Преобразования координат и импульсов

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Преобразования координат и импульсов. Закон преобразования энергии и импульса при переходе от одной системы отсчета к другой можно найти прямо из условий [c.165]

Частица движется в поле f7=t7(x). Найти производящую функцию F] (х, х, t) канонического преобразования к постоянным координатам и импульсам 1) t7(x)=0 2) (7(х) = /а гсо л . [c.271]

Такой вид имели, например, уравнения ортогонального преобразования или уравнения перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем называть такие преобразования точечными. Однако в методе Гамильтона импульсы являются такими же независимыми переменными, как и обобщенные координаты. Поэтому мы должны расширить понятие преобразования координат и включить в него одновременное преобразование как независимых координат qi, так и независимых импульсов Pi- Таким образом, мы будем иметь дело с преобразованием, описываемым уравнениями [c.264]

Т. е. это преобразование меняет местами координаты и импульсы (новые координаты совпадают здесь со старыми импульсами, а новые импульсы не отличаются по существу от старых координат). Этот простой пример может служить иллюстрацией равноправного положения обобщенных координат и обобщенных импульсов, в равной степени описывающих движение системы в уравнениях Гамильтона. Различие между ними практически состоит лишь в названии, так как мы видим, что, поменяв эти названия, мы получили всего лишь изменение знака. Поэтому мы можем отбросить наши первоначальные представления о q как [c.272]

Qi, Pi преобразованные канонические координаты и импульсы, [c.409]

Здесь предлагается метод для явного определения производящей функции, из которой можно получить преобразование, позволяющее найти решения уравнений Гамильтона. Искомое преобразование должно быть частным видом ранее рассмотренного, ибо при этом будет требоваться, чтобы все пространственные координаты и импульсы были бы постоянными. [c.95]

Примеры 2 и А показывают что при канонических преобразованиях может исчезнуть различие между координатами и импульсами. Применение названий импульс и координата может стать чисто условным. Поэтому для пары переменных Qi и очень удобно название канонически сопряженные переменные . [c.346]

Нужно, однако, иметь в виду, что при пользовании контактными преобразованиями, по существу, стираются различия между координатами и импульсами. Так, например, [c.492]

В гамильтоновом описании, т. е. когда Q выражены через канонические переменные — обобщённые координаты и импульсы (для простоты считаем, что явные зависимости от времени отсутствуют) 1) Пуассона скобка Q с гамильтонианом Н равна нулю, 2) изменение любой динамич. переменной Г при преобразовании (1) определяется её скобкой Пуассона с В этом контексте утверждение Н. т. становится как бы тривиальным, следующим из одной лишь антисимметрии скобок Пуассона [c.340]

Примечание. Главная функция Гамильтона представляет собой действие по Гамильтону, вычисленное при переменном верхнем пределе и выраженное через начальные и текущие значения обобщённых координат. Будучи производящей функцией канонического преобразования начальных значений обобщённых координат и импульсов в их текущие значения, главная функция позволяет ответить на вопрос какие [c.219]

Частица движется в поле О = (х). Найти производящую функцию 1(х, х, 1) канонического преобразования к постоянным координатам и импульсам 1) 6 (х) = 0 2) 6 (х) = тиР х 2. [c.390]

Здесь д — совокупность канонических координат частиц, — коэффициенты разложения потенциалов по собственным функциям, к — набор собственных чисел. Переменные а/., играют роль канонических координат и импульсов, фундаментальные СП Каноническое преобразование а/., с/., с а/. - [c.410]

С этой целью произведем вначале КП А, г Л q, т А — q- - гтг) / д/2, где q, тг — координата и импульс. Это преобразование приводит (3) к гамильтониану гармонического осциллятора [c.426]

Произведем в (7) каноническое преобразование к комплексным координатам и импульсам ж, р ж = а, р = ш [c.263]

Большое значение в понимании рассмотренных выше, а также описываемых в дальнейшем преобразований пучка имеет теорема Лиувилля. Эта теорема утверждает, что при движении системы, характеризуемой канонически сопряженными величинами (обобщенными координатами и импульсами), объем данного участка фазового пространства, а также сумма частных фазовых объемов остаются неизменными. Применительно к ускорителю, в котором р, получаем [c.177]

Таким образом, преобразование (35.10) сводится к взаимному переименованию координат и импульсов (новые координаты совпадают со старыми импульсами, а новые импульсы отличаются от старых координат только знаком). Этот пример наглядно указывает на равноправие координат и импульсов в методе Гамильтона, в силу чего переменные VI п называют канонически сопряженными величинами. Вместе с тем это указывает на условность наших представлений о переменных как о пространственных координатах и о р как динамических переменных, измеряемых произведением массы на скорость. Различие между ними практически состоит только в названии, и поэтому при рассмотрении любого механического процесса нельзя противопоставлять его кинематику динамике и наоборот, ибо кинематическое и динамическое в движении любой механической системы составляют единое целое. [c.200]

В чем проявляется наличие вязкости, если жидкость течет по капилляру со скоростью у при Т = ОК В потере кинетической энергии жидкости и, следовательно, в уменьшении скорости потока. В системе координат, движущейся с жидкостью, гелий неподвижен, а капилляр движется со скоростью у при наличии вязкости гелий в этой системе координат должен двигаться, причем движение начинается с появлением элементарных возбуждений. Пусть возникла одна квазичастица с энергией ё р) и импульсом р. Это приводит к тому, что в движущейся системе координат (в ней гелий покоился) энергия жидкости Е станет равной ё(р),а ее импульс Ро = р. В неподвижной системе координат (в ней покоится капилляр) согласно формулам механики для преобразования энергии и импульса имеем [c.117]

Мы, однако, будем искать преобразование qt (0), Pi (0) -> - 4i (0. Pi (О иначе. Будем находить не прямое преобразование, а обратное, т. е. будем считать, что движение гамильтоновой системы переводит систему с функцией Гамильтона Н qi, p , t) в систему с функцией Гамильтона, тождественно равной нулю. Тогда новые координаты и импульсы будут qi (0), pi (0). Далее, будем искать не само преобразование Т, а производящую функцию того преобразования. [c.110]

Уравнение (5.4) для определения коэффициентов производящей функции Т преобразования (5.2) и коэффициентов новой функции Гамильтона Н в каждом порядке т относительно координат и импульсов распадается на группы, соответствующие членам в представлении (5.1) это означает, что нормализацию этих членов можно проводить независимо друг от друга. При нормализации членов Hij в выражениях для коэффициентов производящей функции преобразования (5.2) появляются знаменатели вида [c.213]

Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом таким образом, что вместо значений q t) и p t) они приобретают значения, равные q t- -di) и p t- -di). Следовательно, изменение состояния системы за время dt можно получить посредством бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого гамильтонианом Н. Отсюда следует, что изменение состояния системы за время от to до t можно получить с помощью последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Но так как два последовательных канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому преобразованию, то переход от qito), р((о) к q(t), p t) можно получить с помощью канонического преобразования, зависящего от t. Таким образом, движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является гамильтониан. [c.286]

Равноправность в Г. у. координат и импульсов как независимых переменных, а также инвариантность этих ур-1нтй по отношению к каноиич. преобразованиям открывают большие возможности для обобщений. Поэтому Г. у. имеют важные приложения не только д механике, ио и во многих др. областях физики, напр, в статистич. фи.зике, квантовой механике, электродинамике и др. [c.398]

Однако Подольский [95] показал, что можно записать классический гамильтониан в обобщенных координатах и импульсах и для получения оператора Гамильтона заменить в нем pi на —гй dfdqt, если найти путь построения правильного классического гамильтониана. Действуя в обратном порядке, от правильного оператора Гамильтона, зависящего от qi и —ih d/dqi, можно видеть, как необходимо записать классический гамильтониан через pi и qi, чтобы после замены в нем pi на —ih d/dqi получался правильный оператор Гамильтона. Этот рецепт, или преобразование Подольского, будет пояснен ниже (см. также [106], разд. 11.3 в книге [121] и приложение в статье [115]). [c.136]

Получив далее некоторую равномерность распределения вероятностей в новой координатной системе, мы сможем сразу распространить эту вероятность на старую координатную систему, так как величина элемента объема фазовой области есть инвариант канонического преобразования. Будем считать, поэтому, что ds =, A zq — С/) S dx , где А = onst. Легко видеть, что пространство, состоящее из направленных элементов линий полученного риманова пространства, будет эквивалентно фазовому пространству. Действительно, точка фазового пространства р ) может быть определена как соответствующая точка конфигурационного пространства (х ) вместе с заданным вектором скоростей (х ). Некоторому интервалу координат и импульсов фазового пространства будет соответствовать в пространстве F некоторый интервал объема dm , некоторый интервал угла d

полной энергии мы получим, что в силу размешивающегося характера геодезического движения в О, доля этих точек, попадающая в некоторый интервал dm d p, будет зависеть лишь от величины рассматриваемого интервала и будет ему пропорциональна. Все рассматриваемые точки фазового пространства, т. е. точки с добавочной характеристикой — длиной направляющегося вектора, соответствующие каждому данному Zq, принадлежащему интервалу попадут внутрь интервала dr. Поэтому, определяя во всех точках допускаемую в них начальной неопределенностью полной энергии системы dz величину dr, одинаковую для всех точек (так как dz == получим, что все точки начальной области равномерно распределятся внутри слоя заданного dr, т. е. равномерно распределятся внутри слоя заданной неопределенности однозначных интегралов движения. (Распределение будет равномерным при данном dr, т. е. сделается равномерным по всем параметрам, кроме г, по которому оно будет определяться начальным распределением, так как очевидно, что по параметру г размешивания не будет, поскольку области фазового пространства, соответствующие неперекрывающимся dz, бесспорно не будут переходить друг в друга.) [c.186]

Движение голономной системы, на основании сказанного, является каноническим преобразованием значений обобш.енных координат и импульсов в некоторый момент времени t = t в их значения в те-куш,ий момент t. В этом смысле говорят, что движение есть постепенно разворачиваюи ееся каноническое преобразование. [c.534]

Найдем решение уравнений, порождаемых гамильтонианом (29.24). С этой целью произведем вначале КП А, г А -> д, тг А = (д + гтг)/ /2, гдед, тг — координата и импульс. Это преобразование приводит (29.24) к гамильтониану гармонического осциллятора [c.325]

Действительно, матричный элемент х" р динатных переменных. Совершаем фурье-преобразование по одной из них, и в результате имеем снова две переменные фурье-переменную скачка, которую мы называем р, и центральную точку скачка х. Обе величины являются с-числами, а не операторами. Поэтому функция Вигнера зависит от двух классических переменных х и р. Однако пока ещё не вполне очевидно, что эти переменные соответствуют координате и импульсу, образующим то фазовое пространство, в котором задана функция Вигнера. Мы докажем это в следующем разделе. [c.92]

В картине Гейзенберга операторы координата и импульса х 1) и p(t) являются зависящими от времени линейными комбинациями операторов уничтожения и рождения 6 и стационарного реперного осциллятора. Эта комбинация очень напоминает преобразование сжатия, введённое в задаче 11.5. В самом деле, двухфотонные состояния являются собственными состояниями линейной комбинации операторов уничтоже- [c.536]

Основной особенностью этого второго подхода является использование взаимной связи между угловым моментом и передаваемым импульсом (или, лучше сказать, углом рассеяния). Эти переменные являются, очевидно, сопряженными и их можно для наглядности сравнить с обычными координатой и импульсом частицы. Как известно, волновая функция представляет в импульсном пространстве преобразование Фурье от координатной волновой функции и наоборот. Далее из анализа хорошо известен также тот факт, что особенности функции определяют асимптотическое поведение ее преобразования Фурье. Из взаимообратимого характера преобразования Фурье непосредственно следует, что сингулярности последнего в свою очередь опред ляют асимптотическое поведение исходной функции. Качественно можно сказать, что сингулярность в преобразовании Фурье (асимптотическое поведение) представляет асимптотическое поведение (сингулярность). Аналогичная интерпретация оказывается возможной также в случае угловых переменных с тем только отличием, что в этом случае мы имеем дело с разложением по сферическим функциям и тесно связанным с ним преоб- [c.19]

Канонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай автономного гамильтониана, не зависящего от времени, В первом случае положим Я = 0. Тогда производные по времени от новых переменных равны нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от вре.мени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных (непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения координат и импульсов в произвольный >гамент времени в зависимости от их начальных значений. Подставив (1.2.13а) в (1.2.13в) с Я = О, получим уравнение в частных производных для производящей функции F [c.23]

Здесь X, X — исходные координаты и импульсы, Ут — координаты и ижпулйсы, полученные после преобразования (х, X, у, [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...