Неявные Частные производные

В уравнение Аппеля входит лишь частная производная от энергии ускорения по переменной величине ф1. Поэтому вместо полного выражения энергии ускорения достаточно записать ту ее часть S, которая содержит члены, зависящие явно или неявно от ускорения Ф1 [c.158]

Переход от частной производной по Ха в (11.14) к полной производной в (11.15) может вызвать некоторые недоразумения. В первом случае частная производная указывает на то, что ti есть функция не только Xk, но и t, а также других координат. Что касается второго случая, то в выражении (11.15) мы не можем употреблять символ частной производной, так как это означало бы, что рассматривается лишь явная зависимость Й от Х/,. Поэтому мы пользуемся здесь символом полной производной, желая подчеркнуть, что эта производная учитывает и неявную зависимость от Хц, вносимую переменной т . Так или иначе, но смысл операций, которые здесь должны быть выполнены, совершенно ясен. [c.382]

Частные производные неявных функций. Если функция Z (х, у) задана уравнением [c.156]

Уравнениями xa—yv=a , определяются неявные функции и, V независимых переменных х, у. Частные производные этих функций могут быть найдены путём решения систем уравнений [c.156]

Смысл частной производной лучше уясняется из контекста, когда эта операция производится над явной функцией. Так, даЦ, t)/dt — производная по времени при постоянных ds x, t) jdt — производная по времени при постоянных х ds(x, t)jdx — частная пространственная производная при фиксированных х , х и t. При неявном задании аргумента функции производная может оказаться неоднозначной. [c.403]

Поскольку интересующая нас зависимость дана в неявном виде, то зависимость относительного объема V от любой входящей в это уравнение переменной величины, например ср, выражается отношением частных производных [c.159]

Соотношения (13) определяют неявным образом Ж как функцию Ь и Дифференцированием (13) по L при постоянном и по при постоянном Ь нетрудно вычислить частные производные [c.398]

Важная деталь, которую прояснили П. Т. Ландсберг и Ж. Тонге в своём обзоре и которая не была достаточно оценена предыдущими исследователями, — это разница между температурами потоков и яркостными температурами, первые из которых не являются абсолютными термодинамическими температурами (т. е. частной производной энергии по энтропии при постоянном объёме). В любом случае, правая часть полученного ими неравенства (1.50) представляет собой коэффициент полезного действия цикла Карно , вычисление которого требует определения энтропии, унесённой неравновесным излучением поля. П. Т. Ландсберг и Ж. Тонге утверждают, что эта энтропия описывается обычным равновесным выражением, а именно, интегралом от числа занятых фотонов по всем модам, входящим в спектральную ширину излучения, по области телесных углов и по направлениям поляризации излучения. Заметим, что плотность потока флуоресцентной энергии может быть записана как интеграл по тем же числам заполнения фотонов. Тогда, исходя из данных спектра флуоресценции, величина энтропии может быть соотнесена к величине энергии, так, что Тр в конечном счёте выражается только в терминах эмиссионной интенсивности. Этот анализ неявно предполагает, что Тр [c.41]

Первая и третья частные производные показывают, как влияют параметры компонентов на величину выходного сигнала в фиксированные моменты времени. Воспользовавшись неявной зависимостью = /[У(Ш, t), У, t], коэффициенты влияния указанных параметров можно представить в виде [c.148]

Если переменная у задана, как функция аргумента х, неявно уравнением F(x, у)=0, то её производные могут быть найдены с помощью частных производных (определение частных производных см. стр. 133) [c.131]

Обратим внимание на то, что при проверке как уравнения Пуассона, так и уравнения Лапласа, мы неявно предполагали, что функция Ь(Ь ) имеет первую производную по а значит, имеет также первые частные производные по координатам текущей точки. [c.146]

Левая часть последнего равенства разложима, по степеням (и — 1), е sin I, е os I. При каком условии можно разложить (и — /) по степеням е sin Z и е os Z Согласно теореме о неявных функциях это условие заключается в том, что частная производная левой части по (и — I) должна быть отличной от нуля при е os Z = О и е sin 1 = 0. Это условие выполнено, так как эта производная равна единице. Следовательно, (и — I) может быть разложена по степеням е os Z и е sin Z, и то же самое можно утверждать и о е os (и — Z) и е sin и —I), которые в свою очередь разложимы в ряды по степеням и — I). [c.76]

Как при определении погрешности формообразования Ьд, так и при расчете величины критической подачи 8в, обычно приходится оперировать с неявно заданными аналитическими функциями вида Д(х, у) = 0 и И х,у) = 0. Это усложняет вычисление величин Ьд и 8д. Для упрощения вычислений непрерывные функции вида Д(х, у)=0 и у)=0, имеющие при х = хд все необходимые частные производные, можно представить в виде бесконечной суммы членов степенного ряда Тэйлора [c.535]

Функция у (х, с,,..., С ), тождественно удовлетворяющая диференциальному уравнению п-го порядка г(х, у, у, ..., v< )) = О и зависящая от п произвольных постоянных l,..., Сп, называется общим решением уравнения. Соотношение Ф (v, у. С,,..., С ) = О, определяющее общее решение уравнения как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. Произвольные постоянные могут быть определены. если заданы начальные условия, т. е. при некотором значении Xq независимой переменной X заданы значения функции и её производных JV, ..з д(п —1). Если соблюдаются условия теоремы о существовании и единственности решения (см. стр. 226), то общий интеграл уравнения даёт полное решение задачи об интегрировании диференциального уравнения п-го порядка. В противном случае могут существовать так называемые особые интегралы, которые нельзя получить из общего интеграла при частных значениях произвольных постоянных. [c.224]

Математические модели называют функциональными, если они отражают процессы, протекающие в объекте при его функционировании, или структурными, если они отражают топологические или геометрические свойства объекта. Типичными функциональными моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями. Для их решения в САПР применяют методы конечных разностей или конечных элементов. Функциональные модели на макроуровне представляют собой обыкновенные дуфференциальные уравнения. Наибольшее распространение для их решения получили неявные или комбинированные методы численного интегрирования. Для моделирования на метауровне наравне с обыкновенными дифференциальными уравнениями используют модели массового обслуживания и логические уравнения. [c.80]

Сравнивая между собой явные и неявные уравнения, следует заметить, что как явные, так и неявные уравнения являются результатом замены дифференциального уравнения теплопроводности с частными производными конечно-разностными уравнениями. Неявные уравнения по сравнению с явными имеют менее сильное ограничение по устойчивости явные уравнения устойчивы лишь при выполнении условия (2-4), которое требует выбора определенных шагов интегрирова-38 [c.38]

Пусть f(x, y, z) имеет частные производные по xeR , y R, zseR и г = г(х, г/J—неявная функция, определяемая уравнением F x, у, 2) = О, т. е. такая функция, что у, г х, г/)]=0. Тогда, если дР/дгфО, то [c.99]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Этой проблеме посвящено много точных аналитических работ, причем исследовалось главным образом уравнение (3.4) с линейными граничными условиями. Следует подчеркнуть, что имеется несколько различных, но взаимосвязанных вопросов, в частности вопрос о сходимости, т. е. о том, стремятся ли решения разностных уравнений к решению нашего уравнения в частных производных, когда s и т -> О, и вопрос об устойчивости, т. е. вопрос о том, уменьшаются ли численные ошибки и ошибки округления с увеличением времени или увеличиваются. Фаулер [15] рассматривает вопрос о сходимости, изучая точные решения разностного уравнения (3.4). В работе [16] устойчивость уравнения (3.4) изучается методом, разработанным Нейманом в ней отмечено характерное превосходство неявных соотношений типа (3.11). В статьях Лойтерта [17] указывается, что сходимость возможна в некоторых случаях, в которых условие устойчивости не выполняется. Соотношения между сходимостью и устойчивостью рассматриваются также в работах [18, 19]. Последняя статья содержит довольно полное обсуждение этого вопроса с интересными численными примерами. В большинстве перечисленных выше работ подчеркивается, что сходимость и устойчивость зависят от формы начального и граничных условий. В них отмечаются трудности, с которыми приходится сталкиваться при исследовании линейных задач. В случае нелинейных задач эти вопросы пока еще практически не затрагивались. [c.460]

Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр (соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с взаимодействием переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Для доказательства факта асимптотичности построенных рядов необходимо применять теорию, принадлежащую А.П. Кузнецову [14, 15]. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов (10), то она обладает настоящим гладким решением для которого (10) дает асимптотическое разложение. [c.102]

Размазывание ударной волны при помощи неявной схемной вязкости осуществляется и в некоторых других методах. Так, в настоящее время широко применяется схема Лакса — Вендроффа [1960] и ее двухшаговые варианты, например схема Рихтмайера (см. Рихтмайер [1963]). В методе PI и в его модификации EI (метод взрыва в ячейках), разработанной в 1964 г. Мадером, размазывание скачков достигается за счет введения конечного числа рассчитываемых частиц. Этот прием дает также возможность рассматривать поверхности раздела в жидкости (см. Харлоу и Уэлч [1965, 1966], а также Дали [1967]). В методе PI , как и в более раннем методе Куранта — Изаксона — Риса [1952], используются односторонние разности для первых производных по пространству и таким образом вводится своего рода схемная вязкость (см. гл. 3), однако эти методы сохраняют истинные характеристические свойства дифференциальных уравнений. Хотя во всех этих методах неявно используются диссипативные члены, размазывающие ударные волны, для обеспечения устойчивости каждого из них в некоторых частных случаях требуется введение дополнительных членов с явной искусственной вязкостью. [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...