Инвариантное вихревое

Возьмем в пространстве х, у, г, t) произвольную трубку вихревых линий и два охватывающих ее контура j и j (рис. 34). В силу инвариантности интеграла (5) относительно вихревых линий [c.126]

Можно считать, что Dj и Da —два произвольных контура, охватывающих трубку перемещенных линий. Поэтому равенство ( 4) выражает инвариантность интеграла (5) но отношению к перемещенным линиям . При этом вдоль каждой перемещенной линии, как и вдоль вихревой, dt = (S. Следовательно, перемещенные линии обладают теми свойствами, которыми, как было показано ранее, могут обладать только вихревые линии. Значит, перемещенные линии являются вихревыми линиями. При этом время смещения х является произвольным. Таким образом, любая вихревая линия при движении образующих ее частиц жидкости остается все время вихревой. [c.126]

Из (1.16), (1.17) следует, что вихревые линии и трубки движутся вместе с жидкостью, причем интенсивность вихревой трубки не меняется со временем. Покажем это, используя рассуждения Бэтчелора [1973]. Рассмотрим жидкую трубку (рис. 1.3), тождественно совпадающую с произвольной вихревой трубкой в некоторый момент времени 1 . Выделим произвольный замкнутый жидкий контур. 9,. на поверхности вихревой трубки, один раз опоясывающий трубку. В соответствии с уравнением (1.16) циркуляция по такому жидкому контуру будет оставаться неизменной во время движения. Теперь выделим опять произвольный замкнутый жидкий контур небольших размеров 5 , лежащий на поверхности вихревой трубки, но не охватывающий ее. Поток завихренности через поверхность, ограниченную таким контуром, очевидно, равен нулю и остается нулевым, согласно (1.17), во все последующие моменты времени. Подобная ситуация возможна, если эти жидкие контуры остаются на поверхности вихревой трубки, не охватывая ее. С другой стороны, интенсивность вихревой трубки будет сохраняться во времени в силу инвариантности циркуляции по замкнутым жидким контурам, охватывающим трубку. Эти рассуждения и доказывают вышеприведенное утверждение для случая вихревой трубки. Аналогичные выводы для вихревой линии получаются, если поперечное сечение вихревой трубки стянуть в точку и таким образом в пределе перейти к вихревой линии. [c.31]

Выше были рассмотрены уравнения движения твердого тела в жидкости, теперь перейдем к рассмотрению другого класса задач, связанных с движением твердого тела, содержащего полости, заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, вокруг неподвижной точки. При этом наиболее интересен случай, когда жидкость совершает движение, обладающее однородной завихренностью [125, 129, 256]. В этом случае также отделяется шестимерная система уравнений, описывающих изменение кинетического момента М тела и завихренности жидкости Случай потенциального течения жидкости в односвязной полости приводит лишь к изменению моментов инерции твердого тела и определяет инвариантное многообразие = 0. Для потенциального течения в многосвязной полости получаются уравнения движения твердого тело с гиростатом, этот случай подробно изучался Н. Е. Жуковским [78]. Тело с гиростатом называется эквивалентным по Жуковскому. Можно показать, что однородное вихревое движение жидкости возможно лишь в эллипсоидальной полости [129]. [c.270]

Зеркально-симметричное решение (чехарда Гельмгольца). Для системы двух взаимодействующих вихревых пар Г1 = —Г4, Г2 = —Г3 общая система четырех вихрей на сфере и на плоскости также допускает инвариантные соотношения [c.103]

Следующая теорема обосновывает метод линеаризации в задаче устойчивости вихревого п-угольника, когда пфТ. Заметим, что в ней неустойчивость понимается в наиболее сильном смысле — (трансверсально) неустойчиво -инвариантное множество стационарных вращений. [c.265]

Первый из них выражает закон сохранения энергии вихрей. Второй интеграл есть следствие инвариантности гамильтониана относительно сдвигов вдоль оси г и с точностью до множителя совпадает с импульсом течения жидкости, обусловленного наличием системы вихревых колец. Так как = О, то при М = 2 система (1.3) является интегрируемой по Лиу-виллю для всех значений параметров Г1 и Г2. Докажем теперь, что в случае трех вихревых колец задача уже не всегда будет интегрируемой. [c.370]

Теорема Пуанкаре (теорема 12 7) дает критерий инвариантности потенциального и-мерного многообразия (и — число степеней свободы), однозначно проектирующегося на конфигурационное пространство потенциал соответствующего поля импульсов удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби. Мы укажем сейчас условия инвариантности и-мерных потенциальных (вихревых) многообразий. [c.83]

Если rot м = О, то соответствующее инвариантное многообразие S мы назвали потенциальным или лагранжевым. Инвариантные многообразия, для которых rot и ф О, будем называть вихревыми. Наша цель — изучение вихревых многообразий. [c.86]

Инвариантное многообразие у = Ах + Ь системы (8.15) является потенциальным только в том случае, когда матрица А симметрична. Легко показать, что если матрица А, удовлетворяющая уравнению Риккати, симметрична в какой-то момент времени, то = А для всех значений 1. Этот простой результат является частным случаем общей теоремы Лагранжа о потенциальности решений уравнений Ламба (см. гл. II). Таким образом, если матрица Ах несимметрична, то указанное инвариантное многообразие будет вихревым. [c.92]

Так как А = В - Г/2, то А = В - Г/2. Поскольку В - ) 7 О, то инвариантная плоскость Е вихревая. Если и-мерные плоскости Е и Е имеют общую точку ж, ж, отличную от состояния равновесия, то Ах = А - Г)ж при некотором ж 7 0. Следовательно, матрица А-А + Т = В- В вырождена. Поэтому = Е 0 Е. Каждая из линейных систем (9.3) и (9.7) имеет и линейно независимых решений. В силу (2) эти 2и решений образуют базис в 2и-мерном пространстве всех решений (9.1). [c.98]

Таким образом, найденные трехмерные инвариантные многообразия являются вихревыми. [c.157]

Общие соотношения. Уравнения Гельмгольца при наличии областей завихренности в безграничной области допускают неизменность во времени ряда физических характеристик. Это обстоятельство представляет не только теоретический интерес, но существенно при проверке корректности численных алгоритмов расчета вихревых течений. Вопрос об инвариантах вихревого движения частично затрагивал А.Пуанкаре (201]. Наиболее систематическое обобщение данного вопроса содержится в [245], где установлена не только инвариантность ряда интегральных комбинаций полей завихренности, но и для вязкой жидкости найдены общие законы вырождения величин, названных моментами завихренности. [c.41]

Важными следствиями масштабной инвариантности (с Л= /з) в инерц. интервале являются структурная ф-ция порядка р, определённая как среднее от р-й степени разности скоростей Ли,, измеренных в точках, отстоящих на расстояние /, степенным образом зависит от этого расстояния спектральная плотность энергии Т., определяемая Фурье преобразованием структурной ф-ции второго порядка, удовлетворяет закону = где к — волновое число, а с—постоянная Колмогорова (скейлинг не определяет величины этой константы) вихревая вязкость на масштабе / определяется соотношением [c.180]

Заметим, что, как и система точечных вихрей [Гешев, Черных, 1983], система вихревых частиц в круге допускает интегралы движения, независящие от времени - инварианты. Во-первых, это сам гамильтониан Я,у (6.59), который соответствует кинетической энергии движения завихренной жидкости. Во-вторых, поскольку область движения жидкости - круг, то в силу инвариантности гамильтониана (6.59) относительно вращений существует интеграл движения, связанный с законом сохранения момента импульса [c.378]

Векторное поле скоростей v и вихревое поле и>, определенные на всей группе 50(3), обладают рядом замечательных свойств. Во-первых, фазовый поток динамической системы х = v x), х G е 50(3), сохраняет двустороннюю инвариантную меру на группе 50(3). Эта мера инвариантна относительно всех левых и правых сдвигов группы. В локальных координатах на 50(3) — углах Эйлера —она имеет следующий вид (см. [135, гл. 1]) <1ц = = sind de dtp ф. Если положить rot и = aw, то в углах Эйлера функция а равна в точности sin0 (ср. с п. 4, следствие из теоремы 2). [c.72]

Соответствующий изоморфизм строится следующим образом. Рассмотрим сначала случай, когда интенсивности равны единице. Все матрицы (5.2) являются косоэрмитовыми и удовлетворяют свойству Azo = О, где zo — вектор с координатами (1, 1, 1). Другими словами, этот вектор инвариантен под действием вихревой алгебры. Следовательно, инвариантно и его ортогональное дополнение, то есть гиперплоскость Уг = z = 0 . Рассмотрим все косоэрмитовы матрицы, обладающие этим свойством (то есть зануляющие фиксированный вектор) — они образуют подалгебру и п-1). Таким образом, вихревая подалгебра вкладывается в и п — 1). Их размерности совпадают, поэтому совпадают и сами алгебры. [c.110]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

В следующих пяти разделах своей диссертации Грёбли рассматривает движения трех вихрей, когда какое-нибудь простое свойство вихревого треугольника остается инвариантным. Таким образом, твердотельные движения , в которых форма и размер вихревого треугольника остаются постоянными, описаны в разделе 9. Десятый раздел посвящен самоподобным движениям , при которых инвариантной остается форма вихревого треугольника, но не его размер. В разделе 11 предполагается, что треугольник остается равносторонним. И, наконец, раздел 12 рассматривает случаи, когда три вихря движутся по параллельным линиям. [c.698]

Это свойство можно фазить более кратко, вводя расширенное фазовое пространство Р = Р х В пространстве Р соотношение у = дЗ/дх задает фиксированную (и + 1)-мерную поверхность Е. Е инвариантность означает, ч то если вихревая линия пересекается с Е, то она целиком лежит на Е. [c.74]

Поскольку кинетическая энергия (9) представляет собой невырожденную квадратичную форму, то бесконечная серия интегралов (8) позволяет в принципе найти скорость течения v как функцию на группе SDiff М. Таким образом, на SDiff М естественным образом возникает бесконечномерная динамическая система, фазовый поток которой схож по своим свойствам со стационарным течением невязкой жидкости. Было бы интересным изучить эту систему с гидродинамической точки зрения, изложенной в гл. III (вихревые векторы и многообразия, поверхности Бернулли, инвариантные меры...). Такой подход можно назвать вторичной гидродинамикой. [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...