Постоянные интегрирования канонические

В (О, а скорее в ( ), т. е. в правиле, по которому можно найти различные комбинации постоянных интегрирования (канонических), как только становится известно полное или общее решение уравнения (5) (или системы (li))- К этим каноническим постоянным интегрирования применимо основное правило, указанное в 107. [c.102]

Якоби 429, 450, 465 Постоянные интегрирования канонические 101, 102, 106 [c.522]

Следовательно, общее решение канонической системы уравнений и системы уравнений Лагранжа второго рода содержат одинаковое количество (2М) постоянных интегрирования. [c.147]

Чтобы найти общее решение системы канонических, уравнений динамики, достаточно найти функцию V как полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными первого порядка уравнения Остроградского — Гамильтона — Якоби) и продифференцировать этот интеграл по обобщенным координатам и постоянным интегрирования а . Приравнивая частные производные от V по обобщенным координатам обобщенным импульсам р , получим первую группу интегралов канонической системы, а приравнивая постоянным интегрирования производные от V по а , найдем вторую группу интегралов. [c.358]

Стандартные или типовые задачи на колебания при наличии вязкого сопротивления включают составление диф. уравнения, определение собственной частоты колебаний - к, коэффициен га затухания - п, записи канонического уравнения, и в зависимости от соотношения кип его решения. В заключение по начальным условиям определяются постоянные интегрирования - С( и С2. [c.119]

Общий интеграл в динамическом случае. Вернемся временно к общим рассуждениям п. 35. В особенно интересном случае, когда каноническая система, которую надо интегрировать, вытекает из динамической задачи о движении голономной системы, в которой параметры q являются лагранжевыми координатами, основной целью будет определение изменения координат q в функциях от / и постоянных интегрирования. [c.302]

Сначала может показаться, что каноническое преобразование устанавливается способом, равносильным выбору произвольной постоянной интегрирования. Более подробное исследование показывает, что это утверждение неверно. Если все р , д[ и р1 указаны предварительно, то произвола в выборе Р нет это есть вполне определенная функция, зависящая от уравнений преобразования то обстоятельство, что эти последние можно вывести из нее, не должно вызывать удивления. Отсюда возникает неверное толкование, так как легче исходить из заданной функции Р и вывести уравнения преобразования, чем осуществить обратный процесс. [c.90]

Геометрическое представление движения в пространстве 2к измерений впервые предложил американский физик Д. Гиббс (1839—1903), который и ввел понятие фазового пространства, считая, что ряд являются ортогональными координатами 2й-мерного евклидова пространства. Использование фазового пространства вносит ряд преимуществ при изучении движения механических систем. Так, например, на многие вопросы механики нельзя дать удовлетворительный ответ, рассматривая одно частное решение системы, соответствующее определенным начальным данным. Необходимо знать все множество траекторий. Движение может начинаться из любой точки /г-мерного пространства в произвольном направлении. В фазовом пространстве задание одной точки Р однозначно определяет всю траекторию. Для полного решения канонических уравнений Гамильтона необходимо знать величины <7,- и р как функции времени 1 я 2к постоянных интегрирования, которые можно интерпретировать как значения 2к координат фазового пространства в момент = 0. Рассматривая 2к координат как различные измерения в фазовом пространстве, можно изобразить полное решение канонических уравнений в упорядоченном виде без пересечений в виде бесконечного множества кривых, заполняющих 2 - -1-мерное пространство (пересечение кривых означало бы, что в одной и той же точке возможны две касательные к кривой, а канонические уравнения при отсутствии особых точек определяют единственную касательную). [c.468]

Полученное выражение, равное значению на экстремали, не зависит от г следовательно, VI есть постоянная интегрирования. Тот же результат можно непосредственно получить из канонических уравнений (40), так как, если р пе зависит явно от г, величина V тоже не зависит от г, = О и [c.670]

Для интегрирования системы (13.80) применим метод Якоби изменения произвольных постоянных в канонических переменных. Для этого представим характеристическую функцию Н в виде суммы двух частей, полагая [c.708]

Найдя функцию 5, которая содержит три произвольные постоянные, /г = а], 03, а , мы можем написать теперь общий интеграл системы (14.97) при помощи общей теоремы Гамильтона — Якоби об интегрировании канонических систем. [c.780]

Найдем связь между решением уравнения (6.98) и полным интегралом уравнения Остроградского — Г амильтона — Якоби. Полный интеграл уравнения Остроградского — Гамильтона имеет структуру (6.76), т. е. является функцией времени, координат и постоянных интегрирования. Согласно теореме Остроградского— Гамильтона — Якоби, по полному интегралу определя-ём общее решение канонической системы уравнений, зависящее от постоянных т] и [c.175]

Формулы (10) и (И) имеют место для любой системы постоянных интегрирования. Эти уравнения становятся особенно простыми в том случае, если щ и являются каноническими постоянными. Если 01, щ,. . . , а , Р], Рг, , Рп появляются в результате интегрирования уравнения (4), и, следовательно, [c.66]

Если, в частности, уравнения (2) интегрировать при помощи метода Гамильтона — Якоби и получающиеся при этом постоянные интегрирования рассматривать как переменные параметры, то согласно 1 гл. I дифференциальные уравнения для этих параметров получаются в канонической форме п могут быть непосредственно записаны. Упомянутые параметры называются каноническими элементами. [c.196]

После того как динамическая система описана каноническими уравнениями Гамильтона, возникает проблема решения этих уравнений. В задаче двух тел канонические уравнения Гамильтона могут быть решены аналитически. В большинстве других задач, встречающихся в небесной механике и астродинамике, решить уравнения аналитически не удается. Однако, используя методы общей теории возмущений, можно строить решения в виде рядов. Найденные таким образом решения будут справедливы на некотором отрезке времени. При построении полного решения методом последовательных приближений можно, проводя соответствующие преобразования, на каждом этапе получать дифференциальные уравнения, являющиеся по форме по-прежнему каноническими и имеющие в качестве переменных так называемые постоянные интегрирования, полученные в предыдущем приближении. Описанная процедура может повторяться столько раз, сколько потребуется. [c.216]

Рассмотрим теперь более сложный пример, именно невозмущенное эллиптическое движение планеты. Если мы преобразуем прямоугольные координаты планеты в обобщенные координаты д (например, полярные координаты), то полученные в результате этого канонические уравнения, как будет показано в гл. 9, могут быть легко решены. Принимая для постоянных интегрирования систему обозначений i=a и = 1, 2.....к), мы можем записать [c.179]

Теорема, которая будет доказана в следующем параграфе, относится к решениям канонических уравнений, когда постоянные интегрирования, входящие в 8 д, а, 0> принимают любую из возможных форм, отмеченных ранее. [c.180]

Если X = х хР, t) — общее решение какой-либо определенной канонической системы вида (li), в котором роль постоянных интегрирования играют 2п начальных значений Х ° в момент t =- = to, 10 у = у (х, t), где у = ж , есть каноническое преобразование с множителем = 1 и остаточной функцией R такой, что R совпадает с функцией Гамильтона Н системы (li). [c.98]

Следовательно, = О и постоянные (27) сводятся к системе канонических постоянных интегрирования, эквивалентной системе (28) в силу изложенного в 42. [c.197]

Этот результат был уже указан в начале 224. Следует упомянуть, что канонические постоянные интегрирования (35) могли бы быть получены непосредственно на основании изложенного лишь в 224 без использования формул (34). Правда, такой непосредственный путь, хоть и более прозрачен, но также и более длинный, чем тот, которым мы следовали в этом параграфе. [c.200]

Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики, мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда гамильтониан системы остается постоянным. В этом случае существует такое преобразование, при котором новые канонические координаты являются циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического преобразования, которое осуществляет переход от координат q t) и импульсов p t) к начальным координатам q to) и начальным импульсам p to). Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические переменные, будут при этом иметь вид [c.301]

Функция W известна как характеристическая функция Гамильтона. Мы видим, что она осуществляет каноническое преобразование, в котором все новые координаты являются циклическими. В предыдущей главе мы говорили, что в случае постоянного И такое преобразование, в сущности, целиком решает задачу, так как интегрирование новых уравнений движения становится при этом тривиальным. Канонические уравнения для Р,-фактически снова подтверждают, что импульсы, соответствующие циклическим координатам, являются постоянными [c.309]

Подытоживая сказанное с точки зрения решения канонических уравнений, заметим, что нет необходимости сначала заменять константы интегрирования переменными Qi, а затем Q снова константами. Аналогично, переменная Q может быть сразу отождествлена с постоянной энергии Е. Вся формальная сторона решения может быть сформулирована в виде следующего рецепта. [c.270]

ОТ Времени канонического преобразования. Если функция Гамильтона в новых переменных равна нулю, то из канонических уравнений сразу следует, что в процессе движения все Qi и Pi постоянны. Мы возвратились таким образом к прежнему методу интегрирования, хотя и пришли к нему несколько иным путем. [c.274]

Этот результат представляет собой знаменитое правпло вариации постоянных интегрирования (канонических) в теории возмущений. [c.99]

Канонические уравнения (1) представляют собой систему 2к обык новенных дифференциальных уравнений. Предположим, что они полностью решены. Тогда любое д и любое р будут выражены в виде функций времени и 2к постоянных интегрирования, которые мы [c.174]

Следовательно, постоянная интегрирования, I должна быть взята равной нулю. Равенство H p,q)) = 0 удовлетворяется вдоль любого решения консервативной системы (4), так как эта система имеет интеграл энергии Н(р, д) = h = onst. Поскольку кЯи Н можно добавить произвольные постоянные, то выберем h = О, так что Н(р, q) = 0. Тогда из (5) видно, что импульс ро, канонически сопряженный с координатой qo = t, равен ро = —Н р, q, t). [c.88]

Если множество с постоянных интегрирования Сг для системы (11) таково, что преобразование с в х, определяемое формулой общего решения х = х (с, 1), является каноничемшм преобразованием с множителем а = 1, то называются каноническими постоянными интегрирования для [c.97]

ТО компоненты yi = щ, = у,- 2п-вект>ора у образуют совокупность канонических постоянных интегрирования для (li). [c.101]

Переход от уравнений (Hi) к лагранжевым уравнениям, определяемым функцией Лагранжа (12i), соответствует переходу от координат х, у ж импульсов X = х, Y = у к координатам ф, г и импульсам Ф = Д = г, рассмотренному в 220. В соответствии с изложенным в 49 такой переход представляет собой полностью каноническое преобразование, поскольку мы 1гриходим к ф, г, Ф, Л в результате канонического обобщения преобразования (1). Вместе с тем можно заключить, что переход от Ф, R, ц), г к (28) представляет собой каноническое преобразование с множителем = 1. Это вытекает из определения (см. 104) канонической системы постоянных интегрирования. Сопоставляя эти факты с результатами, указанными в 225, увидим, что переход от импульсов I, ц, и координат g, т], уравнений (33) к [c.199]

TO задача интегрирования этой системы уравнений сводится к нахождению канонических переменных q , q.2,. .., qg, Pi, р , р в фуикцит времени t и 2s произвольных постоянных. [c.374]

Смотреть страницы где упоминается термин Постоянные интегрирования канонические : [c.299] [c.369] [c.67] [c.526] [c.217] [c.98] [c.99] [c.99] [c.99] [c.101] [c.101] [c.105] [c.106] [c.107] [c.197] [c.197] [c.200] [c.324] [c.312] [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...