ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания около положения равновесия из "Аналитическая динамика " Коэффициенты К и р в этих формулах суть вещественные положительные постоянные. При желании мон но было бы пойти еще дальше и представить Т в виде квадратичной формы, все коэффициенты которой равны единице, однако для динамической задачи это несущественно. [c.142] Оно содержит только одну координату Таким образом, система уравнений распадается на п полностью независимых систем. [c.142] Это решение получено совершенно независимо от остальных . [c.142] Координаты 1, I2, In называются главными или нормальными координатами колебательной системы колебание, при котором изменяется лишь одна главная координата, а остальные все время равны нулю, называется главным колебанием. Мы говорим, что в главном колебании соответствующая главная координата возбуждена, а остальные координаты находятся в покое. Как видно из формулы (9.1.14), в г-ж главном колебании координата изменяется по гармоническому закону с периодом 2п рг- Всего имеется п таких периодов, не обязательно различных их называют собственными периодами или периодами свободных колебаний системы. Периоды свободных колебаний являются инвариантами системы и не зависят от лагранжевых координат, выбранных первоначально для описания системы. Главное колебание с наибольшим периодом и, стало быть, с наименьшей частотой, т. е. колебание с наименьшим р, называется основным колебанием. Поскольку q зависят от I линейно, любое колебание может быть представлено как суперпозиция главных колебаний. [c.142] ТО любое движение, в котором возбуждаются i-e и -е главные колебания не может быть периодическим. Но можно, однако, всегда указать целые числа mi, m2, . ., Win такие, что равенство (9.1.16) будет выполнено приближенно, и, таким образом, в широком смысле каждое движение приближенно является периодическим. В самом деле, каждая переменная представляет собой почти периодическую функцию от t. Для того чтобы приближение к периодическому движению было достаточно хорошим, приближенный период 2п/й может оказаться весьма большим. [c.143] Здесь q — вектор (матрица-столбец) qi, q ,. . . , qn вектор i, 2, . . ., In , а 8 — квадратная матрица ( г ). [c.143] Этой формой часто польауются при теоретических исследованиях, но практически можно обойтись без перехода от (9.1.13) к (9.1.22). Входящие в выражения (9.1.22) главные координаты т) определяются единственным образом (с точностью до знака), если все р различны. [c.144] Рассмотрим теперь два конкретных примера во втором из них система имеет лишь две степени свободы и решение поэтому значительно упрощается. [c.144] Система совершает поперечные колебания в своей плоскости. Требуется найти движение системы. [c.144] Представим себе, что движение совершается на гладкой поверхности стола. Натяжение Р будем считать большим и изменением его будем пренебрегать. [c.144] Если составить теперь уравнения Лагранжа, то легко убедиться, что они совпадают с уравнениями движения (9.1.23). [c.145] Любое движение, в котором третье главное колебание отсутствует, является периодическим с периодом 2п/п. [c.145] Доказать, что движение системы является периодическим с периодом 2л/и, где = Р12та, и найти ее движение при условии, что в момент i = О каждая частица получает отклонение Ь от прямой AD, а начальные скорости равны нулю. [c.147] Система имеет всего лишь две степени свободы, что упрощает решение. Рассмотрим два способа решения этой задачи. [c.147] Периоды главных колебаний равны 2п/п и 2я/2и , поскольку первый из них в два раза больше второго, любое движение системы является периодическим с периодом 2п/п. [c.148] Пример 9.1 . Связанные системы. Пусть на стене висят двое маятниковых часов. Приведем один из маятников в колебание с амплитудой а. Тогда может случиться, что спустя некоторое время амплитуда колебаний этого маятника уменьшится почти до нуля, а второй маятник придет в колебание с амплитудой а. Спустя еще период времени второй маятник остановится, а первый придет в колебание с первоначальной амплитудой а. Таким образом, колебание будет поочередно передаваться от одного маятника к другому. Аналогичное явление происходит в рассматриваемом ниже примере. [c.148] Тяжелый стержень АВ массы М подвешен в горизонтальном положении за концы Л и В на двух невесомых нитях длиной а каждая. К точке А подвешена на невесомой нити длиной а частица С массы т, такая же частица на такой же нити подвешена к точке В. Система совершает малые колебания в вертикальной плоскости около положения равновесия. [c.148] Движение no координате ф можно считать гармоническим с периодом 2п/ п — v) (который мало отличается от периода 2п1п свободных колебаний каждого из маятников, когда стержень АВ находится в покое) и медленно изменяющейся амплитудой с большим периодом 2n/v. Движение по координате принадлежит к тому же типу. При этом, однако, амплитуда ф-коле-баний максимальна тогда t — О, n/v, 2n/v,. . . ), когда амплитуда г1з-коле-бания минимальна, и наоборот. Колебание медленно передается от первого маятника ко второму, затем обратно — от второго к первому и т. д. [c.149] Вернуться к основной статье