Теорема об ортогональности собственных

Функция f(0, л), определенная в положительной половине диапазона изменения представлена в (10.96а) в виде разложения по собственным функциям законность такого представления основана на приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения Л(т1о) и Л (т]) могут быть определены с помощью соотношений ортогональности собственных функций в половине диапазона (г и различных интегралов нормировки. Отметим, что выражение (10.96а) имеет точно такой же вид, что и (10.53), в силу чего коэффициенты Л(т1о) и Л(т1) можно получить, используя соответственно-формулы (10.54) и (10.56). Коэффициент Л (т]о) равен [c.409]

Заметим, что правые части уравнений (11.92) и (11.93) представляют собой разложения в пределах половины интервала изменения ц,, аналогичные выражению (10.22а). Согласно теореме полноты для половинного интервала, сформулированной в гл. 10, эти разложения носят достаточно обш ий характер, чтобы с их помощью представить произвольную функцию (т. е. левые части этих уравнений), определенную в интервале хе(0, 1). Входящие в эти уравнения коэффициенты разложения можно выделить, используя свойство ортогональности собственных функций и описанные ниже различные интегралы нормировки. [c.457]

Теорема 2. Собственные векторы, отвечающие различным корням характеристическим уравнениям, ортогональны. [c.60]

Укажем, как установить требуемое в теореме соответствие между собственными числами и функциями. В случае простого собственного числа Х , когда размерность подпространства соответствующих ему собственных функций равна единице, в качестве щ берем одну из двух функций, нормированных в соответствии с (2.14). Она будет ортогональна собственным функциям, соответствующим другим собственным числам. В самом деле, рассмотрим два решения спектральной задачи уц,Ьу и Дг, i<2, для которых Д Ф l2- Тогда согласно (2.13) [c.43]

Н Теорема об ортогональности собственных форм. Если [c.131]

Коэффициенты а вычисляются с помощью теоремы об ортогональности собственных форм. Запишем разложения (3.84) в сокращенном виде [c.136]

Ортогональные преобразования с детерминантом, равным —1, называют несобственными вращениями в отличие от преобразований с детерминантом + 1, которые согласно теореме Эйлера являются собственными вращениями. [c.140]

Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1- Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или —1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1. так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны -fl (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -fl, что и утверждает теорема Эйлера. [c.141]

Доказательство теоремы Эйлера, основанное на том факте, что действительная ортогональная матрица имеет одно собственное значение равное 1, см. Голдстейн, [7], стр. 134—140. [c.36]

Разложение по собственным функциям для полного диапазона, ортогональность 387 ------- теорема о полноте разложения 386 [c.610]

Теорема 1. показывает, что обобщенные собственные функции ортогональны с весом на (—оо, +оо). Однако поскольку [c.177]

Теорема II не менее (а может быть, и более) важна, поскольку она позволяет решать граничные задачи. Эта теорема показывает, что обобщенные собственные функции ортогональны на (О, к) с весом wZo(w)P(w). Такое свойство ортогональности является более стандартным, чем ортогональность на всем интервале, так как весовая функция положительна. Единственное, в чем теперь состоит трудность, заключается в сложном виде функции Р ш) однако следует заметить, что, хотя Р т) отнюдь не является элементарной функцией, она удовлетворяет двум важным тождествам, которые позволяют преобразовать интегралы, содержащие Р ш), гораздо легче, чем можно было бы ожидать. Эти тождества таковы (см. [4—6]) [c.327]

Теорема 2.3 Все собственные значения самосопряженного оператора в Я действительны, а собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. [c.58]

Теорема. Если среди корней уравнения частот нет кратных, то собственные векторы /i являются Л-ортогональными, т.е. [c.178]

Теорема. Система (1) имеет п собственных колебаний, направления которых попарно ортогональны в смысле скалярного произведения, заданного кинетической энергией Т. [c.96]

К. Подобная задача была поставлена в обстоятельной работе 51], посвященной анализу обусловленности матричных операторов. Известно, что основным аналитическим средством изучения свойств симметричных интегральных операторов и их обращения, является разложение искомых функций в ряды по ортогональным системам собственных функций этих операторов. Основные теоремы и техника вычислений подробно изложены в монографиях [10, 50]. [c.46]

Читатель должен вспомнить, что для того, чтобы преобразование, Q сохраняло скалярное произведение, в некотором векторном пространстве, т. е. для того, чтобы Q(и). Q(v) = U-V V U. V, необходимо и достаточно, чтобы Q было тензором, удовлетворяющим условию (4). Из (4) сразу видно, что det Q = 1. Если det Q = -f-1, то Q представляет собой поворот. Произвольный ортогональный тензор представляет собой либо поворот, либо произведение поворота на центральную инверсию —I, г. е. Q = R, где R —поворот, причем (вещественными) собственными числами Q могут быть лишь 4-1 и —1. Если, как мы везде предполагаем, dim F = 3, то 1 является собственным числом для любо.го R и соответствующее характеристическое пространство для него одномерно, за исключением случая, когда R=l, Последнее утверждение — это знаменитая теорема Эйлера любой отличный от тождественного поворот около некоторой точки является в действительности поворотом вокруг некоторой однозначно определенной прямой. [c.35]

Последнее выражение в точности равно корреляции внутри квадратной решетки с весовой функцией Wj и граничными условиями, соответствующими вектору ф. При больших М вектор ф стремится к ненулевому пределу, а именно к максимальному собственному вектору матрицы V 2- Из теоремы Перрона — Фробениуса [93] следует, что такой вектор имеет только неотрицательные компоненты такими же свойствами обладает максимальный собственный вектор матрицы Поэтому максимальные собственные векторы соответствующих матриц не ортогональны (если только не равны нулю все те компоненты одного из них, которые соответствуют ненулевым компонентам другого, чего не следует ожидать). Следовательно, вектор ф определяет непатологические граничные условия на квадратной решетке, и правую часть выражения (11.2.5) можно вычислить при больших М с помощью методов, изложенных в разд. 2.2. Использование таких методов приводит к выражению [c.286]

В самом деле, ортогональность формы (4.33) первой собственной форме была установлена при доказательстве первой теоремы [c.196]

В нуль ТОЛЬКО тогда, когда RrRj — 0, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы ). Если собственные значения матрицы тензора I не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора I является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [c.175]

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С КВАДРАТИЧНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ. Имеет место общая теорема, согласно которой система уравнений (5.3), (5.4), имеющая квадратичный по скоростям интеграл движения, независимый с интегралом энергии, заменой переменных может быть приведена к лиувиллеву виду. Доказательство ее опирается на вычисление собственных значений и подходящую нормировку (ортогональных) собственных векторов квадратичной части второго интеграла относительно ри- [c.189]

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли — Клейна матричные методы позволяют ввести понятие спинора . [c.8]

Если некоторые корни векового уравнения являются кратными, то соответствующие собственные векторы нельзя найти таким простым путем (см. 5.4 и 10.2). Действительно, если не все собственные значения матрицы общего вида являются различными, то ее не всегда можно диагонализировать. Однако здесь нас это не должно беспокоить, потому что, как показывает теорема Эйлера, у каждой нетривиальной ортогональной матрицы корень 4-1 является простым. [c.141]

Предложение 8 показывает, что при lmyfe = 0 и все Ш при Re = 0 (й =5 0) — самосопряженные операторы в Яо(5) и в HsiS) (при надлежащем определении скалярного произведения в Н 8), см. п. 2 34). В этих случаях имеет ортонормированный базис из собственных векторов в Hq S), остающийся ортогональным базисом в любом Н 8). В предложениях 9 и 10 и теореме 2 мы исключим эти случаи. [c.400]

Заметим, что в рассмотренных выше примерах выполняется известная теорема Лемана-Челлепа о росте перенормированной /-функции с импульсом [10]. Это свидетельствует в известном смысле о наличии в перенормированной теории полной и ортогональной систем собственных функций вектора энергии-импульса ). Можно без труда предложить такой ОФ, при котором /-функция не имеет полюса и в то же время перенормированный заряд конечен. Для этого достаточно рассмотреть пример Б, где следует взять д отрицательным (и большим по модулю). Тогда заряды затравочный б1 и перенормированный е будут иметь вид [c.19]

Наоборот, пример 15.5 показывает, что для У-потока могут существовать отличные от постоянных собственные функции. В этом случае не может иметь лебеговский спектр на ортогональном дополнении к функциям-константам (см. 10). Следовательно, не может быть 7( -потоком (см. теорему 11.5). Как показывает следущая теорема, пример 15.5 является единственным исключением. [c.77]

Из теоремы разложения Коши следует, что деформация локального элемента среды Р может быть получена чистым растяжением элемента на величину, скажем, 1а, а =1,2,3, вдоль трех подходящих взаимно ортогональных осей Са, а затем поворотом элемейта как твердого тела относительно зтих осей можно выполнить сначала поворот, а затем растяжения вдоль получившихся осей. Коэффициенты %а называются главными коэффициентами растяжения при деформации. Единичные собственные векторы тензоров и и V направлены вдоль главных осей тензора деформации в конфигурациях Ж в. и Ж соответственно действительно, так как [c.85]

Прежде всего мы обнаружим, что алгебры типа I допускают дальнейшее разложение на два взаимно непересекающихся класса класс конечных алгебр (обозначаемых через 1 , где < оо) и класс собственно бесконечных алгебр (обозначаемых через 1 ). Точно так же алгебры фон Неймана типа II могут быть разложены на два непересекающихся класса класс конечных алгебр и класс собственно бесконечных алгебр. Первый из этих классов называется типом IIj, а второй — гагаож П . Соответственно этому оператор проектирования Ец разлагается в сумму двух ортогональных операторов проектирования 5ц (1) и Ец (оо) — наибольших операторов проектирования Е в W, обладающих тем свойством, что алгебра фон Неймана в первом случае непрерывна и конечна, а во втором непрерывна и собственно бесконечна. На этом мы закончим классификацию общих алгебр фон Неймана. Все сказанное можно обобщить в следующей теореме [c.171]

В условиях теоремы II вырожденные типы волн имеют различную структуру поля и могут быть построены их линейные комбинации, ортогональные в энергетическом смысле. Такие вырожденные волны называются волнами диагонализируемой кратности (сокращенно Д-кратности). При наличии только Д-кратных постоянных распространения теория возбуждения в форме собственных волн также справедлива. [c.49]

Теорема об узлах собственных форм. Из условия ортогональности (3.77) следует, что амплитуды форм главных колебаний различных порядков (соответствующих различным собственным частотам) не могут быть все одного и того же знака. Если, например, все амплитуды первой формы положительны, то амплитуды остальных форм для выполнения условия (3.77) должны иметь по крайней мере по одной перемене знака каждая. Существует закономерность в распределении числа перемен знака амплитуд собственных форм, устанавливаемаг теоремой об узлах собственных форм. [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...