Евклидовы тензоры

А — матрица, транспонированная по отношению к А, О — gij) — матрица метрического тензора. В частности, для евклидова пространства существует базис, в котором С превращается в единичную матрицу Е, и потому = Е. [c.18]

Геометрическое (векторное) представление тензоров второго ранга в евклидовом линейном ге-мерном пространстве. В аналитической геометрии в основу рассуждений всегда кладется определенная координатная система. С другой стороны, при построении векторного исчисления координатную систему стараются игнорировать, ставя в соответствие каждому вектору геометрический образ в виде направленного отрезка. При исследовании более сложных физических величин, таких, как тензоры второго и более высоких порядков, геометрическое представление возможно уже лишь в абстрактном л-мерном линейном пространстве. Такое геометрическое представление имеет большое значение для установления физических законов и их экспериментальной проверки. [c.20]

Пусть в трехмерном евклидовом ортогональном пространстве Яз задан тензор второго ранга ац. Пятимерным, пространством Ильюшина называется евклидово пространство Rs, порожденное тензором-девиатором —бца так, что [c.21]

Пусть теперь в трехмерном евклидовом пространстве задан тензор второго ранга апространстве Ильюшина Rs, порожденном тензором-девиатором Эц (), можно построить подвижный многогранник (репер) Френе pi (i=l, 2,. .., 5), связанный с траекторией Э=Э(1). Орты рг репера Френе связаны между собой обобщенными формулами Френе [8] [c.24]

При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве (Ди)7 = 0. Действительно, в евклидовом пространстве существует декартова система координат с единичным метрическим тензором. В этой системе все символы Кристоффеля равны нулю. Следовательно, равны нулю компоненты тензора Римана — Кристоффеля. [c.507]

Выразив компоненты тензора кривизны через компоненты тензора g , или суммы + 6,- и приравняв их нулю, получим шесть условий, обеспечивающих возможность перехода к евклидовой метрике в пространстве, неизменно связанном с деформируемой средой. [c.509]

Для оценки слагаемых, содержащих символы Кристоффеля, примем, что свойства реального физического пространства мало отличаются от евклидовых. Это предположение основывается на огромном количестве наблюдений и опытов, составляющих основу классической механики. Поэтому компоненты метрического тензора будем определять соотношениями [c.527]

Тензор характеризует сразу три напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам и используется для описания физических явлений и процессов, происходящих в упругой среде. В механике сплошной среды используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат. Примененный для описания напряженного состояния точки тензор напряжений инвариантен относительно преобразования прямоугольных координатных осей. Тензор напряжений симметричный, так как коэффициенты матрицы симметричны относительно главной диагонали и равны между собой. Задать тензор напряжений— значит определить напряженное состояние в данной точке тела. В частных случаях напряженное состояние точки определяет напряженное состояние всего тела (при простом растяжении — сжатии), такое напряженное состояние называется однородным. [c.8]

Компоненты тензора деформаций, как это явствует из (3.17) или (3.18), не являются независимыми, они должны удовлетворять некоторым условиям. Эти условия могут быть получены в предположении, что тело в недеформированной конфигурации находится в евклидовом пространстве и продолжает оставаться в нем в процессе деформирования. Как известно, необходимое и достаточное для этого условие состоит в том, что тензор Римана — Кристоффеля как для недеформированного состояния S, так и для деформиро- [c.50]

Эти уравнения указывают на то, что компоненты тензора деформаций Znk зависимы. Уравнения, которым должны удовлетворять компоненты тензора деформаций являются необходимыми и достаточными условиями того, что конфигурации S и 5 принадлежат евклидову пространству. [c.51]

Следовательно, компоненты rot a не зависят от метрики пространства. В трехмерном евклидовом пространстве тензору (ол/,) эквивалентен вектор с контравариантными компонентами [c.418]

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ 7.1. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве [c.208]

Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства тензоров в евклидовом трехмерном пространстве. При пользовании прямоугольными декартовыми координатами исчезает разница между ковариантными и контравариантными величинами, поэтому мы будем пользоваться только нижними индексами. Будем обозначать координаты точки и соответствующие оси координат одной [c.208]

Риман показал, как при помощи дифференцирования можно получить характеристическую величину — тензор кривизны , определяющий вид геометрии. Если все компоненты тензора кривизны равны нулю, то геометрия евклидова, в противном случае — неевклидова. [c.43]

Коэф, / jj, (,г характеризуют отличие М. т. от евклидова и являются компонентами кривизны тензора. Помимо внутр. характеристик многообразия, М. т. задаёт скалярное произведение векторов — (5 , и т] == (т] , Ti ), касательных к многообразию в данной точке (lii) = скалярное произведение не [c.126]

Кривизны тензор этой связности определяет кривизну риманова пространства, характеризующую его отличие от евклидова. [c.395]

Здесь = /4)E v).pf —дуальный тензор напряжённости полей Янга — Миллса в евклидовом пространстве Г — область интегрирования. Условие конечности действия (12) влечёт при l.xj-tx , т,е. вдоль всей границы с Г [c.134]

Условия евклидова пространства. Тензор Римана-Кристоффеля. Рассмотрим —> —>- [c.83]

V. 6. Тензор Римана—Кристоффеля. Квадрат линейного элемента в евклидовом пространстве представляется суммой квадратов дифференциалов декартовых координат [c.886]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

Обозначение не связано с евклидовыми свойствами пространства. 2) Плоскостной элемент в многоме рном пространстве определяется не вектором 9, а тензором более высокого ранга, чем первый. Поэтому здесь термин плоскостной элемент условен [c.363]

Итак, необходимым условием существования евклидовой метрики пространства является обращение в нуль тензора Римана — Кристофсреля. [c.507]

Простейщим примером евклидова пространства двух измерений будет плоскость. Так как основным отличием между поверхностью и плоскостью является кривизна поверхности, связанная с тензором Римана — Кристоффеля, то этот тензор называется также тензором кривизны, как было сказано выше. [c.507]

Добавление 1.4. Для нелинейных тензоров деформации е - и efj аналога формулы Чезаро не установлено Условия совместности в случае конечных деформаций представляют собой условия сохранения евклидовости пространства как известно из геометрии, для того чтобы область Q пространства после деформации также была областью евклидова пространства, необходимо и достаточно, чтобы тензор кривизны деформированного пространства был нулем. Тензор кривизны — тензор четвертого ранга компоненты которого в произвольной криволинейной системе имеют вид [c.15]

Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают антисимметричность тензора Rprst относительно каждой пары индексов р, г н S, t. Учитывая свойства (1.88), после подсчета получаем, что из 81 компонента тензора Римана — Кристоффеля остается только шесть независимых компонентов Я 2 2, Я г ъ, R2323, Ятз, Rim, Rsisz-Известно, что во все евклидово пространство можно ввести декартову систему координат. Так как в последней компоненты метрического тензора постоянны, а следовательно, символы Кристоф- [c.27]

Можно показать и обратное. Если тензор Римана — Кристоффе-ля во всех точках пространства обращается в нуль, то в этом пространстве можно выбрать такие координаты х х , х , чтобы квадратичная форма приняла вид ds =gikdx x с постоянными коэффициентами. Постоянство этих коэффициентов указывает на евкли-довость пространства. Следовательно, равенство нулю тензора Римана — Кристоффеля является достаточным условием того, чтобы пространство было евклидовым. [c.28]

В трехмерном евклидовом пространстве тензору (oijj) соответствует вектор поворота с контравариантными компонентами [c.117]

В связи с указанным основным свойством пластической среды в пространстве напряжений, т. е. в девятимерном пространстве, точки которого задаются значениями напряжений можно отметить область 2)р такую, что если для данного процесса точка рУ лежит строго внутри области р, то частица ведет себя как упругое тело. В противном случае в частице могут возникать пластические (остаточные) деформации. Граница 2р области 2)р представляет собой совокупность пределов упругости для всевозможных напряженных состояний. Компоненты тензора напряжения взятые в декартовой пространственной системе координат х, у, 2, МОЖНО рассматривать как декартовы координаты точек в области 3)р. В девятимерном евклидовом пространстве ) рч в общем случае область 2)р девятимерна, так как упругие напряжения могут быть в известной степени произвольными, а 2р восьмимерна. [c.423]

Если компоненты тензоров 8 и dp = трактовать как компоненты векторов в девятимерном евклидовом пространстве компонент тензора напряжений то постулат (3.8) можно истолковать как условие, что скалярное произведение этих векторов не отрицательно, т. е. [c.434]

В й-мерном евклидовом (псевдоевклидовом) пространстве, где при помощи метрпч. тензора можно поднимать тензорные индексы, для впешних Д. ф. определяется операция перехода к дуальным Д. ф. (см. также Дуальные тензоры) [c.683]

Леви-Чивиты символ. При этом =(-рГ)= ( —1) sign (g)T, а один из Т и . Г является нсевдотензором (меняет знак при отражении). Тензор и его Д. т. принадлежат ортогональным подпространствам /(.-мерного пространства. Благодаря утому переход к Д. т. hпонятие потока через поверхность и Гаусса — Остроградского формулу, а в евклидовом случае — упростить тензорные выражения. Папр., если — эле- [c.23]

Нриеизны тензор П. п. тождественно равен нулю как и евклидово, оно плоское. [c.172]

РИМАНА ТЕНЗОР — то же, что кривизны тензор. РИМЛНОВА геометрия — геометрия рижанова пространства. Осн. понятия Р. г. являются обобщением понятий евклидовой геометрии на пространства с произвольным метрическим тен.чором g j. [c.395]

Квантовополевая теория Э. К. основана на изучении вакуумных средних тензора энергии-импульса рассматриваемого квантованного поля, В квантовой теории поля для неограниченного пространства Минковского с евклидовой топологией плотность энергии вакуума 0 > полагают равной нулю, что сводится к изменению на Й(й/2 начала отсчёта энергии каждой моды. Приписывание вакуумному состоянию нулевых значений наблюдае.>иых следует также из его инвариантности относительно группы Пуанкаре. При наличии граничных условий, связанных с конечностью объёма квантования или с его нетривиальной топологией (возникающей, напр., при отождествлении определ, точек), имеется бесконечный набор разл. вакуумных состояний 0> для разных объёмов или параметров топологич. склейки. Данные состояния переходят одно в другое при адиабатич. (без возбуждения квантов) изменении параметров системы (напр., значения а). Поэтому физически некорректно приписывать всем им наперёд заданное (нулевое) значение энергии, тем более что при наличии границ отсутствует пуанкаре-инвариантность. Основной характеристикой Э. К. является регуляризованный вакуумный тензор энергии-импульса [c.644]

Любая другая компонента равна либо нулю, либо одной из перечисленных о точностью до знака. Тогда условия евклидовости пространства g , g получаются приравниванием нулю шести компонент тензора Римана—Кристоффеля Rijmn О- [c.84]

Структура этого выражения показывает, что величины Rrsq представляют компоненты тензора четвертого ранга, трижды ковариантные по индексам srq и контравариантные по индексу t. Это — тензор кривизны Римана — Кристоффеля его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. Если последние заданы так, что тензор Римана — Кристоффеля оказывается нулевым, то уравнения (V. 6.6) интегрируемы, а пространство с линейным элементом (V. 6.2)—евклидово Ez. [c.888]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...