Интегрируемость в квадратурах

Замечание. Уравнение d ldr = —г] — одно из простейших уравнений, не интегрируемых в квадратурах. [c.185]

Но и в общем случае, какова бы ни была функция А (s), порядок уравнения (35 ) можно понизить до первого и тем самым свести уравнение к типу, непосредственно интегрируемому в квадратурах. [c.56]

Наиболее известным примером динамической задачи, которая благодаря наличию соответствующего числа первых интегралов оказывается интегрируемой в квадратурах, является задача о движении свободной точки под действием центральной силы F. [c.84]

В этом интегрируемом в квадратурах случае кинетическая энергия движения Т=Т (tp) легко находится через работу при- [c.113]

Подчеркнем, что кривизна /С вычисляется по формулам (45.10) как первая производная известной функции. Поскольку определяется формулами (45.10) как известная функция s и , уравнение Ламэ 145.9) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции (я). Уравнение (45.9) — уравнение Риккати, не интегрируемое в квадратурах, поэтому К (п) вычисляется из него приближенно [c.315]

Важный класс консервативных механических систем образуют системы, уравнения движения которых интегрируются в квадратурах. Достаточно общие признаки интегрируемости (в квадратурах) уравнений движения голономных консервативных систем со стационарными связями были сформулированы П. Штеккелем [4]. Интегрируемыми , однако, могут быть и другие системы [c.147]

Характер возможных движений консервативных систем, неинтегрируемых в квадратурах, сложен и в настоящее время мало изучен. Однако в последнее время в работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера и других было показано, что большинство движений консервативной системы, близкой к интегрируемой в квадратурах, также имеет квазипериодический характер. Тем не менее в любой сколь угодно малой окрестности таких движений существуют движения иной, гораздо более сложной природы подобно тому как в любой сколь угодно малой окрестности произвольного иррационального числа имеется бесконечно много рациональных чисел. [c.149]

С постоянными Н к с. Наличие трех первых интегралов (5) (7) приводит к интегрируемости в квадратурах этих уравнений. [c.527]

Факторизацией по орбитам действия группы симметрий можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений. Примерами служат переход к барицентрической системе отсчета и знаменитый.результат Якоби об исключении узлов в задаче многих тел. Развивая эти идеи. Софу с Ли доказал интегрируемость в квадратурах системы п дифференциальных уравнений, допускающих (п— 1)-мерную разрешимую группу симметрий. Алгебраический аналог теории Ли — знаменитая теория Галуа групп подстановок корней многочленов. [c.14]

При /1 < О, когда угол д при движении от г к /° или к / монотонно уменьшается, за независимую переменную, как и в модели (1.3), удобно взять д = tg д. В этом случае уравнение (3.14) заменится двумя интегрируемыми в квадратурах уравнениями [c.504]

Пришли К интегрируемому в квадратурах уравнению типа Эйлера его решение имеет вид [c.732]

Лиувилль доказал, что если в системе с п степенями свободы (т. е. 2п-мерным фазовым пространством) известны п независимых первых интегралов в инволюции, то система интегрируема в квадратурах. [c.238]

Следствие 1. Если в канонической системе с двумя степенями свободы известен один первый интеграл Г, не зависящий от функции Гамильтона Н, то система интегрируема в квадратурах, компактное связное двумерное подмногообразие фазового пространства П = к, Р = f есть инвариантный тор, а движение на нем условно-периодично. [c.239]

Для того чтобы получить интегрируемое в квадратурах уравнение Гамильтона — Якоби, нужно перейти к новым переменным, что можно сделать множеством различных способов. [c.777]

Так как подавляющее большинство задач небесной механики не относится к интегрируемым в квадратурах, для их решения разработаны различные варианты метода последовательных приближений. В настоящей главе будут приведены основные формулы для вычисления возмущений координат в задаче о движении двух планет, причем ради определенности центральное тело будем называть Солнцем. Аналитические методы вычисления возмущений координат излагаются в [1]— 7]. [c.408]

Общая теория интегрируемости в квадратурах линейных уравнений и систем построена методами дифференциальной алгебры. С каждым линейным уравнением или системой с рациональными коэффициентами связывается группа Галуа, разрешимость которой, отвечает за разрешимость уравнения или сис темы (см. 1[36], 1(68]). Сформулируем в заключение следующий геометрический результат. [c.133]

Пусть функции Н и Fi не зависят от времени. Тогда Н — тоже первый интеграл, например, H=Fx. Теорема об интегрируемости в квадратурах справедлива, конечно, и в этом случае, причем условие F, Ft)=0 можно заменить более слабым [c.122]

Задача о движении материальной точки в поле двух неподвижных центров притяжения также принадлежит к числу интегрируемых в квадратурах [14]. Совеем недавно интерес к этой задаче весьма оживился, так как оказалось, что она является хорошим приближением для задачи о движении спутника в поле тяготения не строго сферической планеты. Если планета вытянута наподобие огурца, то это и неудивительно, но как быть, если она, как и реальная Земля, является сплюснутым сфероидом Оказывается, в этом случае надо поместить неподвижные центры в комплексно сопряженные точки пространства, хотя задача и рассматривается в чисто вещественной области (изло кение этих интересных и красивых результатов Е. Аксенова, Е. Гребенникова и В. Демина можно найти в [3]). [c.20]

Поэтому / 1, 2 = 0. и интегралы , N1, А) уравнения Эйлера находятся в инволюции на каждой орбите Од,. В работах [176, 177] Мищенко и Фоменко доказали независимость интегралов а, (/И, Л) на орбитах Од,, содержащих почти все М, обобщили систему интегралов и доказали интегрируемость в квадратурах уравнений движения обобщенного твердого тела с пространством угловых скоростей — полупростой алгеброй Ли. [c.311]

Замечание. Результат об интегрируемости в квадратурах уравнений (3.16) и (3.17) вытекает, конечно, из теории некоммутативного интегрирования гамильтоновых систем. Здесь и = 3 и нужный набор интегралов составляют функции [c.202]

Ввиду (4.8), поле V касается 1а при всех значениях постоянных а. Это же свойство для векторных полей вытекает из соотношения (4.7). Таким образом, к + 1 полей (4.12) касаются к + 1)-мерных интегральных поверхностей (4.13), линейно независимы в каждой точке и попарно коммутируют. После этого интегрируемость в квадратурах системы (4.1) вытекает из теоремы Ли об интегрируемости дифференциальных уравнений с абелевой группой симметрий. [c.211]

Наличие двух первых интегралов системы (3.38)еще раз указывает на интегрируемость в квадратурах исходной задачи. Эти инварианты позволяют определить относительное движение системы трех вихрей, не прибегая к интегрированию исходных уравнений движения. Подробно об этом будет сказано ниже. [c.88]

То обстоятельство, что спределение переменных гри h m можно свести к интегрированию некоторой лагранжевой системы, в которой уже не осталось никакого следа от т координат <7,.....q , оправдывает название этого метода методом игнорирования координат, которое обычно дается предыдущему приведению. Название игнорирование" применяется здесь потому, что при определении координат при h m можно не знать (игнорировать) остальные координаты, входившие вначале при действительном описании задачи. При этом заметим, что в большинства конкретных задач интегрируемость в квадратурах очень часто является следствием наличия игнорируемых координат. [c.304]

D, а В преобразовании Крылова — Боголюбова вида (3.60) но будет отсутствовать. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова давало асимптотические представления для решения нервоначальной системы (62), необходимо, как неоднократно указывалось раньше, решить усредненную систему (70). Моиаю доказать [8, 124], что усредненные по Делоне — Хиллу уравнения плоской ограниченной круговой задачи трех тел интегрируемы в квадратурах, т. е. известна полная система ее первых интегралов (система уравнений имеет четвертый порядок). То же самое можно утверждать и относительно усредненных но Фату и Моисееву уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. Что касается пространственного случая ограниченной круговой задачи трех тел, то известно, что только схема Гаусса (см. (35)) приводит к интегрируемой задаче. Первые интегралы усредненных уравнений можно найти в [7, 8, 124]. [c.148]

Труды Ж. Даламбера по гидродинамике начали появляться почти одновременно с гидродинамическими исследованиями Эйлера. Сочинение Даламбера 1744 г. Трактат о равдовесии движения жидкостей по словам автора, пронизан стремлением соединитБ геометрию (математику, а точнее, аналитические методы) с физикой (результатами опытов). Даламбер занимался экспериментальными исследованиями сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами кораблестроения. Его подход ко всем задачам механики системы и, в частности, к вопросам гидромеханики базируется на основной идее, выраженной в его знаменитом принципе, согласно которому законы динамики могут быть представлены в форме уравнений статики. В упомянутом трактате этот метод применяется к разнообразным тонким вопросам движения жидкости в трубах или сосудах. Даламбер исследовал законы сопротивления при движении тел в жидкостях и указал интегрируемый в квадратурах случай. Процесс образования вихрей и разреженности за движущимся телом он объяснял вязкостью жидкости и ее трением о новерх-186 ность обтекаемого тела. [c.186]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Для сравнения, интегрируемая в квадратурах задача Селерье-Сен-Жермена [c.198]

Данную задачу Селерье Сен-Жермена [30] требуется довести до уровня интегрируемости в квадратурах. Чтобы найти ее решение, введем декартову систему координат Oxyz с началом в центре притяжения О и безразмерные переменные [c.527]

Рассмотрим влияние малого коэффициента /5, которым пренебрегли при получении основных результатов анализа — формул (7.1.11), (7.1.12). Подставляя 0 = соп81 в правую часть второго из уравнений (7.1.10) и переходя к переменной X вместо V, получим уравнение, интегрируемое в квадратурах. Его решение приближенно описывает нутационные колебания вектора L Полагая 0 6о + А9, получим [c.235]

Замечание. Эта теорема в упрощенном варианте (утверждается только интегрируемость в квадратурах) была сформулирована Буром и обобщена Ж. Лиувиллем. Ее классическое доказательство имеется, например, в трактате Э. Уиттекера [167]. Приведенная формулировка теоремы принадлежит В. И. Арнольду [6]. [c.74]

Заметим, что указанная взаимосвязь имеет место и в случае периодической задачи (Л о = iVjr, iVar+i = iVi), однако здесь процедура восстановления решений существенно более сложная, так как ассоциируемые с ией алгебры Ли конечного ненулевого роста не обеспечивают интегрируемость в квадратурах соответствующих уравнений. [c.165]

Интегрируемость в квадратурах. Лиувилль (J. Ь1оиу111) доказал, что линейные уравнения второго порядка, вообще говоря, не интегрируются в квадратурах решения не выражаются через коэффициенты с помощью арифметических действий, решения алгебраических уравнений, потенцирования и интегрирования . В частности, не интегрируется уравнение х- -1х=0. [c.133]

Укажем основные моменты доказательства. Поскольку векторное поле f касается М то дифференциальное уравнение (23) можно ограничить иа Мс. Это уравнение на Мс будет иметь инвариантную меру.(см. гл. I, п. 3.6 там же приведена явная формула для плотности инвариантной меры). Интегрируемость в квадратурах на Мс вытекает теперь нз замечания Эйлера. Заключение 1 теоремы 13 (отмеченное впервые Якоби) тем самым доказано. Заключение 2 составляет известный топологический факт, что всякое связное, компактное, ориентируемое двумерное многообразие, допускающее касательное поле без особых точек, диффеоморфно двумерному тору. Заключение 3 фактически является теоремой Колмогорпва [87][ [c.146]

Попутно мы доказали, что в предположениях теоремы Нехорошева исходные дифференциальные уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. Действительно, мы конструктивно строим (и - й)-мерные инвариантные многообразия и указываем в явном виде и - fe независимых касательных полей, которые попарно коммутируют между собой. Среди этих полей имеется исходное гамильтоново векторное поле. Остается воспользоваться теоремой Ли об интегрируемости в квадратурах системы уравнений, допускающей полную абелеву группу симметрий. [c.191]

Согласно принятым обозначениям, 3= ас ЕБ, где а определяется по формуле (37). Параметр р—величина не безразмерная, что необходимо учитывать при расчетах. Это уравнение не интегрируемо в квадратурах. Численное решение его было получено на электронно-вычислительной машине для следуюгцих конкретных условий , =20 000 кГ 1мм 2=6000 кГ1мм Я=Ъ мм, =51 мм . Расчет проводился при следующих значениях амплитуды колебаний 5,2, 10,4, 15,6, 20,8 и 26 мк. Для удобства расчетов вначале задавались определенные значения параметра О в интервале от О до тс/2. При этих условиях была найдена численная зависимость силы, действующей на конце стержня, от времени (рис. 21). Далее, согласно формуле (31), определялась сила прижима соответствующая данному 6 и При тех же условиях находилась величина максимума силы Исключая параметр О, путем соответствующего сопоставления значений и Р получим интересующую нас зависимость максимума силы от силы прижима и амплитуды колебаний. Аппроксимация этой зависимости степенной функцией дает [c.38]

Первое столетие своего существования 4та теория состояла лишь из отдельных способов решения некоторых типов дифференциальных уравнений, во втором столетии уже ставится вопрос о существовании решения и его представимости в квадратурах. В результате многочисленных исследований выяснилось, что интегрируемость в квадратурах — крайне редкое явление и что решения многих дифференциальных уравнений, предложенных практикой, не могут быть выражены в квадратурах. Не открывали пути к общей теории и основанные на теоремах существования приемы чис 1енного интегрирования уравнений, так как они, во-первых, дают только одно частное решение и, во-вторых, решение получается на конечном интервале. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...