальных уравнений в ряды, расположенные по степеням малых параметров, которою пользуется Эйлер, возникает то затруднение, что могут появиться так называемые вековые члены, т. е. содержащие время вне знаков синуса и косинуса чтобы от них избавиться, Эйлер указывает, что есть возможность составить некоторое уравнение, заменяющее собою обыкновенное характеристическое для уравнений с постоянными коэффициентами это уравнение и доставляет измененное присутствием нелинейных членов значение частоты основных колебании системы введение этой частоты избавляет от вековых членов в разложениях. Этого уравнения по его сложности Эйлер, как он говорит, составлять не отваживается (поп sumus ausi), а определяет нужную ему величину на основании астрономических наблюдений или, как он выражается, берет ее с неба (ех oelo). [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...