Классы компактных операторов

Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описать все физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. е. операторы, сохраняющие норму все С. з. таких операторов представляются в виде с , <р IR), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. Обобщением понятия С. з. для таких операторов служит понятие спектра а А) оператора А. Число А. принадлежит спектру. оператора, если резольвента оператора А, Л(Я) = (Я/ — А)- , будет сингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать о(А) [они будут изолированными (дискретными) точками а(.4)1. Однако помимо этих точек а А) обычно содержит непрерывную часть, состоящую из таких точек Я, для к-рых оператор Д(Я) определён, но не ограничен. В обычном смысле таким Я не соответствует никакая собств. ф-ция, тем не менее аналог разложения по базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением. [c.568]

Soo—класс компактных операторов 2—класс операторов Гильберта—Шмидта 1—класс ядерных операторов 6р—см. с. 55 [c.11]

КЛАССЫ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ [c.51]

Одним из фундаментальных свойств интегральных операторов К с непрерывными ограниченными ядрами является то, что они любое множество ограниченных функций преобразуют в компактные множества непрерывных функций. Подчеркивая это обстоятельство, говорят, что оператор К с непрерывным ядром на множестве ограниченных функций Ф является компактным оператором. Из приведенного свойства оператора К следует одно чрезвычайно важное обстоятельство. Исходное множество Ф независимо от того, является ли оно подмножеством пространства С / ) всех непрерывных функций, заданных на или нет, его образ 5= Р=/(5, 5 Ф есть компактное множество непрерывных функций. Поскольку само по себе пространство непрерывных функций С, заданных на любом конечном носителе, не является компактом, то преобразование, осуществляемое интегральным оператором, приводит к сужению исходного функционального пространства. Естественно, что, обращая функции 3 из компактного подмножества В В а С), мы не можем получить решение 5, которое бы принадлежало более широкому классу функций, каковым, например, является множество С. Возникающая таким образом неопределенность зачастую интерпретируется как некорректность задач, связанных с решением операторных уравнений первого рода. Не будем усложнять изложение материала имеющимися многочисленными трактовками понятия некорректности, полагая, что приведенных выше рассуждений вполне достаточно для понимания подходов к конструированию вычислительных алгоритмов обращения, которые будут описаны ниже. Формальное изложение теории некорректных задач можно найти в работах [18, 48]. [c.41]

Гиперболические операторы образуют важный класс дифференциальных операторов в частных производных простейший его представитель — волновой оператор второго порядка. Фундаментальное решение любого гиперболического оператора в неособой точке задается интегральной формулой, контур интегрирования которой — компактный (вообще говоря, относительный) цикл в СР зависящий от этой точки. Это позволяет исследовать качественное поведение фундаментального решения методами теории монодромии и определяет сходство такого исследования с материалом предыдущего параграфа. Вот краткий словарь параллельных понятий в этих двух теориях. [c.189]

Это ядро очевидно принадлежит Ь2(М+ хН+), а потому сам оператор принадлежит классу Гильберта—Шмидта 62- Отсюда вытекает компактность оператора (5), что завершает проверку существования ВО Н, Но). [c.127]

Лля доказательства того, что А Е боо, установим компактность его модуля А. Ввиду равенства АТ) = (И Т) при любом Т Е оо будет А Т Е вр. Если Л боо, то для некоторого 7 > О подпространство = Е д (7, оо)7 бесконечномерно. Поэтому найдется компактный оператор Т Ну —Ну, не попадающий в класс 6р. По условию, при Ау = д (7, со) Л произведение АуТ Ну —> Ну принадлежит 6р. Поэтому из обратимости Ау в Ну следует, что Т Е р. Таким образом, предположение А боо привело к противоречию. [c.234]

Регуляризация сингулярных операторов, распространенных на замкнутых поверхностях. Пусть 5 — замкнутая поверхность Ляпунова (компактное многообразие), (8), к—сингулярное ядро класса О (2, а, а), а > 0. Рассмотрим сингулярный оператор, определенный в п. 1, и поставим следующую задачу регуляризации. [c.165]

В 1942 г. А. И. Лурье предложил новый символический метод решения задачи о равновесии упругого слоя и толстой плиты, основанный на представлении решений уравнений пространственной задачи теории упругости в виде целых трансцендентных функций двумерного оператора Лапласа. Такое представление позволило упростить действия над степенными рядами, компактно записанными при помощи символических операторов, и, кроме того, естественным образом привело к нахождению нового класса решений, позволяющих уточнять выполнение граничных условий на боковой поверхности плиты. Эти решения были названы Лурье однородными , так как они соответствуют условию отсутствия нагрузки на торцах плиты. [c.18]

В условиях теоремы б у оператора Я отсутствует и сингулярно непрерывная часть. Тем самым при возмущениях классов 6р, р > 1, может полностью исчезать непрерывная (сумма абсолютно и сингулярно непрерывных частей) компонента. Этот результат естественно сопоставить с теоремой Г.Вейля, утверждающей, что при компактной разности Н — Но существенные спектры операторов Но и Н совпадают. Кажущееся противоречие этих двух результатов снимается тем, что в предположениях теоремы 6 множество собственных значений оператора Я всюду плотно на сг( )(Яо). Мы видим, что непрерывная компонента значительно менее устойчива, чем существенный спектр. [c.242]

Ввиду теоремы 2.6 с точки зрения абстрактной теории операторов теорема 2.1 в случае одного пространства и теорема 2.3 в случае пары пространств полностью решают вопрос о существовании ВО в терминах классов р. Тем не менее для приложений этих теорем явно недостаточно. В самом деле, оператор умножения на функцию, являющийся типичным возмущением в теории дифференциальных операторов, имеет непрерывный спектр и, следовательно, не может быть даже компактным. Поэтому теоремы 2.1 и 2.3 к таким возмущениям заведомо неприменимы. Недостаток этих теорем состоит в том, что их условия формулируются лишь в терминах самого возмущения V V Е 6i) безотносительно к свойствам операторов Яо и Я. Лля приложений, однако, решающую роль играет переход к различным классам относительно ядерных возмущений. [c.253]

Спектр компактного оператора А описывается классической теоремой Фредгольма, Именно, при А Е воо множество о А) состоит из собственных чисел, накапливающихся разве лишь к точке нуль. Кроме того, ненулевые собственные числа имеют конечные алгебраические кратности.Анг логичный результат справедлив для компактных операторов, действующих в произвольном банаховом пространстве, а также для операторов, лишь некоторая степень которых компактна (подробнее см. 8). Поясним, что в банаховом пространстве оператор называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество в компактное. Класс компактных операторов, вообше говоря, шире замыкания конечномерных операторов по норме. Будем считать, что собственные числа А = Ап( ) оператора А Е боо (или такого, что А Е оо при каком-либо натуральном /) пронумерованы с учетом алгебраических кратностей в порядке невозрастания их модулей. [c.59]

Развитие методов, основанных на компактных аппроксимациях, фактически происходило в двух направле1шях — конструирование нецентрированных схем третьего порядка и центрированных схем четвертого порядка. Под нецентрированными (или несимметричными) схемами здесь условно понимаются схемы, содержащие операторы, меняющие свою самосопряженную или кососимметричную часть в зависимости от знаков коэффициентов уравнений или от знаков собственных значений матриц в случае систем уравнений. Наоборот, компактные схемы, разностные операторы в которых не переключаются при изменении этих знаков, в дальнейшем будем называть центрированными (или симметричными), имея в виду, что соотношения типа (0.17) для первых и вторых производных в этом случае будут иметь равные по модулю коэффициенты a j и a ,a также j3 , и jSi. Не-центрированные схемы треть. го порядка были впервые предложены, исследованы и применены автором этой книги [4, 5, 27 -29]. Первая из этих публикаций относится к 1972 г. Позднее появились центрированные схемы четвертого порядка [30-36], предложенные почти одновременно несколькими авторами (первое упоминание о таких аппроксимациях в [37], см. также [1]). Если последние применялись главным образом при аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, то схемы третьего порядка прошли всестороннюю апробацию для различного класса задач - в случае уравнений Эйлера и Навье-Стокса сжимаемого газа (задачи о внутренних и внешних течениях в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса), в случае уравнений гидродинамики, записанных в различных формах, в случае уравнений Рейнольдса осредненных турбулентных течений и т.д. Данная книга посвящена именно этому классу компактных схем. Компактные аппроксимации рассматриваются в ней прежде всего как эффективный способ дискретизации конвективных членов, содержащих несамосопряженные операторы наоборот, дискретизация членов с вязкостью вследствие самосопряжениости соответствующих операторов интерпретируется как второстепенная часть алгоритма, реализуемая различными способами. Таким образом, область целесообразного применения описываемых здесь методов — задачи с преобладающей ролью конвекции или чисто конвективные задачи. Именно таковыми в большинстве практически важных случаев являются задаад аэрогидродинамики. Благоприятные качества схем третьего порядка обусловлены в случае уравнений гидро-12 [c.12]

Через = Ъ Ио,И) и оо — 6оо( 0, ) обозначаются классы ограниченных и компактных операторов, действующих из Но в И. При Tio — Ti пишется лишь один аргумент , например (7i) = (7i,7i). Обозначение зависимости от пространств, как правило, х)пу кается. В этом параграфе допускается, что пространства Но и Ti разные. Это, однако, каждый раз не оговаривается. Если Л G и dimii(A) < сю, то такой оператор А называется конечномерным. Класс конечномерных операторов обозначается через i. Напомним, что в гильбертовом пространстве любой компактный оператор может быть получен как предел по норме последовательности конечномерных операторов. При А G боо (Л G I) и сопряженный оператор А компактен (конечномерен). При произвольном В Ъ оба произведения АВ и В А компактны (конечномерны), если оо(Л G I). Таким образом, боо и ( —двусторонние идеалы алгебры 03. [c.52]

Задача построения приближённого решения интегрального уравнения первого рода (8.63) в классе кусочно-постоянных функций Кп является корректной по Тихонову, поскольку компактно в пространстве L2 квадратично суммируемых функций, а интегральный оператор, стоящий в правой части уравнения (8.63), непрерывен (см. [136]). Алгоритм численного решения задачи описан в [40, 55]. [c.448]

Число (нелинейных) уравнений равно числу неизвестных коэффициентов, т. е. размерности пространства пробных функций 5 . Для двух описанных выше классов можно доказать существование такого решения Ф и его сходимость к и при условии, что на оператор наложены подходящие требования непрерывности. В самом деле, схема одного из возможных доказательств существования решения и такова доказывается существование Ф в конечномерном пространстве и дается априорная оценка, устанавливающая, что все Ф принадлежат некоторому компактному множеству тогда последовательность Ф должна иметь предельную точку при /г 0 этой точкой и будет и. Сиарле, Шульц и Варга [С6] показали, что оценки ошибки для линейных и нелинейных монотонных задач отличаются незначительно. [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...