Геометрия риманова

Э. К а р т а н, Геометрия римановых пространств, ОНТИ, 1936. [c.64]

Э. Карта н. Геометрия римановых пространств, ОНТИ, 1938, стр. 24. [c.126]

Геометрия риманова 42 Герц 393 Гессиан 191 [c.401]

В формализме Лагранжа рассматривается пространство конфигураций переменных q , в гамильтоновом же формализме механические движения и движения изображающей точки представляются в фазовом пространстве 2п переменных q и р,. В то время как пространство конфигураций имеет геометрию риманова типа, фазовое пространство не имеет определенной геометрической структуры и только для удобства вычислений можно предположить, что ql и р,- образуют прямоугольные координаты 2п-мерного евклидова пространства. [c.878]

Геометрия геодезических в области В, имеющей края, не похожа на привычную геометрию римановых пространств. Например, если риманово пространство компактно, то любые две его точки можно соединить хотя бы одной геодезической [45, гл. II]. [c.131]

Мы ограничиваемся сообщением лишь основных сведений, используемых в изложении нашего предмета. Отсылаем читателя к книгам Н. А. К и л ь ч е в с к и й, Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике, Гостехиздат, 1954 и Э. К а р т а н, Геометрия римановых пространств, ОНТИ, 1936. Элементарные сведения по тензорному анализу сообщаются также в книге Н. Е. К о ч и и, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, ГТТИ, 1938. [c.778]

Взаимодействие материи. Материальные объекты, расположенные в разных частях пространства, взаимодействуют, т. е. движение одних материальных объектов зависит от наличия других материальных объектов и их движения таковы, скажем, гравитационные, электрические, магнитные и иные взаимодействия. Физическая природа этих взаимодействий связана с понятием о физических полях, которое не укладывается в исходные представления классической механики. Так, например, с точки зрения общей теории относительности гравитационные взаимодействия материи являются следствием того, что время и пространство взаимосвязаны в единый четырехмерный континуум пространство-время , что этот континуум подчиняется законам не евклидовой, а римановой геометрии, т. е. что он искривлен , и что локальная кривизна в каждой его точке зависит от распределения материальных объектов и их движения. Таким образом, физические причины гравитационного взаимодействия материи тесно связаны с такими свойствами пространства и времени, которые не учитываются в исходных предположениях классической механики. [c.41]

Внутренняя геометрия, определяемая формулой (68) для квадрата линейного элемента, носит наименование римановой геометрии [по имени немецкого математика Б. Римана (1826— [c.476]

Если основное действие в вариационном принципе выбрано инвариантным относительно любых координатных преобразований, то принцип общей относительности удовлетворяется автоматически. Поскольку риманова дифференциальная геометрия доставляет пам подобные инварианты, можно без затруднений составить требуемые уравнения поля. Современная математика не дает какого-либо другого метода, при помощи которого можно было бы сформулировать ковариантную и в то же время совместную систему уравнений поля. Следовательно, в свете теории относительности применение вариационного исчисления при изучении законов природы не представляется случайным. [c.24]

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

Кинетическая энергия и риманова геометрия 41 [c.41]

В абсолютном исчислении (тензорном), которое систематически развивает коварианты и инварианты римановой геометрии, величины образуют тензор . Величина ds имеет абсолютное значение, потому что расстояние между двумя точками не зависит от системы координат. Она является абсолютной , инвариантной величиной, не зависящей от системы отсчета. Тензор определяется компонентами инвариантной дифференциальной формы. Например, инвариантная дифференциальная форма первого порядка [c.41]

Аналитическое построение геометрии, не зависящее от какой-либо специальной системы отсчета, является лишь одним из достоинств римановой геометрии. Более фундаментальным открытием Римана является то, что определение (1.5.7) линейного элемента образует не только новый, но и гораздо более общий базис для построения геометрии, чем старый базис евклидовых постулатов. Только в том случае, когда g,k принадлежат к некоторому определенному классу функций, получается геометрия евклидова типа. В общем же случае возникает новый тип геометрии, характеризуемый следующими двумя фундаментальными свойствами [c.42]

Кинетическая -.нергия и риманова геометрия 43 [c.43]

Когда специальная теория относительности Эйнштейна и Минковского, объединив время и пространство, показала, что геометрия природы имеет скорее четыре, а не три измерения, то это была еще геометрия евклидова типа. Лишь общая теория относительности Эйнштейна продемонстрировала, что линейный элемент с постоянными коэффициентами должен быть заменен римановым линейным элементом, содержащим десять функций gik четырех координат j , у, z, t. [c.43]

Абстрактные построения римановой геометрии были использованы не только в теории относительности, но и в аналитической механике. Понятие римановой геометрии и методы тензорного исчисления оказались естественным орудием при операциях по преобразованию координат, встречающихся при аналитической трактовке задач динамики. [c.43]

В римановом пространстве как раз таким образом, как представлял себе это Герц для механических систем, свободных от потенциальной энергии. Единственная разница заключается в том, что в системе Герца риманова кривизна пространства конфигураций создается кинематическими условиями, наложенными на скрытые движения системы, а в теории Эйнштейна риманова структура физического пространственно-временного континуума является внутренним свойством геометрии мира. [c.159]

Принцип Якоби и риманова геометрия 165 [c.165]

Принцип Якоби и риманова геометрия. Как было выяснено в гл. I, п. 5, геометрическая структура простран- [c.165]

Пример. Частица вынуждена оставаться на некоторой поверхности к ней не приложены силы. Риманово пространство теперь имеет два измерения, а его геометрия идентична внутренней геометрии заданной поверхности. Движение частицы по поверхности происходит по одной из геодезических линий этой поверхности. [c.167]

Упрощения, возникающие при решении этой задачи, связаны с фактом малости колебаний. Как известно, пространство конфигураций имеет не евклидову, а риманову геометрию. Известно также, что искривленное риманово пространство по мере уменьшения размеров области все более приближается к плоскому. Это свойство риманова [c.175]

В пространстве конфигураций имело смысл введение определенного вида геометрии, приче.м эта геометрия оказалась римановой. В фазовом пространстве ситуация иная оно не имеет определенной метрики, и мы для удобства будем считать, что qi и р,- являются прямоугольными координатами 2п-мерного евклидова пространства. Поскольку нет особых оснований для введения метрики в фазовом пространстве, евклидова геометрия столь же хороша, как и всякая другая. [c.202]

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds , как в лагранжевом пространстве конфигураций Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы ds . Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой . На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [c.241]

HO геометрия, введенная этим линейным элементом, уже не будет римановой. Соединим две точки q ,. ..,q , t и qi,...,q ,t в (п+1)-мерном пространстве кратчайшей линией и измерим длину дуги [c.261]

Тесная связь между динамикой и геометрией сохраняется и при более общих предположениях. Риманова геометрия— не единственно возможная форма метрической геометрии. Для римановой геометрии характерным свойством является выпрямление пространства в окрестности произвольной точки, так что обычная евклидова геометрия остается справедливой по крайней мере в бесконечно малых областях. Но для построения геометрии, использующей прямые линии и углы, такого ограничения, вообще говоря, не требуется. В применении к общим задачам динамики заслуживает внимания более общая форма геометрии, линейный элемент которой ds определяется более общим способом по сравнению с римановым линейным элементом. [c.320]

Координаты Римана определяются как произведения единичных векторов i , касательных к геодезическим линиям данного пространства, проходящи.м через начало координат, на путь S х = S (/ = 1, 2,..., п). В этих координатах уравнение геодезических линий имеет простой вид d xi dS = О, причем ковариантные производные от тензоров сводятся к обы ным производным. Подробнее см. П. К. Р а ш е в с к и й. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, изд. 1-е, ОНТИ, 1935, стр. 95. [c.911]

Важная задача Р. г,— установление зависимости мбжду геометрией риманова пространства и его тополо-еией. Простейшим примером такой зависимости является ф-ла Гаусса — Бонне, справедливая для замкнутой двумерной поверхности [c.396]

Картан Э. Геометрия римановых пространств. — М. Л. ОНТИ, 1936. Теорема доказана в предположении, что функции Gsf(a , а , а" ) дважды непрерывно дифференцируемы по всем переменным а в некоторой односвязной области их задания. В Курсе математического анализа Э. Гурса (т.II) доказывается существование голоморфных решений вполне интегрируемых систем с голо-> орфными правыми частями. [c.51]

Отвечающая формуле (6о) евклидова (или псевдоевкли-дова, поскольку 4 —чисто мнимая координата) геометрия представляет собой, таким образом, частный случай римановой геометрии. [c.477]

Когда мы в рассмотренном выше примере с лифтом переходим от локально инерциальной (сопутствующей кабине лифта) системы к системе, связанной с Землей, находящееся в лифте тело приобретает ускорение, обусловленное полем тяжести при этом в новых координатах квадрат интервала ds представляется в форме (68). Основополагающая идея Эйнштейна заключается в том, что отличие составляющих метрического тензора rs ) от brs объясняется полем тяготения, которое, таким образом, делает геометрию иространственно-временного континуума римановой геометрией. Если ири этом тензор grs) таков, что вычисленный по нему тензор кривизны обращается в нуль в протяженной области иространственно-временного континуума, то в этой области существуют такие координаты (л -), в которых квадрат интервала допускает представление (66). В исходной системе координат (x,j составляющие тензора (grs) характеризуют тогда специальное поле тяготения, называемое полем сил инерции. Может случиться, однако, что тензор кривизны не обращается в нуль в протяженной области пространственно-временного континуума, — в этом случае составляющие тензора (grs) определяют истинное поле тяготения, созданное распределенными в этой области материальными телами. Истинное поле тяготения нельзя устранить во всей области никаким преобразованием координат, которого в этом случае попросту не существует. В этом заключается фундаментальное отличие истинных полей тяготения от полей сил инерции эти поля эквивалентны только локально ( в малом ), но отнюдь не глобально ( в большом ). [c.477]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

Резюме. Возможность введения произвольных координатных систем и инвариантность уравнений механики относительно преобразований координат тесно связывают аналитическую механику с идеями и методами римановой геометрии. Движение произвольной механической системы мол<ет рассматриваться как движение свободной частицы в соответствующем п-мерном пространстве с определенной римановой структурой. Кинетическая энергия системы определяет ри-манов линейный элемент пространства конфигураций. [c.46]

Резюме. Принцип Якоби связывает движение голо-номных консервативных систем и риманову геометрию. В частности, если система движется под действием собственной инерции в отсутствии приложенных сил, то изображающая эту систему С-точка описывает геодезическую (кратчайшую) линию в пространстве конфигураций, которое является п-мерным римановым пространством. Из теоремы о сохранении энергии следует к тому же, что движение происходит с ио-стояннной скоростью. Все это является естественным обобщением обычного закона инерции, который утверждает, что при наличии лишь собственной инерции частица движется по прямой линии с постоянной скоростью. [c.168]

Геометризация динамики. Неримановы геометрии. Метрическая интерпретация уравнения в частных производных Гамильтона. Снова и снова мы убеждаемся в том, сколь успешно наглядный язык геометрии помогает более глубокому пониманию проблем механики. Пространство конфигураций с его римановой метрикой дало возможность изобразить сколь угодно сложную механическую систему в виде одной точки в соответствующим образом определенном многомерном пространстве. Благодаря этому законы, определявшие движение одной частицы, удалось обобщить на произвольные механические системы. [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...