Свойство моментов инерции относительно главных осей

IV.6. Свойство моментов инерции относительно главных осей [c.118]

Проверить правильность решения задачи. Для этого нужно использовать особенности и свойства геометрических характеристик инвариантность суммы осевых моментов инерции [1у 1, = 1у + - 20) равенство нулю центробежного момента инерции относительно главных осей инерции [c.248]

Моменты инерции относительно главных центральных осей инерции называют главными моментами инерции они обладают тем свойством, что один из них имеет максимальное, а другой минимальное значение по сравнению с моментами инерции относительно остальных центральных осей. Главные моменты инерции [c.169]

Важно отметить, что главные моменты инерции обладают свойством экстремальности. В этом легко убедиться, продифференцировав выражение для момента инерции относительно произвольной оси [см. формулы (2.34)] по переменной а dJ, [c.26]

У всякого сечения, имеющего три и более осей симметрии, все центральные оси являются одновременно и главными, а осевые моменты инерции относительно этих осей будут равны между собой. В частности, этим свойством обладают равносторонний треугольник и все правильные многоугольники с четным числом сторон (квадрат, шестиугольник и т.д.). [c.151]

Ротор состоит из безынерционных упругих участков и дисков , т. е. сосредоточенных масс, инерционные свойства которых описываются величиной этих масс, положением ц. т. по отношению к точке их закрепления на оси ротора и массовыми моментами инерции относительно главных центральных осей инерции каждой массы. Все упругие участки ротора можно, не уменьшая общ- [c.95]

Прямоугольник. Найдем моменты инерции относительно главных центральных осей, которые в соответствии со свойством 2 ( 2.5) совпадают с осями симметрии прямоугольника (рис. 2.10). Так как ширина сечения постоянна, то по формуле (2.14) получим [c.30]

Моменты инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси радиус инерции. Моменты инерции тела относительно плоскости и полюса. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса). Примеры вычисления моментов инерции (моменты инерции однородного тонкого стержня, тонкого круглого кольца или полого цилиндра и круглого диска или сплошного круглого цилиндра). Формула для вычисления момента инерции относительно оси любого направления. Центробежные моменты инерции. Главные и главные центральные оси инерции и их свойства. [c.8]

При преобразованиях для получения уравнений (99)—(101) встречается одна особенность. Ось Оу вращения ротора (см. рис. 44, б) является осью симметрии, а поэтому и главной центральной осью инерции ротора. Ротор имеет плоскость симметрии, которая проходит через ось вращения перпендикулярно плоскости хОу. Согласно известному свойству симметричных тел любая ось, проведенная перпендикулярно этой плоскости, является главной осью инерции, а ось, проходящая через центр тяжести, — главной центральной осью инерции. Оси Оу и проходящие через центр инерции т , являются главными центральными осями инерции. При преобразованиях появляются две величины Л и А х, пропорциональные центробежным моментам инерции относительно главных центральных осей, т. е. Л = д к [c.151]

Аналогично можно доказать и более общее утверждение, согласно которому у всякого сечения, имеющего три и более осей симметрии, все центральные оси являются главными и осевой момент инерции относительно любой центральной оси будет одним и тем ж е. Этим свойством обладают такие, например, сечения, как равносторонний треугольник, квадрат, шестиугольник и др. [c.59]

Сформулируем без доказательства важное свойство главных осей инерции — центробежные моменты инерции сечения относительно главных осей равны нулю. Этим свойством пользуются для определения положения главных осей инерции сечения. [c.246]

Проекция на главную ось у касательных усилий qy=Sx, возникающих в тонкостенном профиле при Qy/Jx= , численно равна моменту инерции площади тонкостенного сечения относительно главной оси X. Пользуясь этим свойством, вычислить главные моменты инерции и Jy тонкостенного двутавра (рис. к задаче 4.136) и швеллера (рис. к задаче 4.138) при помощи эпюры статических моментов Sx и Sy. [c.115]

Главные осевые моменты инерции 1 и обладают свойством экстремальности—один из них максимален, а другой — минимален из всего множества осевых моментов инерции относительно осей, проходящих через рассматриваемую точку — начало координат системы ху. [c.602]

При определении моментов инерции составного сечения относительно главных центральных осей на основании свойства аддитивности определенных интегралов сечение разбивают на простые фигуры, у которых известны положения центров тяжести и моменты инерции относительно собственных центральных осей. По формулам (2.5) находят координаты центра тяжести всего сечения в системе произвольно выбранных вспомогательных осей. Параллельно этим осям проводят центральные оси, относительно которых по формулам (2.6) [c.34]

Главные моменты инерции обладают экстремальными свойствами момент инерции Jf является максимальным, а Уд — минимальным среди всех осевых моментов инерции относительно осей, проходящих через то же начало координат. [c.46]

Главные центральные оси инерции обладают тем свойством, что осевой момент инерции относительно одной из них имеет наибольшее значение, а относительно другой — наименьшее значение по [c.157]

Решение. Гироскоп (волчок) имеет ось симметрии . Согласно условию задачи главный момент количеств движения волчка направлен по оси симметрии. Если бы ось была неподвижной, то такое направление кинетического момента являлось бы очевидным. Но основным свойством всякого гироскопа является его способность быстро вращаться вокруг оси при одновременном поворачивании оси вращения. Если угловая скорость со гироскопа вокруг оси очень велика, а угловая скорость tOi, с которой поворачивается ось гироскопа, невелика, то с достаточной точностью можно допустить, что главный момент количеств движения гироскопа относительно точки опоры О направлен по оси симметрии и равен произведению угловой скорости на момент инерции гироскопа относительно оси симметрии [c.229]

Таким образом, если производная (112 /с1а обращается в нуль, а центробежный момент относительно центральных осей всегда равен нулю, то главные моменты инерции 1ц и 1у обладают свойством экстремальности относительно одной из главных осей момент имеет максимальное значение, а относительно другой — минимальное. [c.30]

Если плоская фигура имеет сложное очертание, то ее следует разбить на к более простых фигур и вычислить момент инерции хк ДЛЯ каждой из них порознь относительно главной центральной оси X всего сечения. Тогда по свойству определенного интеграла момент инерции сложной фигуры будет равен сумме моментов хк- [c.112]

Три взаимно перпендикулярные оси, обладающие этим свойством, называют главными осями инерции. (Свободные оси совпадают с ними.) Моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции их обозначают через h, h, h- [c.246]

При проектировании спутника стремятся разместить различные составные части маховика так, чтобы распределение его масс обладало очень хорошей степенью симметрии относительно оси крепления. До запуска спутника производят тщательную балансировку маховика так, чтобы его центр масс лежал на оси крепления и чтобы эта ось была главной осью инерции. Когда ось крепления обладает указанными свойствами, а корпус не вращается около этой оси, движение спутника приводится к установившемуся вращению около оси крепления прй этом линия действия скорости собственного вращения, ось крепления и линия действия вектора кинетического момента совпадают. [c.40]

Те оси, относительно которых получаются экстремальные моменты инерции (наибольший и наименьший), называются главными осями. Как видно из предыдущего, главные оси взаимно перпендикулярны. Относительно одной из них получаем максимум /г., относительно к ней перпендикулярной — минимум /г.. Легко найти прорезающую сечение ось, так как для этой оси расстояние площадок до оси наименьшее. Отметим очевидное свойство для главных осей центробежный момент инерции сечения равен нулю. Действительно, направления главных осей выше мы определяли, приравнивая нулю первую производную (И йа., которая, согласно (7.37), пропорциональна центробежному моменту инерции поэтому для главных осей /г,у = 0. [c.142]

Итак, если сечение имеет какую-либо одну пару главных осей Z и К с равными моментами инерции (4 =/у), то любая другая ось есть также главная. Это свойство соблюдается для квадрата, круга, кругового кольца и других сечений. Разнобокий уголок (рис. 90, в), очевидно, имеет ось симметрии Z , расположенную по биссектрисе угла, поэтому оси Z , Уо — главные оси. Характерно, что для этого сечения относительно центральных осей 4 4 , а потому здесь имеется лишь одна пара главных осей. [c.143]

Далее доказывается теорема об изменении кинетической энергии системы, изучаются свойства кинетической энергии системы, указываются способы вычисления ее для твердого тела при различных случаях движения. В связи с последним рассматриваются осевые моменты инерции и их свойства. Затем доказывается теорема об элементарной работе сил, действующих на абсолютно твердое тело на основании определения работы сил, действующих на точки материальной системы, и теоремы о распределении линейных скоростей в свободном твердом теле. Здесь естественно вводятся понятия о К/ оменте силы относительно центра и оси, о главном векторе и главном моменте сил относительно произвольного центра. [c.69]

Вращающуюся молекулу приближенно можно рассматривать как вращающееся твердое тело (жесткий волчок). При таком рассмотрении все молекулы могут быть разделены по вращательным свойствам на четыре группы в зависимости от соотношения между тремя главными моментами инерции /а, /ь, /с относительно трех главных осей инерции молекулы (табл. 1.1). [c.8]

Итак мы заключаем, что в каждой точке О твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси X, У, Z, обладающие тем свойством, что центробежные моменты инерции тела относительно этих осей равны нулю. Эти оси называются главными осями инерции, а соответствующие моменты инерции А, В и С — главными моментами инерции в точке О. [c.287]

Заметим, что для круга и кольца все центральные оси главные и моменты инерции относительно этих осей равны между собой. Эти.м же свойством обладает любое сечение, у которого два главных центральных момента инерции одинаковы (см. ниже прилгер 5-4). [c.83]

Прямоугольный и равнобедренный треугольники. Для прямоугольного треугольника (рис. 2.12) определим центробежный момент инерции относительно центральных осей Ох и Оу, параллельных катетам. Это можно сделать, воспользовавшись формулой (2.3). Однако, решение задачи можно упростить, если применить следующий прием. С помощью медианы 0 0 разделим заданный треугольник на два равнобедренных треугольника OiO A и О О В. Оси О3Х3 и ОзУз являются осями симметрии для этих треугольников и на основании свойства 2 ( 2.5) будут главными осями каждого из них по отдельности, а, следовательно, и всего треугольника О АВ. Поэтому центробежный момент инерции хз>>з = 0- Центробежный момент треугольника относительно осей Ох и Оу найдем с помощью последней из формул (2.6) [c.31]

Мы вынуждены давать определение главных осей как таких, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю— ведь мы не докаг Ываем экстремальность главных моментов инерции. Получается, что наименование неоправданно. Действительно, почему оси главные, если центробежный момент инерции равен нулю Что в них главного Приходится, не приводя доказательств, объяснять, что оси названы главными в силу свойства экстремальности моментов инерции — относительно одной из них момент инерции максимален, а относительно другой—минимален. [c.115]

Построим на главных центральных осях инерции фигуры эллипс с полуосями, равными главным радиусам инерции, причем вдоль оси и отложим отрезки г , а вдоль оси v — отрезки iu (рис. 34). Такой эллипс, называемый элли/гсолг инерции, обладает следующим замечательным свойством. Радиус инерции относительно любой центральной оси 2 определяется как перпендикуляр ОА, проведенный из центра эллипса на касательную, параллельную данной оси. Для получения же точки касания достаточно провести параллельно данной оси 2 любую хорду. Точка пересечения эллипса с прямой, соединяющей центр О и середину хорды, и есть точка касания. Измерив затем отрезок Oy4=Iz, находим момент инерции = [c.40]

Прецессия гироскопа. Гироскопом (от слов "giro"- вращение, "sl opeo"- смотреть) называют симметричный волчок, обладающий большим моментом инерции I относительно оси симметрии, которая, как отмечалось ранее, является одной из его главных осей инерции. Именно вращаясь относительно своей оси симметрии с большой угловой скоростью сэ , т.е. обладая большим собственным моментом импульса = относительно этой оси, гироскоп проявляет свои специфические свойства, об одном из которых пойдет речь. [c.72]

Рассмотренная выше классификация по свойствам симметрии полной собственной функции [классификация по типам по.гной симметрии over-all spe ies), согласно Мелликену [645]] применяется не так часто, как классификация по свойствам симметрии только вращательной собственной функции (см. Деннисон [279]). Назовем для краткости три главные оси, относительно которых моменты инерции равны соответственно /д, 1ц, и /с, осями а, Ь к с. Вращательная собственная функция ([ г зависит от ориентации этой системы осей относительно неподвижной системы координат. дает вероятность различных ориентаций осей. В силу симметрии Эллипсоида инерции, данной ориентации осей и ориентациям, отличающимся от нее поворотом на 180° вокруг одной из осей, должны соответствовать одинаковые вероятности. [c.64]

Отметим некоторые свойства быстро вращающегося гироскопа. Пусть гироскоп закреплен так, что его центр тяжести совпадает с неподвижной точкой О. Такой гироскоп называют уравновешенным. Пусть он вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью Так как в данном случае ось симметрии является главной центральной осью инерции, то кинетический момент Ко гироскопа направлен по оси симметрии, причем Ко = oJi. Последнее равенство является не приближенным, а точным. Если момент внешних сил относительно центра тяжести равен нулю, то вектор Ко постоянен, и ось гироскопа сохраняет свое начальное направление в неподвижной системе координат. [c.210]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...