Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ 7.1. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве [c.208]

Пусть теперь в трехмерном евклидовом пространстве задан тензор второго ранга апространстве Ильюшина Rs, порожденном тензором-девиатором Эц (), можно построить подвижный многогранник (репер) Френе pi (i=l, 2,. .., 5), связанный с траекторией Э=Э(1). Орты рг репера Френе связаны между собой обобщенными формулами Френе [8] [c.24]

Следовательно, компоненты rot a не зависят от метрики пространства. В трехмерном евклидовом пространстве тензору (ол/,) эквивалентен вектор с контравариантными компонентами [c.418]

Определение тензора. Пусть через дс1, з обозначается точка в трехмерном евклидовом пространстве, а через х (/= 1, 2, 3) —единичные векторы декартовой системы координат. [c.612]

Тензоры можно классифицировать по рангу, или порядку, в соответствии с частным видом законов преобразования, которым они подчиняются. Та же классификация отражается и в числе компонент тензора в и-мерном пространстве. В трехмерном евклидовом пространстве, таком как обычное физическое пространство. [c.9]

В" трехмерном евклидовом пространстве тензору (о ц) соответствует вектор поворота с контравариантными компонентами [c.117]

Пусть в трехмерном евклидовом ортогональном пространстве Яз задан тензор второго ранга ац. Пятимерным, пространством Ильюшина называется евклидово пространство Rs, порожденное тензором-девиатором —бца так, что [c.21]

Тензор характеризует сразу три напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам и используется для описания физических явлений и процессов, происходящих в упругой среде. В механике сплошной среды используется трехмерное евклидово пространство с различными системами координат. Примененный для описания напряженного состояния точки тензор напряжений инвариантен относительно преобразования прямоугольных координатных осей. Тензор напряжений симметричный, так как коэффициенты матрицы симметричны относительно главной диагонали и равны между собой. Задать тензор напряжений— значит определить напряженное состояние в данной точке тела. В частных случаях напряженное состояние точки определяет напряженное состояние всего тела (при простом растяжении — сжатии), такое напряженное состояние называется однородным. [c.8]

Пусть в каждой точке поверхности определен тензор X произвольного ранга, являющийся элементом тензорного произведения нескольких экземпляров трехмерного евклидова пространства. Тензор X назовем принадлежащим поверхности, если для [c.47]

Доказанная теорема играет большую роль в механике. В самом деле, согласно этой теореме, линейный оператор, действующий в трехмерном евклидовом векторном пространстве, можно рассматривать как аффинный тензор. Это определение, в свою очередь, удобно тем, что позволяет во многих важных случаях ответить на вопрос, является ли данная физическая величина тензором без проверки выполнения условий (5 ). Например, в динамике твердого тела вводится матрица моментов инерции [c.616]

Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства тензоров в евклидовом трехмерном пространстве. При пользовании прямоугольными декартовыми координатами исчезает разница между ковариантными и контравариантными величинами, поэтому мы будем пользоваться только нижними индексами. Будем обозначать координаты точки и соответствующие оси координат одной [c.208]

Условия (2.21) тождественно выполняются в евклидовом пространстве. Их введение эквивалентно постулированию евклидовых свойств трехмерного пространства. В случае пространства с числом измерений, превышающим три, равенства (2.21) не обеспечивают равенство нулю тензора кривизны и, следовательно, евклидовы свойства пространства. [c.21]

Из (3.7) получаем detQ= l. Ортогональные тензоры с положительным детерминантом называются собственно ортогональными, а с отрицательным — несобственно ортогональными. Ортогональное преобразование не меняет длин векторов и углов между ними, поэтому собственно ортогональный тензор в трехмерном евклидовом пространстве задает конечный поворот абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки. Несобственно ортогональный тензор осуществляет преобразование, состоящее из жесткого поворота и отражения. [c.12]

Уравнения совместности. До сих пор мы не использовали предположения о том, что как исходное недефор-мированное состояние 8, так и деформированное состояние б" расположены в трехмерном евклидовом пространстве. Как хорошо известно из геометрии Римана ), тензор Римана — Кристоффеля для такого пространства должен равняться нулю. Таким образом, если обозначить тензор Римана — Кристоффеля для недеформированного состояния через Я прд деформированного состоя- [c.18]

Мы будем каждый симметричный тензор второго ранга а(г) в фиксированной точке трехмерного евклидова пространства Кз [84] назьшать процессом и считать элементом некоторого функционального пространства Я<, т.е. пространства абстрактных функций, заданных на числовом отрезке О г В пространстве Ht можно ввести скалярное произведение двух произвольных процессов а(1) и а(2), например, по формуле [c.21]

Точно так же в типичном трехпараметрическом семействе эллипсоиды вращения встречаются лишь на отдельных линиях в трехмерном пространстве параметров. Например, еслп в каждой точке трехмерного евклидова пространства задан эллипсоид (т. е. задан симметричный двухиндексный тензор), то особенности полей главных осей будут, вообще говоря, на отдельных линиях (где два из трех полей направлений терпят разрыв). [c.397]

В алгебре все операции были относимы к фиксированной точке, введение криволинейных координат и векторного базиса (4) соответствует переходу к изучению поля—сравнению величин (скаляров, векторов, тензоров) в различных точках трехмерного евклидова пространства 3, В нем возможно задание положения любой точки, как это сделано выше, в единой декартовой систем OXYZ. [c.466]

Характерно, что гравитационное поле учтено элементом тензора, в данном случае только goo- Но и этого достаточно, чтобы четырехмерное пространство стало неевклидовым. Искривлением трехмерного пространства х, у, z) мы пренебрегли, однако незначительные отклонения его от евклидового имеются, что можно понять, если вспомнить об отброшенных членах в (7.37). [c.297]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...