Изотропная скалярная функция тензора

ИЗОТРОПНАЯ СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРА 453 [c.453]

Изотропная скалярная функция тензора [c.453]

ИЗОТРОПНАЯ СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРА 455 [c.455]

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

Так как выражения (31) и. (32) представляют собой соответственно тензор и скалярную функцию тензора и скалярных аргументов, то для изотропных материалов их можно записать в наиболее общей форме, используя теоремы о представлениях. Затем остается определить соответствующие скалярные функции, входящие в полученную общую форму. [c.215]

Однако если А и В имеют одни и те Же характеристические корни, то из этого, вообще говоря, ие следует, что 3Q, такое, что B=QAQ . Таким образом, для произвольных тензоров А функции характеристических корней не обязательно исчерпывают класс изотропных скалярных функций. [c.537]

XII. 10.1. Для изотропных материалов а представляет собой изотропную скалярную функцию симметричного тензора V. Теорема о представлении для изотропных функций приводит к (XII. 10-10). Возьмите в качестве базисных единичные векторы, направленные вдоль собственных векторов тензора V. Тогда из. соотношения Т = рУд а (V) следует, что [c.559]

Величина oj) должна быть объективной, поэтому функция г должна удовлетворять условию инвариантности ijj(B) = = ijj(QBQ ) для всех ортогональных преобразований Q в Ж и Это соотношение выполняется тождественно, так как, согласно уравнениям (2.3.30), величина В объективная. Таким образом, If) есть изотропная скалярная функция симметричного тензора второго порядка В. Согласно хорошо известной теореме Коши такая функция может зависеть от В только через три его главных инварианта 1 , а = 1, 2, 3 [c.129]

Имеются две категории скалярных функций тензорного аргумента те, для которых указанное соотношение зависит от выбора некоторой другой величины, и те, для которых это соотношение определяется единственным образом. Последние называются инвариантами, или изотропными функциями. Например, соотношение, которое ставит в соответствие любому заданному тензору одну из его компонент, является скалярной функцией, которая зависит от выбора векторного базиса. Так, соотношение [c.27]

Формулировки критериев разрушения анизотропных сред через инварианты тензора напряжений обусловлены, по-видимому, историческим развитием критериев текучести изотропных материалов. Предположение об изотропии (независимости от направления) означает, что формулировка условий разрушения не зависит от направления осей координат. Наиболее подходящим средством обеспечения указанной инвариантности является запись критерия разрушения в виде скалярной функции от инвариантов тензора напряжений. В опытах Бриджмена [7] было установлено, что условие текучести изотропного материала не зависит от гидростатического давления учет этого обстоятельства позволил дополнительно упростить условие текучести, представив его лишь через компоненты девиатора напряжений. [c.432]

Здесь ij3 - некоторая скалярная функция компонентов напряжений и деформаций. Так как тело изотропно, то можно считать, что 1з —функция инвариантов тензоров напряжения и деформации ). [c.739]

Рассматривая тензорно линейные определяющие соотношения, приходим к выводу, что в случае изотермических процессов и склерономной изотропной среды функции ка д зависят только от двух инвариантов тензора деформаций, а г и г — от двух инвариантов тензора напряжений. При этом если тензоры <г и е являются потенциальными, т.е. существуют скалярные функции W viw такие, что [c.107]

В формулах (1.4.1)-(1.4.4) функция х в обш,ем случае анизотропной среды представляется в виде скалярной функции, зависящей от компонент одного из тензоров деформации, меры деформации или градиента места. В случае изотропной среды упругий потенциал представляется как функция инвариантов соответствующих тензоров. В зависимости от того, какие инварианты и каких тензоров используются в представлении потенциальной энергии, имеют место различные формы закона состояния гиперупругой среды. [c.21]

Для изотропных материалов упругий потенциал представляется в виде скалярной функции от инвариантов одного из тензоров меры деформации или тензора деформации. [c.24]

Участвующий в представлениях (1.4.1)-(1.4.4)упругий потенциал в общем случае для анизотропных сред представляется в виде скалярной функции (1.4.5), которая зависит от компонент тензора градиента места, тензора меры деформации или тензора деформации Коши-Грина. Для изотропных сред используется представление через инварианты тензора одной из мер деформации или тензора деформации. [c.28]

Для изотропной среды функции должны быть инвариантны относительно полной ортогональной группы и потому могут зависеть от тензора напряжения только через абсолютные его инварианты. Условие пластической несжимаемости при этом равносильно условию, что от инварианта не зависят и, следовательно, представимы в виде функций скалярных инвариантов девиатора напряжения, в качестве независимых среди которых всегда можно рассматривать интенсивность [c.86]

Скалярная функция ф(.в) называется изотропной, если она не чувствительна к повороту аргумента ( РВР ф(Jff) для любого тензора поворота Р. Симметричный тензор В вполне определяется тройкой инвариантов и угловой ориентацией главных осей (они же ортогональны). Ясно, что изотропная функция ф(Д) симметричного аргумента является функцией лишь инвариантов / , 1 , 1 она дифференцируется согласно (11.6), где транспонирование излишне. [c.25]

Ограничиваясь ортогональными преобразованиями, назовем скалярную функцию компонент тензора изотропной, если она сохраняет форму зависимости от них при любом ортогональном преобразовании ) [c.454]

Следовательно, QA=>BQ. Поэтому условие совпадения множества характеристических корней у А и у В достаточно в случае симметричных тензоров А и В для того, чтобы B = QAQ - Таким образом, скалярная функция, аргументом которой служит симметричный теизор, изотропна в том и только том случае, когда оиа представляет собой функцию характеристических корней,, или, что равносильно, функцию главных инвариантов. [c.538]

Восстановим для изотропного гиперупругого материала с начальным состоянием без деформаций из уравнения (2. 5.12) уравнение Навье. Для изотропного материала скалярная функция 15 = 1 )(Е) должна быть изотропной функцией тензора В. Следовательно, ф зависит от Е только через его инварианты /а = 1гЕ , а =1,2,3. Для решения 5о имеем оР==1, оЕ = О и о1 = 0. В результате мы получаем уравнение Навье, но со следующими модулями Ламе [c.153]

Заметим, что в изотропном случае уравнение (22.15) может быть получено из (14.7) таким же образом, как (22.2) получается из (14.9) отсюда уже ясно, что уравнения (22.15) и (22.2) должны быть эквивалентны друг другу. Чтобы строго доказать это, заметим прежде всего, что тензор в правой, а следовательно, и в левой части (22.15) симметричен и соленоидален по обоим индексам. Поэтому обе части (22.15) определяются одной скалярной функцией и можно перейти к скалярному уравнению, просуммировав все члены (22.15) по индексам l = J. После этого, подставив в полученное [c.369]

Для замыкания системы уравнений при турбулентном режиме течения используются различные алгебраические модели коэффициентов переноса, являющиеся непосредственным обобщением двумерной модели переноса. При этом делается предположение об изотропности коэффициента турбулентной вязкости. Это значит, что турбулентная вязкость является скалярной функцией координат и составляющих тензора скоростей деформации. Направление суммарного касательного напряжения совпадает с направлением результирующего градиента скорости О с компонентами ди/д , дхю/д ). Длина пути перемешивания Прандтля является скалярной функцией и не зависит от преобразования координат /1=4=/. Обобщение гипотезы Прандтля для пространственного пограничного слоя естественно задать в виде [c.322]

В принципе, формулы (5.1.99), (5.1.102) и (5.1.103) позволяют выразить тензор электропроводности через корреляционные функции. Чтобы избежать формальных матричных соотношений, рассмотрим изотропную систему. Тогда справедливы равенства = аа аналогичные равенства для других корреляционных функций, в изотропной среде тензор (Таа ) диагонален, т. е. (Таа ) = ( ) Saa i где а ио) — скалярный коэффициент электропроводности или просто проводимость. Для удельного сопротивления с помощью (5.1.102) и (5.1.103) получаем выражение [c.358]

Коэффициенты переноса. Как мы видели, при выводе уравнений гидродинамики методами неравновесной статистической механики диссипативные члены в этих уравнениях выражаются через кинетические коэффициенты. Однако в конкретных задачах удобнее записывать кинетические коэффициенты через скалярные коэффициенты переноса коэффициент теплопроводности, коэффициенты вязкости, диффузии и т. д. Основная идея перехода от кинетических коэффициентов к коэффициентам переноса состоит в том, что для изотропной системы корреляционные функции, построенные из векторных или тензорных микроскопических потоков, можно записать в форме скаляров, умноженных на единичные тензоры. [c.173]

Проведенное рассмотрение относится, строго говоря, лишь к изотропной плазме, в которой тензор диэлектрической проницаемости сводится, согласно (28,7), к двум скалярным величинам е,1 и Bf. В анизотропной плазме (т. е. при зависящей от направления р функции распределения / (р)) не существует строго продольных волн. При определенных условиях, однако, в ней могут распространяться почти продольные волны, в которых поперечная по отношению к вектору к составляющая поля, Е , мала по сравнению с продольной составляющей Е [c.168]

Точно так же как тепзор (г) при помощи уравиения несжимаемости и условия изотропности был выражен через единственную скалярную функцию Аг )) тензор (2) может быть выражен через продольную функцию [c.72]

Обухов (1954) см. также Обухов и Яглом (1951)). Равенства (12.67), <12.68) и (12.70), (12.71) показывают, что в случае соленоидального или потенциального изотропного векторного поля и х) корреляционный и спектральный тензоры определяются одной скалярной функцией, а не двумя. В частности, спектральный тензор здесь однозначно выражается через спектр Е(к) формулы (12.40), связанный с трехмерными спектрами и очевидными соотношениями [c.50]

Если поле и х) не только локально оцнородно, но и локально изотропно, то Рл к) будет изотропным тензором, зависящим от вектора к, и, следовательно, будет выражаться через две скалярные функции и Рц/щ(к) по формуле (12.31). Условия эрмитовости [c.98]

Предположим теперь, что турбулентность является изотропной. В таком случае функции ВрДг, t) и В1р г, t) будут тождественно равны нулю, а тензоры (г, t), В[,1 (г, 1) и В, (г, )=Ву (— г, 1) будут выражаться через две скалярные функции В (г, ) и В (г, t). Подставив соответствующие выражения в (14.7) и приравняв по отдельности коэффициенты при тензорах и в левой и правой частях получающегося уравнения, мы придем к двум скалярным уравнениям, которые, однако, оказываются эквивалентными друг другу. Поэтому достаточно рассмотреть лишь уравнение, которое получается при приравнивании друг другу коэффициентов при тензоре б у [c.110]

Поскольку изотропный тензор Fifi(k, к ) может быть выражен по формуле (12.166) через две скалярные функции Ф(Л, k k") и Ч (Л, к, к"), в случае изотроцной турбулентности тензорное уравнение (19.27) может быть сведено к двум скалярным уравнениям.. Для их вывода надо заменить Fij[ k, k ) его выражением (12.166), Fimik ) и т. д. — выражениями (12.73), где Е(k) = Ank F k). В силу того, что kJS j (k) = 0, [c.250]

Принятая модель разрушения допускает следующую интерпретацию. Принимается, что любая повре>кдаемость в материале определяется величиной и ее направлением. Примером может служить такая микротрещина в материале, которую можно характеризовать некоторой площадью и направлением нормали к своей плоскости. В окрестности рассматриваемой точки можно выделить некоторый объем материала, внутри которого напряженное состояние будет постоянным, т. е. = onst. Степень повреждаемости материала в пределах некоторого телесного угла dQ в направлении оси Z будет характеризоваться величиной dQ (рис. 110). Мерой повреждаемости материала в окрестности взятой точки будет функция П , отложенная на единичной сфере с центром в данной точке. Разрушению в точке отвечают условия (6.61) или (6.62). Из допущения о том, что повреждения в теле вызываются только механическими напряжениями, следует существование функциональных связей между тензором напряжений и функцией на сфере. Поскольку функция в каждом направлении z должна характеризоваться некоторой скалярной величиной, то ее аргументы должны быть инвариантами тензора напряжений относительно поворота системы координат вокруг оси г (для изотропных материалов). Для описания кинетики разрушения В. П. Тамуж [c.205]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...