Формула Частные производные

В ЭТИХ формулах частные производные по а влияют лишь на коэффициенты а а" (а, а ), а а" [а, а"] , а а" [а, а" , а а " а, а "),. .. функций Ф и но достаточно вместо них подставить [c.178]

Разложим в ряд Тейлора эту функцию, обозначив ее через Р h. К, /и), по степеням разности h — Jio,h — /и — /ио и ограничимся двумя членами разложения. Учитывая, что в исходной точке й" = Ло = О, h= ho ш. f = /иц, получаем формулы частных производных в этой точке [c.97]

В этой формуле частная производная р по q при постоянном значении энтропии S обозначена через Применив формулу [c.45]

Можно высказать глубокое удовлетворение по поводу того, что если теория дифференциальных уравнений термодинамики во втором издании учебника Жуковского (1940) ставилась согласно второму варианту, то в третьем издании этого учебника (1952) теории дифференциальных уравнений посвящена отдельная глава, т. е. она ставится уже согласно четвертому варианту. При этом теория дифференциальных уравнений начинает развиваться в этом учебнике с вывода формул частных производных внутренней энергии и прежде всего с вывода формулы [c.426]

После подстановки в эти формулы частных производных, найденных из уравнения состояния (17), и изохорной теплоемкости по уравнению (20) получим [c.29]

Если нужно найти составляющую силы притяжения по какому-либо другому направлению, не совпадающему с направлениями координатных осей, то мы можем воспользоваться приведенными выше формулами (1.4), (1.12) и (1.13). Входящие в последние две формулы частные производные без труда могут быть вычислены, в случае, когда точка Р не составляет часть притягивающей массы, при помощи правила дифференцирования собственного определенного интеграла по параметру. [c.28]

Обратимся снова к формуле (13) и выпишем частную производную от левой и правой части этого равенства по [c.126]

В силу формулы (9) частная производная от радиуса-вектора по <7 также является функцией всех новых координат и t. [c.126]

Из формулы (35) непосредственно видно, что в выражение для кинетической энергии входят члены, не содержащие q (они получаются от возведения в квадрат частной производной от по явно входящему времени), члены, содержащие первые степени q (они получаются при подсчете удвоенных произведений указанной выше производной по явно входящему времени на остальные члены, стоящие в формуле (35) под знаком суммы по /), и, наконец, члены, квадратичные относительно q (они получаются при [c.137]

Мы не будем здесь входить в детали, связанные с интегрированием уравнений в частных производных, и предположим лишь, что каким-либо образом полный интеграл уравнения (132) определен, т. е. найдена функция S (q, а, t), удовлетворяющая условию (133) н обращающая уравнение (132) в тождество. Тогда, подставляя в формулы преобразования, порожденного функцией S - S, т. е. в формулы (126), новые гамильтоновы переменные (в силу выбора Я ---=0 это константы (130)), получаем формулы преобразования в следующем виде [c.324]

Вычислим частные производные от кинетической энергии Т, определенной формулой (12 по обобщенным координатам р и а [c.505]

Подставим в формулу (128), выражающую элементарную работу силы, вместо X, Y и Z частные производные силовой функции [c.168]

В полный интеграл дифференциального уравнения (11.367) войдет аддитивная постоянная, так как это уравнение не содержит функции W вне знаков частных производных. Аддитивная постоянная соответствует постоянной С в формуле (11.364). Предположим, что полный интеграл уравнения (И. 367) имеет следующий вид [c.371]

Выражая усилия через деформации по формулам (7.40) и далее через перемещения, согласно соотношениям (7.38), приводят задачу о колебаниях к трем дифференциальным уравнениям в частных производных относительно перемещений Ua, и Пг [108]. [c.263]

Определение действия V по формуле (7.14) предполагает знание закона движения материальной системы. Поэтому нет ничего удивительного, что в формулах (7.15) мы так просто получили то, что предположили известным с самого начала. Чтобы обойти трудности определения действия V по формуле (7.14), Гамильтон нашел то дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, для которого действие V является полным интегралом. [c.219]

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

Как мы видели, в формулы для деформаций, напряжений и перемещений входят частные производные функции Ф. Поэтому достаточно определить функцию Ф(д 1, Х2) с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство дает возможность положить одну из постоянных v равной нулю. [c.179]

Аналогичным образом можно вывести подобные формулы для частных производных по координатам Xh от остальных углов поворота 0)1 и С02. Величина представляет собой кручение волокон [c.202]

Подставляя в уравнение (3.7.1) по формулам (1.8.3) вместо компонентов тензора напряжений компоненты тензора деформации, выраженные через перемещения с помощью уравнений Коши (1.7.1), и учитывая независимость друг от друга аппроксимирующих функций , (р , ф , получим три приближенные системы (т + л- -/) уравнений в частных производных по трем переменным относительно (т + п + /) искомых функций /и П, [c.73]

Другая частная производная может быть вычислена по формуле [c.96]

Компоненты тензора малого поворота и вектора поворота. Заменяя в формуле (1.29) обычные частные производные ковариантными, получим формулу для компонент тензора малого поворота в криволинейных координатах [c.117]

Аналогично получаются также формулы, аппроксимирующие частные производные по другому аргументу t, в виде [c.226]

Из формулы видно, что перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии системы по этой силе. [c.213]

Из (1.1.25) после использования формулы Гаусса — Остроградского с учетом (1.1.6) следует выражение для субстанциональной производной Г)Ф/В1 через частные производные по времени и координатам пли субстанциональные производные [c.23]

Слева стоит частная производная по времени вследствие неподвижности центра объема 6F, к которому относятся осредненные величины. Формула (1.2.21) связывает производную по време- [c.50]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Пусть в результате такой фл пстуации объем изменился на величину 6 . Если бы энергия тела не менялась, его энтропия изменилась бы при этом на величину = (дS/дV) с1Е. В этой формуле частная производная (Э5/Э 0 , как уже объяснялось, [c.81]

Выбор за основу построения теории д. у. т. внутренней энергии обеспечивает ей ту же последовательность в развитии, которая имеется и в развитии общей теории термодинамики, а именно сперва выводятся дифференциальные зависимости внутренней энергии, затем теплоты, энтропии, энтальпии, свободной энергии, термодинамического потенциала и т. д. Можно за основу построения д. у. т. выбрать и другую какую-либо функцию состояния, например энтропию, но, как мие кажется, при этом будет нарушено прямое и логическое развитие всей теории д. у. т. в целам. Кроме того, внутренняя энергия из всех функций состояния обладает наиболее простым физическим обоснованием. При выборе за основу построения теории д. у. т. внутренней энергии обеспечивается следующая последовательность ее развития. Прежде всего определяются значения частных производных внутренней энергии при различных независимых переменных. Выводы этпх соотношений и являются по существу основной частью рассматриваемой теории. Все же остальные выводы в ней являются простыми следствиями формул частных производных внутренней энергии. [c.439]

Ряд форм модели получается при преобразовании ее уравнений на основе формул и требовании выбранного численного метода решения. Так, численное решение дифференциальных уравнений как в частных производных, так и обыкновенных требует их предварительного преобразования — дискретизации и алгебраизации. Дискретизация заключается в замене непрерывных независимых переменных (времени и пространственных координат) дискретным множеством их значений. [c.168]

Здесь слева вследствие неподвижности центра объема dV, к которому относятся осредненные величины, стоит частная производная по времени. Разделив обе части этого уравнения на dV и иСт пользуя объемные концентрации фаз и относительную межфаз-ную поверхность получим формулу [c.68]

Формулы (120.7) показывают, что в случае сил, имеющих потенциал, обоби/ нная сила, соответствующая обобщенной координате q,, равна взятой со знакам минус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате. [c.331]

Е1озвращаясь к составлению уравнения Лагранжа для рассматриваемого кривошипно-шатунного механизма, вычислим частную производную от кинетической энергии Т, определенной формулой (17), [c.491]

Как известно из механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Якоби, являющегося, как и уравнение (67,3), уравнением в частных производных первого порядка. Аналогичной г 5 ве.1ичииой является гфи этом действие 5 частицы, а производные от действия определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергию) частицы согласно формулам р = <35/(3г, Н =-—dS/dt, аналогично формулам (67,2). Известно, далее, что уравнение Гамильтона-Якоби эквивалентно уравнениям Гамильтона, имеющим вид р = —dHfdr, v = r = dH/dp. Вследствие указанной аналогии между механикой материальной частицы и геометрической акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравнения для лучей [c.366]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Значение частной производной dHdT)p = p, а по формуле (8.25) для 1 кг газа [c.140]

Из этих уравнений видно, что для получения по данным о сжимаемости точных формул для зависимости теплоемкостей от р или v необходимо, чтобы опыты по определению параметров р, v, Т проводились со столь большими количествами измерений и с такой точностью их, которая гарантировала бы правильное вычисление первых и вторых частных производных от V или р по Т (в настоящее время ошибка измерения термических параметров составляет около 0,1%, за исключением околокритнческой области). Кроме того, для получения полной зависимости теплоемкостей от параметров состояния необходимо знать еще температурную зависимость теплоемкости v или Ср данного газа при исчезающе малом давлении, т. е. величину [c.203]

Предположим, что в результате тщательно проведенных опытов найдены значения теплоемкости Ср в некоторых интервалах давлений и температур и, в частности, установлен ход изотерм теплоемкости Ср = Ср (р, Т = onst) при различных температурах. Пусть далее в результате обработки этих экспериментальных данных установлены эмпирические формулы для теплоемкости и ее частной производной (дср1др)т в зависимости от р и Т. Тогда, воспользовавщись уравв ением (3.58), получим [c.203]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

Градиент скалярной функции grad ф, как известно, обладает тем свойством, что его проекция на любое направление s равна частной производной от потенциальной функции ф по этому направлению. Если S — координатное направление, то, поскольку ISi = Hidqi, проекция градиента на это направление выразится формулой [c.301]

При анализе поперечной устойчивости по этой формуле необходимо учитывать, что все частные производные в ней, а также величина Ak являются функциями геометрических параметров оперения (крыльев), а также числа Моо. Степень этой устойчивости неодинакова при различных углах атаки при малых значениях углов она невелика, а при больших становится весьма значительной. Это особенно заметно у несущих поверхностей с большой стреловидностью. Для снижения чрезмерной поперечной устойчивости таким поверхностям придается нулевая или даже отрицательная V-образность, В случае нестреловидных крыльев (оперения) наблюдается, наоборот, уменьшение устойчивости. Для ее повышения применяют несущие поверхности с положительным углом ij поперечной V-образности. [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...