Оператор существенно самосопряженный

Пусть А — линейный оператор, определенный на элементах линейного многообразия 2)(А) гильбертова пространства Ж и принимающий значения в Ж. Многообразие (А) называется областью определения оператора А, а линейное многообразие 1 (А) = АФ Ф S) А)) —областью значений оператора А. Пусть В — оператор, определенный аналогично оператору А. Если E>(A) содержится в 3) В) и ЛФ==БФ для всех Фе (Л), то оператор А называется сужением оператора В на (Л), а оператор В — расширением оператора Л на Ю В). Пусть Л и Л —два линейных оператора, определенных в Ж Л — на 2)(А), а Л — на (Л ). Операторы Л и Л называются сопряженными, если (W, ЛФ) = (Л Ч , Ф) при всех Фе (Л) и всех е А ). Говорят, что линейный оператор Л имеет всюду плотную область определения )(А), если замыкание (Л) по норме, заданной в Ж, совпадает с гильбертовым пространством Ж. Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то существует единственный линейный оператор Л, называемый максимально сопряженным с Л, такой, что любой оператор А, сопряженный с Л, совпадает с сужением оператора Л на некоторое линейное многообразие (А ), содержащееся в (Л ). Линейный оператор В называется замкнутым, если для каждой последовательности Ф из S) B), элементы Ф которой сходятся (по норме) к некоторому вектору Ф Ж, их образы 6Ф сходятся (по норме) к некоторому вектору Т е и при этом Ф З) В) и ЙФ = Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то Л — замкнутый оператор. Оператор Л с всюду плотной областью определения называется симметричным, если 3) А) содержится в S) A ) и Л совпадает с сужением оператора Л на (Л). В этом случае оператор Л есть замкнутое симметричное расширение оператора Л и называется замыканием оператора Л. Говорят, что линейный оператор Л самосопряженный, если он симметричен и, кроме того, удовлетворяет условию (Л) — 2Е> А ). Вообще говоря, у симметричного оператора может быть не одно, а несколько самосопряженных расширений. В частности, симметричный оператор Л называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряженно. В этом случае Л допускает лишь одно самосопряженное расширение, а именно А . Говорят, что линейный оператор Л ограничен (в области определения), если существует конечная положительная величина М, такая, что при всех Фе (Л) выполняется неравенство ЛФ М. В противном случае оператор Л называется неограниченным. Линейный оператор Л допускает (единственное) ограниченное расширение на подпространство (Л) [замыкание (Л) по норме] в том и только в том случае, если он ограничен на S)(A). Если оператор Л имеет всюду плотную область определения и ограничен на ней, то его можно неявно [c.21]

ЗР) = 2) PQ) гл Ф QP) Ф[Р)г к) 0), устойчиво относительно операторов Р и и, кроме того, отображается на себя операторами (Р и) и (Q Н). Сужения на многообразие операторов Р, Q я P -Q существенно самосопряженны. Наконец, отметим очевидное соотнощение [c.292]

Кроме того, эти условия достаточны для того, чтобы утверждать, что операторы Р и О самосопряженны и даже что сужения операторов Р и Q на 20 существенно самосопряженны. [c.295]

Существование общей плотной области существенной самосопряженности операторов Р ([) и Р (/) было доказано Ридом [312, 314] 2) совпадает с конечной линейной оболочкой векторов вида Т = 0 Ру, = фу при М, где N — произвольное число). [c.340]

В этой форме оператор является самосопряженным, если мы ограничиваемся функциями распределения, исчезающими на гиперсфере бесконечного радиуса в фазовом пространстве. Это не является существенным ограничением, так как функция распределения нормирована на единицу. [c.221]

V = vo состоит из одной точки Я- = vo с бесконечной кратностью вырождения. Далее, от прибавления к самосопряженному оператору вполне непрерывного оператора непрерывная часть спектра не меняется (точнее, не меняется существенный спектр, но это [c.88]

Случаи молекул — твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора /С, так что получается оператор W — V К. Согласно теореме Вейля [2—4], если К — вполне непрерывный оператор, т. е. переводит ограниченную последовательность функций gk в сходящуюся последовательность Kgk (сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры XV и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. Точнее говоря, остается неизменным так называемый существенный спектр (т. е. множество предельных точек спектра). [c.208]

Построение теории рассеяния для унитарных операторов в существенном аналогично самосопряженному случаю. По этой причине мы обычно не делаем специальных оговорок по поводу унитарного случая. [c.100]

Лемма 6. Пусть нуль не является точкой существенного спектра неотрицательного оператора J J. Тогда равенство (4) выполняется для любого самосопряженного оператора Я. [c.135]

Теорема 1. Пусть Яо—произвольный самосопряженный оператор, для ко лор ого выполнено условие (1), а V определяются равенствами (2) . Тогда существенные спектры операторов Но и Н = Но V совпадают, [c.268]

Теорема 5. Пусть Но—полуограниченный самосопряженный оператор в L2(M ), для которого Т> Но ) = T> hIq ), Н — интегральный оператор с ядром (10) и при а Е (—/,0] выполнено условие (11). Тогда существенные спектры операторов Но и Н = Но V совпадают. Если к тому же I > —а d, то ВО W H, Но) существуют и полны. [c.270]

Эта замена является на самом деле весьма существенной, поскольку мы имеем теперь для дивергенции тока самосопряженный эллиптический оператор относительно [c.408]

Таким образом, условие (31.12) облегчает построение системы, биортогональной к (ГД. Однако из (31.12) вытекает еще и другое следствие, которое будет играть очень существенную роль. Напомним, что для любого ограниченного оператора А его вещественная и мнимая части — это самосопряженные операторы [c.308]

Таким образом, для мультипликативных возмущений отождествление J имеет ряд специальных свойств. Лля таких J свойс1ва ВО W [H, Но] J) в существенном те же, что и в случае одного пространства (при единичном отождествлении). Они описываются в следующем утверждении, справедливом для произвольных самосопряженных операторов Яо и Я. Это утверждение сразу вытекает из результатов 2.3 (см. теорему б, предложение 11 и следствие 12). [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...