Уравнения вековые частот

Собственные частоты и главные координаты. В предыдущем параграфе мы видели, что решения вида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты со, а в общем случае при п различных значениях. Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию нескольких колебаний с частотами соь. , Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного колебания или собственными частотами системы. [c.359]

Уравнение вековое 341 —Определение резонансных частот 341 [c.560]

Уравнения вековые 254 - частот 254 [c.1093]

Хотя подстановка этих соотношений в (2,93) и (2,96—102) и упрощает их существенно, получающееся уравнение для частот все же является кубическим относительно X, что сильно затрудняет получение аналитического выражения для частот как функций от силовых постоянных. Дальнейшее уменьшение порядка векового уравнения в данном случае может быть достигнуто, если опять ввести новые координаты (см. ниже). [c.164]

Если теперь подставить с,. из (2,203) и из (2,157) в вековые уравнения (2,155), то получаются следующие уравнения для частот нормальных [c.194]

Раскрывая определитель (14 ) или из (15 ) находим уравнение частот, иначе называемое вековым уравнением [c.596]

Здесь Ху- - горни вековою уравнения или уравнения частот [c.121]

После раскрытия определителя мы получим в левой части многочлен и-й степени относительно X. Таким образом, квадрат частоты Х = оз искомого гармонического решения (10) должен удовлетворять алгебраическому уравнению й-й степени (13). Уравнение (13) называется вековым уравнением или уравнением частот. [c.233]

Таким образом, вековое уравнение (13) имеет п положительных корней Ху, которым соответствуют вещественные положительные частоты u)y = / и вещественные амплитудные векторы Uj (У = 1,. .., и). [c.237]

В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все 6,- = О при 1ф j изменяется только координата 6у.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты Xj = (iij удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для q не существует, то Ij — uij (У=1,. .., л) — все корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов Иу, определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. [c.243]

Частоты, относящиеся к кратным корням векового уравнения, часто называют вырождающимися. Следует, однако, заметить, что этот термин имеет здесь не тот смысл, какой придавался ему в предыдущей главе, так как там мы считали частоты вырождающимися даже в том случае, когда они различны, лишь бы только они были соизмеримы. [c.359]

Это уравнение называется уравнением частот или вековым уравнением. Из предыдущего изложения теории главных колебаний следует, что оно имеет только положительные решения каждому корню j этого уравнения соответствует амплитудный вектор Uj (j = 1, 2,. .., n), причем если какой-либо корень Л/, уравнения (22) будет кратным, то всегда можно найти ровно столько соответствующих ему линейно независимых амплитудных векторов, какова его кратность. Амплитудные векторы из уравнения (21) находятся с точностью до произвольного постоянного множителя. Их нормировка (если она требуется) производится в соответствии с условием (15). [c.504]

Для построения следующего приближения нужно подставить выражение (IV.64) в правую часть уравнения (IV.67). Далее для исключения возможности появления векового члена необходимо вновь положить коэффициент при sin (ut равным нулю это даст уточненное уравнение типа (IV.68), связывающее частоту ы и амплитуду а, и т. д. [c.247]

Как было показано в предыдущем параграфе, динамическая работа фундамента турбогенератора описывается системами со многими степенями свободы, требующими вычисления высших частот колебаний. В ряде случаев необходимо выяснить формы колебаний, что можно сделать, зная лишь точные значения частот. Поэтому наиболее целесообразно решать эту задачу при помощи разложения в ряд векового уравнения движения материальных точек, позволяющего найти весь спектр частот собственных колебаний. Ранее практиковавшиеся способы расчета Л. 20, 21 и 29] не давали обобщенного решения, пригодного для определения колебаний в любом направлении. Ниже дан обобщенный способ решения. Следует заметить также, что применение уточненных схем и точной методики расчета позволяет отказаться от так называемых условных значений частот собственных колебаний, благодаря чему отпадает условность расчетной методики. [c.109]

Обычно уравнения частот представляются в виде определителя, равного нулю, — так называемого векового уравнения. [c.341]

Резонансные частоты определяются из векового уравнения (40) [c.341]

Могут быть использованы при решении уравнения частот или векового уравнения. [c.117]

Определение частот собственных колебаний системы из векового уравнения [c.39]

Рассмотрим алгоритм решения этих задач по МГЭ. Следует отметить, что проблема определения частот собственных колебаний упругих систем продолжает оставаться актуальной задачей. Связано это с недостатками существующих методов. Так, методы сил и перемещений позволяют определять точный спектр частот собственных колебаний (в рамках допущений, принятых при выводе дифференциальных уравнений колебаний), но частотные уравнения этих методов содержат точки разрывов 2-го рода [307]. Возможно также появление фиктивных и пропуск действительных частот вследствие замены заданной расчетной схемы на основную схему [26]. В МКЭ частоты определяются из векового уравнения [184], где спектр частот во-первых ограничен, во-вторых неточен из-за замены системы с бесконечным числом степеней свободы на систему с конечным числом степеней свободы. Аналогичные недостатки имеются и у других методов. [c.124]

По МКЭ из векового частотного уравнения определены две частоты [c.151]

Правые части выражений (4) и (5) равны друг другу, если учесть, что ге-[-т = А. Принимая во внимание, что сумма диагональных элементов векового уравнения равна сумме частот нормальных колебаний, получим [c.105]

Резонансные частоты определяются из уравнения (49), которое называется вековым уравнением, или уравнением частот. [c.254]

Уравнение (20.62), или эквивалентные ему уравнения (20.63) и (20.64), называется уравнением частот, или вековым уравнением. [c.481]

Уравнения Шх -Ь тш2 = О (т 6 2), где i = 1, 2) — частоты невозмущенной задачи, определяют на плоскости /2 прямые линии, проходящие через начало координат. Соответствующие коэффициенты в разложении возмущающей функции не зависят от переменных действие, и среди них есть бесконечно много, не равных нулю. Поэтому вековое [c.24]

В окрестности этого равновесия функция Гамильтона Н редуцированной системы с двумя степенями свободы имеет вид Я2 + + Я4 +. .. (члены третьей степени отсутствуют). Коэффициенты зависят от двух параметров х = у = 1 . Можно показать, что характеристические корни векового уравнения чисто мнимы, если у > х/ х + 1). Обозначим через Е область = х, у , где выполнено это неравенство. Частоты находятся в отношении 1 3, если параметры х и у связаны равенством [c.322]

Молекула состоит из трёх одинаковых атомов, расположенных в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника и связанных пружинами равной жесткости. Получить детерминант векового уравнения, определяющего частоты ее плоских колебаний. Преобразуя столбцы этого детерминанта, покажите, что он имеет трехкратный корень ш = О, и найдите остальные его корни. [c.375]

После Эйлера в течение XVIII в. теория устойчивости развивается в русле динамики в двух направлениях. Одним из них является изучение малых коле- 119 баний механической системы около положения равновесия. Этим вопросом занимались А. Клеро, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж. В Аналитической механике Лагранжа (1788) теория малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы изложена в ее классической форме. Ответ на вопрос, устойчиво ли для данной системы положение равновесия, около которого она начинает колебаться, дает исследование корней алгебраического уравнения, определяющего частоты колебаний, соответствующих отдельным степеням свободы. (При этом, как известно, Лагранж высказал ошибочное утверждение, что при наличии кратных корней уравнения частот должны появляться вековые члены и устойчивости не будет.) [c.119]

Случай дифференциального уравнения е четной функцией Т(х) аналогичен интегрированию уравнения (11.280а). Надо лишь помнить, что в тех случаях, когда функция F х) характеризует влияние сил сопротивления, ее знак всегда совпадает со знаком скорости х ). Случай нечетной функции F x), содержащей член 2hx, проще. Здесь не приходится подбирать коэффициент С так, чтобы исчезли вековые члены. Поэтому отпадает необходимость определения частоты р. [c.301]

Таким образом, мы снова доказали, что все корни Xj векового уравнения вещественны и положительны и установили, что п частотам соответствуют п линейно независи- [c.243]

Графический способ определения частот собственных колебаний представляет 0П ре1делеиный интерес. Однако в том виде, как он дан у Рауша, этот способ, с нашей точки зрения, недостаточно эффективен, так как частоты собственных колебаний системы с двумя степенями свободы значительно проще и точнее можно определить (путем раскрытая определителя векового уравнения (см. 3-3). Способ, предложенный Раушем, может стать эффективным только в том случае, если его распространить на системы со многими степенями свободы. [c.202]

Стационарная В. т. Пусть кваптовомехапич. система находится в стационарном состоянии, а энергия возмущения не зависит от времени. Осн. задачей здесь является нахождение уровней энергии S, и волновых ф-ций возмущённой систелш. Эта задача аналогична учёту вековых возмущений в классич. механике. Ожидается, что энергия (частота) нач. состояния изменится пропорционально возмущению и, кроме того, изменится форма волновой ф-ции. Аналитически решение данной задачи выглядит след, образом. Стационарное Шрёдингера уравнение имеет вид [c.303]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

Расчет частот и нормированной формы нормальных колебаний производился на электронной счетной машине (вековые уравнения решались по методу итерации Маянца). [c.152]

Теория механических колебаний обязана А. Н. Крылову решением задач вибрации судов, разрабсткой методов определения критических скоростей валов и методов решения векового уравнения (уравнения частот). [c.278]

С точки зрения механики осреднение по гр эквивалентно пренебрежению в решении высокочастотными колебаниями весьма малой амплитуды, которые накладываются на более плавные колебания, описываемые уравнениями (5.4.12). Высокочастотные колебания, обусловленные влиянием гр, назовем вибрационными колебаниями. Уравнения (5.4.12) в общем случае не интегрируются, так как U зависит от v. Эти уравнения описывают весьма медленные вековые и долгопериодические эффекты движения, а также периодические эффекты, обусловленные влиянием v. Период этих периодических колебаний соизмерим с периодом обращения спутника по орбите. Вековые и долгопериодические члены изменяются весьма медленно по сравнению со скоростью движения центра масс спутника по орбите. Для их выявления можно осреднить уравнения движения не только по гр, но и по v. Независимое осреднение по каждой фазовой переменной (гр, v) допустимо, если частоты этих переменных несоизмеримы, что мы всегда будем предполагать. Такое двойное осреднение уравнений (5.4.3) сводится к осреднению по v уравнений [c.187]

При применении методы разложения решений дифференциальных уравнений в ряды, расположенные по степеням малых параметров, которою пользуется Эйлер, возникает то затруднение, что могут появиться так называемые вековые члены, т. е. содержащие время вне знаков синуса и косинуса чтобы от них избавиться, Эйлер указывает, что есть возможность составить некоторое уравнение, заменяющее собою обыкновенное характеристическое для уравнений с постоянными коэффициентами это уравнение и доставляет измененное присутствием нелинейных членов значение частоты основных колебании системы введение этой частоты избавляет от вековых членов в разложениях. Этого уравнения по его сложности Эйлер, как он говорит, составлять не отваживается (поп sumus ausi), а определяет нужную ему величину на основании астрономических наблюдений или, как он выражается, берет ее с неба (ех oelo). [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...