Область существования оператора

Это соотношение называется формой Вейля представления Шредингера канонического перестановочного соотнощения для системы с одной степенью свободы. С некоторыми из его обобщений мы уже встречались в гл. 2. Основное преимущество такой формы состоит в том, что она содержит лишь унитарные операторы и, таким образом, позволяет уйти от ответа на довольно сложные вопросы относительно области существования операторов, возникающие в том случае, когда мы имеем дело непосредственно с Р и р. Но форма Вейля обладает и [c.292]

Данное фундаментальное положение позволяет осуществлять математическую идентификацию изображения, выполненного на экране дисплея. Оператору, осуществляющему свободное эскизирование на входном устройстве ЭВМ, необходимо только знать, какому количеству параметров соответствуют те или другие метрические операции, и ориентировочно представлять области существования этих параметров. [c.45]

Пусть G х, у —Оо) есть тензор Грина оператора А (дх) — OqE для второй задачи в области существование этого тензора очевидно (см. [c.336]

В случае в равным образом существуют как правый, так и левый обратные операторы. В случае г существует левый обратный оператор но он определен только в области значений оператора а — /С- В этом случае оператор а — Кт может иметь правого обратного оператора, так как его существование означало бы, что областью значений оператора а — К является все -пространство. [c.192]

Полезно рассмотреть эти вопросы также с точки зрения существования решения уравнения (7.95). В случае б , когда а принадлежит точечному спектру оператора К, не исключено, что уравнение (7.95) может иметь решение, хотя последнее и не будет единственным. Для существования решения необходимо и достаточно, чтобы вектор о лежал в области значений оператора а — К- Но любой вектор из области значений оператора а — К ортогонален любому вектору из нуль-пространства ) сопряженного ему оператора, а любой вектор, ортогональный любому вектору из области значений данного оператора, принадлежит нуль-пространству сопряженного ему оператора. Поэтому если область значений оператора а — К является замкнутой, то она является ортогональным дополнением ) к нуль-пространству оператора а — Ю- Следовательно, в этом случае необходимое и достаточное условие [c.192]

Если С — вполне непрерывный оператор, то область значений оператора а — С является замкнутой ([824], стр. 279) ). Следовательно, область значений оператора а — Си нуль-пространство оператора а — С являются ортогональными дополнениями друг для друга. Это означает, что для вполне непрерывного оператора К и любого заданного числа а либо уравнение (7.95) имеет единственное решение, либо имеет решение соответствующее ему однородное уравнение (7.95а) ). Далее, если уравнение (7.95а) имеет п линейно независимых решений, то столько же решений имеет сопряженное уравнение, причем необходимое и достаточное условие существования решений уравнения (7.95) состоит в том, чтобы вектор о был ортогонален всем решениям уравнения, сопряженного уравнению (7.95а). Если потребовать, чтобы вектор был ортогонален всем решениям уравнения (7.95а), то он будет единственным. [c.195]

Напомним, что оператор А из гильбертова пространства Mi в гильбертово пространство Жг есть функция, определенная на каком-то подмножестве из Ж и называемом областью существования А, D A) и принимающая значения в Жг, причем множество этих значений называется областью определения A,R A). Граф Г (Л) оператора А есть множество всех пар Ф, ЛФ , где Ф Г) А). Это подмножество из Ж Ф Жг- А линеен, если его граф — линейное [c.123]

Разложение правой части (19.8) в ряд для малых к (и конечных (о), естественно, вновь дает формулу (18.18) (если подставить в последнюю соответствующие значения тензоров 1, V и о). С другой стороны, из формулы (19.8) непосредственно видно, что при ш Ке и к—1 (т. е. при волновом векторе порядка фермиевского) Ее ( , ю) < 0. и следовательно, дисперсионное уравнение (18.7) не имеет вещественных корней (мнимая часть поляризационного оператора при этом может быть еще равна нулю). Таким образом, естественная граница спектра плазменных колебаний к к действительно не навязывается, а вытекает из самой теории. Определение предельного волнового числа к сводится к исследованию области существования вещественных корней уравнения (18.7) с учетом (19.8). Мы, однако, не будем этого делать, ибо, как уже отмечалось, весь расчет носит чисто методический характер. [c.176]

Система аппроксимирующих функций (1.23) линейно независима. Нетрудно проверить, что эти функции обеспечивают непрерывность углов поворота по линиям контакта конечных элементов, а следовательно, и существование яо всей области вторых производных, входящих в функционал потенциальной энергии. Таким образом, функции (1.23) принадлежат энергетическому пространству задачи. Для задачи изгиба плиты порядок дифференциального оператор" 2т = 4. Поэтому чтобы показатель сте- [c.16]

Действительно, непосредственное использование итеративного метода, применяемого в задаче с начальными условиями, позволяет доказать существование решения только при ограничениях, наложенных на размер области [26, 27]. Первые доказательства существования и единственности для области произвольных размеров [28, 29] основываются на детальном изучении [29] оператора свободного переноса Z) = -5/5x, и в частности на неравенстве вида [c.440]

Полезно сопоставить понятие верхнего индекса оператора и появление полюсов более высокого порядка у оператора резольвенты со свойством, на возможность существования которого иногда не обращают внимания. Допустим, что верхний индекс оператора К — а больше единицы. Тогда существует вектор Фа, который принадлежит как области значений, так и нуль-пространству оператора К — а [c.201]

Произведем теперь преобразование Фурье уравнений, зависящих от времени, и перейдем к уравнениям Липпмана — Швингера (7.15) и (7.15а). Ситуация здесь является несколько иной, поскольку энергия фиксирована. Связанные состояния оператора Н, вызывающие некоторые затруднения, могут иметь энергии, не совпадающие со значениями энергии, при которых требуется решать уравнение. Поскольку рассматривается случай, когда одна частица рассеивается на неподвижной мишени или во внешнем поле сил, то спектр, соответствующий состояниям рассеяния, или непрерывный спектр, четко отделен от дискретного спектра, или спектра связанных состояний. Нас интересует решение уравнения (7.15) при > О, в то время как связанные состояния лежат в области -< 0. Поэтому не возникает никаких серьезных затруднений в вопросе о существовании и единственности решений уравнения (7.15) [или уравнения (7.11) для функции Грина] либо уравнения (7.47) для оператора Т. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже. [c.253]

Существование общей плотной области существенной самосопряженности операторов Р ([) и Р (/) было доказано Ридом [312, 314] 2) совпадает с конечной линейной оболочкой векторов вида Т = 0 Ру, = фу при М, где N — произвольное число). [c.340]

Теорема 4.4. В области G существования первых интегралов системы (4.1) имеется п — 1 линейно несвязных операторов, коммутирующих с U. [c.38]

В первом случае система (1.1) нулевого приближения в рассматриваемой области не имеет точек покоя. Используя классические теоремы о существовании и единственности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, можно показать, что решениями операторного уравнения (1.3) являются, по крайней мере локально (в окрестности каждой точки), п линейно несвязных операторов из (С). Обоснование алгоритма в этом случае проводится особенно просто для систем нулевого приближения общего вида (1.1). [c.97]

Множество функций Р из (Н ), являющееся решением уравнения и/ = О, где и — оператор, ассоциированный с системой нулевого приближения (4.1), обладает базисным множеством P i == = i x (ж), Vn-i (ж) , составленным из первых интегралов (4.3). Сформулируем основную теорему о структуре алгебр 9So и Теорема 4.2. В области Н существования первых интегралов [c.110]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

При произвольном а убедимся сначала в существовании ВО У Ну Но). Поскольку области определения Т> Но) и Т> Н) этих операторов существенно различны, теорему 2.5.1 прямо применить не удается. Рассмотрим предварительно ВО У Н, Но] J) где отождествление 3 есть оператор умножения на такую функцию г) Е что г) х) = О при х 1 и Г] х) = 1 [c.127]

Исследование дифференциальных уравнений математической физики в конечной области пространства обычно проводится с помощью перевода их в интегральные уравнения с подходящей функцией Грина [28, 29]. Это обстоятельство объясняется тем, что исходный дифференциальный оператор является неограниченным, тогда как функция Грина в конечной области пространства, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям, порождает не только ограниченный, но вполне непрерывный оператор, т.е. оператор с квадратично интегрируемым ядром [45]. Этот оператор можно представить как предел конечномерных операторов и, следовательно, перенести на него (а, тем самым, и на исходный дифференциальный оператор) все существенные теоремы алгебры конечномерных пространств [45] (существование собственных функций, их полнота и разложение по базису, альтернатива Фредгольма, теория возмущений и т.д.). [c.68]

Обеспечение программное 214 Области существования 75, 84 Оператор Гато 207 [c.293]

Пусть t, т) ад. х) ад, а линейный оператор Л действует из в ад. Тогда, используя неравенство Коши—Бу-няковского и (54), можно показать, что оператор А является ограниченным оператором. Существование ограниченного оператора В , определенного на области значений оператора В, следует из положительной определенности оператора В. [c.52]

Теперь несколько замечаний о линейных операторах в гильбертовом пространстше. Дальше в зтой книге будет игаого разговоров по поводу областей существования неограниченных операторов. Большинство физиков считает в глубине души, что ничто, существенно зависящее от таких вещей, не может иметь отношения к физике. Нам хотелось бы привести кое-какие аргументы в пользу обратного. [c.123]

С помощью дифференц. выражений формулируют и дифференц. ур-ния. Поэтому вопросы существования, единственности, зависимости от нач. данных для решений дифференц. ур-ний естественно ставятся на языке свойств д. о. как вопросы об области определения, ядре, непрерывности обратного оператора. Нанр., теоремы существования решений доказывают с номон(ью метода сжатых отображений — классич. метода теории операторов. Существенную информацию дают исследование спектра Д. о. и свойств его резольвенты, разложение по ого собств. ф-циям, изучение возмущений Д. о. Наиб, развита теория линейных Д. о., к-рые вооби ,е являются важнейшим примером неограниченных операторов (см. Линейный оператор). Б дифференц. геометрии и физ. приложениях особую роль играет класс Д. о., не меняющихся или меняющихся спец. образом при действии на дифференц, выражение преобразований из пек-рой группы (см., напр., Ковариаптпая производная, Лапласа оператор). Д. о. служат для описания структуры ряда матем. объектов. Напр., обобщённую функцию медленного роста можно представить как результат действия Д. о. на непрерывную ф-цию степенного роста. [c.684]

Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряжеяно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемет щениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области системы. Из тех же соображений при решении задач изгиба плиты или оболочек (порядок дифференциального оператора —4) необходимо обеспечить непрерывность как перемещений, так и их первых производных. [c.9]

В завершение раздела приведем следзпющее замечание. Было бы совершенно неправдоподобно, если бы нам вдруг удалось построить оператор П для всех возможных систем взаимодействуювщх частиц. Система, состоящая из трех взаимодействующих между собой частиц, не релаксирует к равновесному состоянию, а система с неэкранированным дальнодействующим межчастичным взаимодействием, например с гравитационными силами, по-видимому, вообще не может достичь равновесия. Поэтому область применимости нашей схемы обязательно должна быть как-то ограничена. Действительно, будет показано, что нетривиальный оператор П существует лишь в том случае, если система удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. В эти условия, с одной стороны, входит требование существования термодинамического предела. [c.167]

Так как статистический оператор не может в общем случае служить средством описания немаксимально полного опыта, и так как при приближении к максимально полному опыту классическая характеристика заведомо неприменима, то возникает вопрос об описании опытов, не являющихся максимально полными, хотя и близких к ним. Мы не будем здесь касаться вопроса об условиях, гарантирующих существование определенного вероятностного закона при немаксимально полных измерениях (например, как отмечалось выше, в статистическом операторе вероятности могли бы не иметь определенных значений). Этот вопрос связан с выяснением условий существования статистики и релаксации в физической системе. Отметим лишь одну характерную черту области, переходной между классическим и квантовым описанием,— черту, относящуюся к специфическому, но важному для принципиальных задач статистики, вопросу о возвратной теореме. [c.165]

Также предполагается, что существует такая ограниченная область So = M д М) > 0 , что l Sq S. Введем нелинейные операторы (3.5.2) и рассмотрим операторное уравнение (3.5.3), (3.5.4) Вопросы об эквивалентности рассматриваемых уравнений, а также о существовании и единственности их решений решаются аналогично [19] и 3.5. При численном решении уравнения (3.5.3) используем метод последовательных приближений по схеме (3.5.8). В силу симметрии задачи по у достаточно рассматривать лишь верхнюю половину (у 0) прямоугольника S, которую покроем сеткой из т узлов с шагом /г, по оси х и /ig по оси у (в расчетах т 81). При вычислении значений функции K M,N) вида (12) в этих узлах ее особенности сглаживаются путем замены R на Л, = [(х - yf + (.S - i)2 + а также при помощи добавле- [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...