Функция обладающая бесконечно малым

Функция F( J,. .., обладает бесконечно малым высшим пределом, если, как бы мало ни бьшо заданное положительное число Q > О, найдется такой радиус т] > О и такая сфера [c.392]

Функция Ляпунова первого рода, явно от времени не зависящая, обладает бесконечно малым высшим пределом в силу своей непрерывности в нулевой точке. В самом деле, если функция непрерывна в точке [c.393]

Напомним, что в отличие от внутренней энергии и энтальпии количество теплоты Q и работа L (или L ) не являются функциями состояния, а представляют собой функции процесса, происходящего в системе их величины зависят от пути, по которому совершается переход из начального состояния в данное. Поэтому, например, лишено смысла говорить о количестве теплоты, которой обладает тело в данном состоянии, поскольку количество теплоты в зависимости от того, как был осуществлен переход тела в данное состояние, может иметь любое значение. Математически это выражается тем, что бесконечно малые количества теплоты и работы dQ и dL не являются полными дифференциалами. Наоборот, разность dQ и dL представляет собой полный дифференциал, равный дифференциалу внутренней энергии dU. [c.32]

Внутренняя энергия в отличие от теплоты и работы является свойством системы, параметром ее состояния и может рассматриваться в качестве функции других параметров состояния, принятых за независимые переменные. Бесконечно малое изменение этой функции йи обладает свойствами полного дифференциала, поэтому интегрирование du от начального до конечного состояния системы в некотором процессе сводится к вычислению разности значений внутренней энергии в этих двух состояниях [c.34]

Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла. [c.60]

Этот ряд везде сходится, чего, однако, мы здесь не будем доказывать Если радиусы обоих шаров рассматривать как бесконечно малые сравнительно с расстоянием между шарами, то при этом каждый последующий член ряда будет бесконечно мал сравнительно с предыдущим. Каждая из величин Кг. 1 3,... сама выражается в шаровых функциях бесконечным рядом, который обладает также свойством, что каждый следующий член бесконечно мал сравнительно с предыдущим, если радиусы шаров бесконечно малы сравнительно с расстоянием между ними. Если при таком предположении желательно вычислить ф с точностью только до величин известного порядка, то можно принимать в расчет лишь ограниченное число величин V и для каждой из них ограниченное число членов. [c.195]

Наконец, произведем простое обобщение следствия 2, приводящее к критерию асимптотической устойчивости. Этот критерий требует наложения дополнительного ограничения на определенно-положительную функцию ( О- Любая определенно-положительная функция / ( /) обладает тем свойством, что, как бы мало ни было е > О, существует такое положительное и = к (е), что если г С и, то / у) С е. Правда, в общем случае это утверждение неверно ), однако мы будем рассматривать только такие функции g у <), которые обладают указанным свойством для всех t-, т. е. функции, для которых неравенство г < к влечет за собой g (у t) < е для всех t. Если определенно-положительная функция обладает этим свойством, то говорят, что она имеет бесконечно малую верхнюю грань. [c.475]

Этот принцип может быть сформулирован и следующим образом если Ь W равна нулю на любых бесконечно малых виртуальных перемещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим связям, то механическая система находится в равновесии. Таким образом, принцип виртуальной работы эквивалентен уравнениям равновесия системы. Однако вариационная формулировка имеет значительно большее поле для приложений в задачах механики. Когда все внутренние и внешние силы обладают потенциалом U, который является функцией координат точек системы ), так что [c.16]

Блуждающие токи любых источников обладают общим свойством каждый элементарный объем грунта (в пределе — бесконечно малый, точка) обладает своим, только ему присущим, электрическим потенциалом. Вся совокупность таких потенциалов образует так называемое электрическое поле, а функция, описывающая распределение потенциалов в грунте, обычно называется функцией электрического поля данного источника тока. [c.50]

Существует единственный собственный триплет бесконечной малой амплитуды, который состоит из трех нейтральных, но взаимодействующих гармоник. Ему отвечают вполне определенное число Рейнольдса и волновые параметры ( тройная точка ) [44]. Отметим, что волны, образующие этот триплет, как функции у, антисимметричны относительно оси канала. Автоколебания основного периода в общем случае устроены так, что амплитуды составляющих их гармоник либо симметричны, либо антисимметричны, и поэтому симметрия среднего профиля скорости сохраняется. Автоколебания удвоенного периода, ветвящиеся от тройной точки, таким свойством не обладают. Как уже было сказано, при нулевой амплитуде все три волны, будучи нейтральными, антисимметричны по продольной скорости. Легко убедиться, что нелинейные уравнения движения такой симметрии не допускают и поэтому для конечных амплитуд решения получаются асимметричными. Такого рода асимметрия наблюдалась экспериментально [73, 216]. Эти факты говорят о том, что асимметрия является типичным свойством вторичной неустойчивости. [c.32]

Этот принцип, как и предыдущий, сводит задачу о выводе уравнений движения динамической системы к задаче об отыскании минимума некоторой функции, представляющей полином второй степени. Обладая достаточной общностью и сравнительной простотой в приложениях, принцип наименьшего принуждения Гаусса без всяких оговорок применим как к голономным, так и неголономным системам. Сущность этого принципа состоит в следующем. Пусть в некоторый момент времени 1 система N материальных точек находится в состоянии, при котором координаты точек определяются значениями л /, а скорости — значениями Х[ 1 = 1, 2,. .., ЗЛ ). Через малый промежуток времени (И координаты точек изменятся и с точностью до бесконечно малых второго порядка станут равными [c.183]

Функция Ляпунова, допускающая бесконечно малый высший предел, обладает одним важным свойством, заключающимся в следующем. [c.77]

В общем случае этот детерминант Ллойда бесконечного порядка, и точно вычислить его невозможно. Однако он дает явное представление инвариантной формулы, содержащей только матричные элементы -матрицы на изоэнергетической поверхности, и играет благодаря этим свойствам центральную роль в теории рассеяния. Далее при выводе соотношения (10.107) считалось, что рассматривается ячеечный потенциал ( 10.3), составленный из вкладов VI (г — Кг), каждый из которых центрально-симметричен в своей ячейке. Однако более тщательное исследование [50] показывает, что единственное необходимое условие состоит в том, чтобы суммарный потенциал Т т) обладал однозначным ячеечным представлением, т. е. потенциалы отдельных ячеек нигде не должны перекрываться. Иначе говоря, мы можем разбить нашу систему на ячейки Вороного, отделенные друг от друга лишь бесконечно малыми междоузельными областями, и считать, что во всем объеме каждой ячейки задано свое распределение У (г — К,), не ограничиваемое требованием центральной симметрии ячеечной ямы. С формальной точки зрения это означает просто, что ячеечные -матрицы (10.103) уже не обязательно диагональны по индексам, нумерующим парциальные волны при этом, правда, надо аккуратнее определить матричные элементы неполной функции Грина [c.500]

Отображение области z на область со, задаваемое функцией со = f z), называется конформным, если оно обладает свойствами постоянства растяжений и углов поворота. Это означает, что любой бесконечно малый элемент в области Z изменяется в одно и то же количество раз при отображении оо = f z), причем [c.449]

Доказательство. Подтверждение, что по крайней мере одна из координат, удовлетворяющих уравнению (10.9), не сделается по абсолютной величине меньше ё, равносильно утверждению, что на поверхности (10.9) > е . В самом деле, если бы последнее неравенство не было выполнено на поверхности (10.9), г. е. если бы на этой поверхности 2 < е , то согласно определе-аию бесконечно малого высшего предела, которым функция V обладает в силу своей непрерывности в нулевой точке, мы имели бы чля таких [c.393]

Интехтрал (4.9) вычислим методом контурного интегрирования, замыкая контур дугой бесконечной полуокружности в верхней полуплоскости комплексного переменного /см. рис. 1 5/. 11ри этом интеграл по полуокружности обращается.в нуль в силу леммы Жордана и выражение (4.9) сводится к сумме вычетов подынтех аль-ной функции [И/(К -к )]елр ( Кг) Поскольку оба полюса А лежат на вещественной оси, предположим, что среда обладает бесконечно малым поглощением, т,е. заменим А на [c.25]

Реальные тела обладают такими механическими свойствами (способность изменять расстояния между точками под действием сил), которые в пределах даже малого объема при переходе от точки к точке изменяются. Более того, если в окрестности ка-кой-либо точки выделить малый объем, то в пределах этого объема можно выделить участки, различные по своим механическим свойствам. Это связано с особенностями микроструктуры тел. Например, в конструкционных материалах можно выделить микрокристаллические об]эазования, которые объединяются между собой по границам этих микрокристаллов, по-разному между собой ориентируясь, в кристаллы. Последние объединяются в зерна со сложной границей. Такая картина вносит в строение материалов различные неоднородности, от которых следует абстрагироваться, что и делается в механике твердого тела введением понятия однородности структуры, которая состоит в том, что в малой окрестности любой точки тела строение однородно и не зависит от размеров малого объема, включающего эту точку. В более детальном описании гипотеза структурной однородности состоит в том, что реальное тело с его сложной микроструктурой, которую определяют расположение атомов н кристаллических решетках, взаимное расположение микрокристаллических образований, объединяющихся в зерна, и т. д., заменяют средой, не имеюш,ей структуры, свойства которой равномерно распределены в пределах любого малого объема. Это эквивалентно тому, что, выделив малый объем тела, его структурные элементы мысленно измельчают до бесконечно малых частиц и потом этой измельченной средой вновь заполняют прежний объем, т. е. в этом однородном теле нет никакой возможности выявить в любом малом объеме какую-либо структуру строения материала. Однако в механике твердого тела рассматривают такие неоднородные по структуре тела, которые состоят из конечного числа конечных объемов, занятых структурно однородными телами. Например, железобетон, в котором бетон и металл порознь считаются однородными, но они занимают конечные объемы. В то же время в механике твердого тела различают однородные и неоднородные тела в том смысле, что механические свойства тел могут быть некоторой функцией коордииат точки (неоднородность механических свойств), хотя в окрестности каждой точки однородность строения сохраняется. Тело будет механически однородным, если его механические свойства не зависят от координат выбора точки тела. [c.19]

Из-за ограничений типа нерастяжимости и несл<имаемости краевые задачи для идеальных волокнистых композитов ставятся иначе, чем при отсутствии ограничений, а их решения обладают некоторыми необычными свойствами. Для того чтобы исследовать эти свойства в возможно более простом случае, в настоящем разделе мы рассматриваем бесконечно малые плоские деформации материалов, армированных первоначально прямолинейными параллельными волокнами. Помимо всего прочего, оказывается, что поле напряжений в идеальном волокнистом материале может иметь особенности типа дельта-функции Дирака, соответствующие приложенным к отдельным волокнам [c.291]

Преобразование плоскости, осуществляемое аналитической функцией w == =f z), обладает свойством, что в окрестности точки 2, для которой w z O, бесконечно малые векторы всех направлений )) увеличиваются (или уменьшаются) по своей длине в одно и то же число раз, равное w (с точностью до бесконечно малых высшего порядка), и 2) поворачиваются на один и тот же угол, равный arg w. Фигуры в бесконечно малой оэласти преобразуются в себе подобные, т. е. сохраняют форму, поэтому преобразование называется конформным, оно является обобщением преобразования подобия. Конформное отображение сохраняет постоянными углы между любыми двумя линиями отображаемой фигуры в частности, координатные линии л = onst, у — = onst преобразуются в два семейства взаимно-ортогональных кривых, и обратно для любого конформного отображения существует некоторая ортогональная сетка кривых изотермическая сетка), которая преобразуется в декартову прямоугольную сетку. [c.201]

III, Первая теорема о неустойчивости. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти функцию V, которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной V, притом допускала бы бесконечно малый высший предел и била бы такова, что при всяком 1, большем некоторого предела, надлежащим выбором величин Хд, численно насколько угодно малых, ее можно било бы сделать величиной одинакового знака с ее производной,— то невозмущенное движение неустойчиво, [c.10]

Кроме взаимодействия волны с дефектами кристалла структура Н. с. в большой мере определяется взаимодействием волны с осн. структурой. В трёхмерных системах благодаря этому взаи.модействию Н. с. в строгом смысле слова не существуют даже в идеальном кристалле. Можно показать, что при иррациональном отношении Я периода замороженной волны к периоду осн. структуры система обладает большим термодина-мич. потенциалом, чем при любом рациональном значении Я, бесконечно близком к данному иррациональному. Поэтому при данной Т существует бесконечное кол-во устойчивых фаз с разл. (рациональными) значениями Я. При изменении Т равновесная система должна испытать бесконечное число фазовых переходов между этими соразмерными (С) структурами. В большинстве случаев, однако, скачки разл. величин, напр. теплоёмкости, при таких переходах оказываются столь малыми, что свойства системы неотличимы от свойств Н. с. В двумерных системах влияние осн. структуры ослаблено из-за тепловых флуктуаций (роль к-рых возрастает при переходе к системам меньшей размерности). При конечной Т устойчивыми оказываются только соразмерные фазы с не очень большим отношением периодов. На фазовой диаграмме с ними граничат особые Н. с. с ква-зиидальным порядком , когда соответствующие корре-ляц. функции обнаруживают не простое осцилляц. поведение (как для периодич. структуры), а с амплитудой осцилляций, убывающей с расстоянием по степенному закону. [c.335]

Плоские резонаторы с крупномасштабными аберрациями. Для расчета полей в плоских резонаторах с небольшими крупномасштабными аберрациями пригодна все та же теория возмущений. Дело в том, что, как было показано в [57], по системе собственных функций идеального плоского резонатора могут быть разложены любые достаточно гладкие функции, которые удовлетворяют граничным условиям (230), сохраняющим силу и в слабо возмущенных плоских резонаторах [80]. Благоприятным является также тс, что фигурирующее в формулах 2.4 для отношение /М 0,16/v7 как правило, жляется весьма малым, поэтому функции Ufn, формально не обладая эрмитовой ортогональностью, близки к взаимно ортогональным функциям закрытого резонатора (для которого верны те же формулы с /М = 0). Кроме того, обычно, исходя из характера возмущения, можно в формулах (3.2) для и под знаком суммы вьще-лить один-два превалирующих члена и пренебречь остальными это позволяет избежать неувязок, которые могли бы возникнуть при суммировании бесконечного числа членов. [c.152]

В одиннадцатой главе асимптотика собственных функций типа шепчущей галереи применяется в задаче о волновом поле источника, расположенном на вогнутой поверхности тела. В этой задаче мы сталкиваемся с эффектом шепчущей галереи и существованием поверхностной волны интерференционного типа. В случае поверхностного источника в любой сколь угодно малой окрестности границы тела расположено бесконечное число каустик. Это огибающие многократно отраженных от границы лучей. Задачи об асимптотике волновых полей в случае неизолированных особенностей поля лучей до последнего времени почти не рассматривались. Метод нормальных волн (разложение волнового поля в ряд по некоторым специальным решениям волнового уравнения), который обычно используется в задачах такого рода, обладает наряду с несомненными достоинствами и следующим недостатком представление волнового поля суммою нормальных волн не [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...