Римана уравнения

Коши задача 461 Коши — Римана уравнения 362 Крамерса задача 329, 331, 334, 350, 396 [c.489]

Конформность преобразования 215 Корабль роторный 196 Коши-Римана уравнение 214 Коши условие подобия 458, 585 [c.619]

Коши —Римана уравнения 186. Коэффициент линейного расширения от температуры 229. [c.447]

Инварианты Римана, Уравнения в плоскости годографа. Неавтомодельные задачи [c.306]

Примем для функции р выражение р = — и ). В качестве оправдания такого выбора можно сказать, что такой вид имеет функция р при малой анизотропии в области малых деформаций (Глава 2). Для этого же вида функции р в 9.3 подробно рассмотрены волны Римана. Уравнение ударной адиабаты (9.21) примет вид [c.388]

Оказывается, что в данном случае решение задачи (53), (54) просто совпадает с функцией Римана уравнения (52) с точностью до постоянного множителя. Действительно, функция Римана W(r, I Го, Iq) должна быть, как функция переменных (г, I), решением того же уравнения (52) в силу его самосопряженности и должна удовлетворять следующим краевым условиям на характеристике г =- го - условию [c.165]

В тех сл]/чаях, когда отображающая функция со(р является полиномом, задача сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений (этот результат получен Н. И. Мусхелишвили). Ограничившись здесь только приведенными общими замечаниями, перейдем к изложению теории интеграла типа Коши, теоремы Гар-нака и задачи Римана. [c.135]

Между аналитическими и гармоническими функциями имеется тесная связь. Пусть w (г) = и х, у) + iv х, у) — аналитическая функция на области D. Тогда для любых z D существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy и выполняются условия Коши—Римана. Предположим дополнительно, что производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy сами непрерывно дифференцируемы (можно доказать, что аналитическая функция обладает непрерывными производными любых порядков и, следовательно, это предположение соответствует действительности). Дифференцируя первое равенство (5.6) по х, второе по у и складывая, приходим к уравнению Лапласа (5.7). Точно так же, дифференцируя первое равенство (5.6) по у, второе по д и вычитая, приходим к уравнению Лапласа дЪ/дх -f d v/dy = 0. Таким образом, установлено, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими. Более того, установлено, что функции класса С, связанные условиями Коши—Римана, — гармонические. [c.179]

Сведем это уравнение к вспомогательной задаче Римана. Для этого будем рассматривать искомое решение ф(/) как плотность [c.53]

Индекс вспомогательной задачи Римана будем называть и индексом исходного уравнения. Естественно, что условия разрешимости задачи Римана автоматически оказываются условиями разрешимости сингулярного уравнения (3.6). Отметим, что переход к задаче Римана оказывается возможным при выполнении условия а Ц)—й (0 =0, что в дальнейшем всегда будет предполагаться. [c.53]

Аналогичным образом может быть рассмотрен и вопрос о разрешимости союзного уравнения, причем индекс вспомогательной задачи Римана в этом случае у = —у. [c.53]

Докажем, что все собственные значения уравнения (7.9) вещественны и по модулю не меньше 1, Предварительно установим некоторые вспомогательные соотношения. По аналогии с построением краевой задачи Римана для решения сингулярного интегрального уравнения и в нашем случае необходимо построить эквивалентное уравнению (7.9) соотношение между предельными (извне и изнутри) значениями потенциала простого слоя, плотностью которого является искомое решение интегрального уравнения. Воспользовавшись формулой (6.31), получаем соотношение [c.102]

Изложенное выше показывает, что контактные задачи (а также задачи теории упругости для тел с разрезами, см. 8) могут быть сведены к сингулярным интегральным уравнениям, решение которых в свою очередь можно свести к краевой задаче Римана. Однако в некоторых частных случаях удается свести проблему сразу к краевой задаче Римана [38]. [c.416]

Для уравнений акустики (см. п. 1 2.1) инварианты Римана имеют вид [c.45]

Существование простой волны связано с гиперболическим характером уравнений, описывающих этот класс течений. Напомним, что классическим гиперболическим уравнением является волновое уравнение. Дадим определение простой волны. Если течение безвихревое и одно из семейств характеристик — прямые линии с постоянными параметрами, то течение в этой области называется простой волной. Основным свойством простой волны является следующее к области движения с постоянными параметрами может примыкать только или еще одна такая область движения с постоянными параметрами, или простая волна. При этом оказывается, что для существования простой волны достаточно, чтобы одна из характеристик какого-либо семейства была прямолинейной с постоянными параметрами на ней. Указанные свойства простой волны нетрудно получить, рассмотрев в случае изоэнтропического течения уравнения совместности на характеристиках. Действительно, на С+-и С- характеристиках справедливы инварианты Римана 1+, -(см. 2.2). Пусть, например, прямолинейной характеристикой с постоянными параметрами является какая-либо из характеристик С+. Тогда все пересекающие ее характеристики С имеют одно и то же значение инварианта / = и—2а/(у—1), т. е. по всей области течения / — постоянная величина. Поскольку, с другой стороны, каждая из характеристик С+ имеет свое постоянное значение /+, то из постоянства двух величин /+ и / следует постоянство ы и а на каждой из характеристик С+ и, следовательно, их прямолинейность, так как уравнение характеристик имеет вид dx/dt = u + a. Подчеркнем, что параметры [c.57]

Возникает область вакуума P = R = 0. Таким образом, уравнение (2.90) имеет единственный корень, если выполнено условие и,—И2 /вак=—2 ui + a2) ( —1). Задача о распаде произвольного разрыва послужила основой для создания оригинального численного метода решения нестационарных задач газовой динамики. Аналогичная задача о взаимодействии двух стационарных сверхзвуковых потоков послужила основой для создания численного метода расчета стационарных плоских осесимметричных и пространственных сверхзвуковых течений. Конфигурации, возникающие при взаимодействии сверхзвуковых потоков, аналогичны соответствующим конфигурациям в нестационарном течении и изображены на рис. 2.11, а—5. Отличие состоит в том, что при расчете задачи о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков параметры в волне разрежения связаны соотношениями Прандтля — Майера (2.74), а не инвариантами Римана. Ограничимся этими краткими замечаниями. В дальнейшем при изложении методов сквозного счета будут приведены расчетные формулы. [c.66]

Уравнения (9.1.2) и (9.1.4) напоминают известные соотношения Коши — Римана, которые связывают действительную и мнимую части функции комплексной переменной. Положим z = Xi + + ix2 (не смешивать с обозначением координаты z). Функция комплексно переменной w z) может быть представлена следующим образом [c.279]

На основании решения Римана [51 ] для плоских волн конечной амплитуды представим уравнения неразрывности (1.2.5) и движения жидкости (1.2.6), учитывая (1.3.2), в следующем виде [c.36]

И просто иметь в виду, что в (и) можно добавить перемещения абсолютно твердого тела. Эти уравнения позволяют нам найти и и V, если известна функция ф. Прежде всего мы должны, найдя P = определить сопряженную функцию Q с помощью уравнений Коши — Римана [c.187]

Помимо того, что равенство (ж) определяет z как функцию его можно разрешить относительно С- В таком случае и т) будут действительной и мнимой частями функции г, поэтому они должны удовлетворять уравнениям Коши — Римана (д) из 55 а следовательно, и уравнению Лапласа (е) или (ж) из 55. [c.193]

Это — уравнения Коши—Римана (см. стр. 181) для функций Gw и ф. Следовательно, Gw + i(f будет аналитической функцией переменного x - --iy. Отсюда [c.342]

И, следовательно, скорость и как функция р в случае волн Римана может быть найдена независимо от интегрирования уравнений движения (18.1) — (18.2). Для скорости и (р) будем иметь [c.222]

Можно поставить задачу об отыскании такой зависимости р = / (р), при которой не будет иметь место эффект опрокидывания волны сжатия Римана. Так будет, например, если скорость с получает-е. с/йр = 0. В этом с.лучае на основании (18.8), (18.10) и (18.12) для определения вида зависимости р от р будем иметь следующее простое дифференциальное уравнение [c.226]

Подставляя (9-40) в одно из уравнений (9-39), получим уравнение для простой волны Римана [c.254]

Координаты Римана определяются как произведения единичных векторов i , касательных к геодезическим линиям данного пространства, проходящи.м через начало координат, на путь S х = S (/ = 1, 2,..., п). В этих координатах уравнение геодезических линий имеет простой вид d xi dS = О, причем ковариантные производные от тензоров сводятся к обы ным производным. Подробнее см. П. К. Р а ш е в с к и й. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, изд. 1-е, ОНТИ, 1935, стр. 95. [c.911]

С учетом того, что на одной из характеристик ф = О, можно заключить, что V X- Согласно уравнениям (6.6) получим, что изменение имеет порядок х - Учет этого изменения привел бы в уравнениях (6.5) к появлению пренебрежимо малых членов порядка хе (при изучении волн Римана в Главе 3 в уравнениях не учитывались члены меньше,чем x ). На первый взгляд может показаться существенным вклад в уравнения (6.5) изменения 6,-f , за счет члена / кФ- Как и выражение для Ф, величины /, разлагаются в ряды по emi- Конечная часть /, (не связанная с деформацией или анизотропией) может быть вычислена из квадратичной пое части функции Фо, равной Несложные вычисления показывают, что конечное значение имеют только /23 = /з2 = 2< 23 = 2< 32 = 1. В первом уравнении (6.5) слагаемого с /23 нет. В третьем уравнении для продольной компоненты 1з будет присутствовать член имеющий порядок х -При изучении волн Римана уравнение для продольной компоненты решалось приближенно и члены такого порядка малости не учитывались (учитывались члены порядка е ). Во втором уравнении (6.5) соответствующий член будет присутствовать в виде ф dis/d y. Поскольку I3 соответствует продольной компоненте, которая в кваэипоперечной волне меняется мало, так что /3 dh/dj е, то приведенный выше член имеет порядок малости Х , более высокий, чем учитываемые при изучении поперечных волн члены. [c.289]

Рийке звук 225 Римана уравнения 46 Рэнкина вычисление теплоемкости 32 Рябь (Фарадей) 336 [c.475]

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида (у 6) = onst, /-(и, 0) — onst. Функции /+ и I- представляют собой величи Ы, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С+ и (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3—4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 104) зависимость у от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем про- [c.612]

Построение аналитических и даже числовых решений полной системы уравнений газовой динамики связано со значительными трудностями не только из-за сложности физико-химических процессов, но и потому, что в общем случае течение содержит дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат. При этом приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие качественные закономерности. В настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые аналитические решения, позволяющие выявить ряд важных закономерностей движения газа и являющиеся необходимыми тестовыми примерами при численных расчетах. К числу таких решений относятся одномерная теория сопла, теория простой волны (течение Прандт-ля — Майера, волна Римана), обтекание клина, распад произвольного разрыва, точечный взрыв, решение методом источников и стоков, решение уравнения для потенциала. [c.54]

Используя инварианты Римана / =р аоро (см. п. 2 2.2) для этих уравнений, можно записать общее решение уравнений (6.27) в виде [c.162]

Наклон каждой характеристики этого пучка определяет а(е), а следовательно, деформацию е и скорость V по уравнению (16.11.9). Штриховая прямая тп соответствует фиксированному сечению стержня, в котором можно прикрепить датчик и осцил-лографировать деформацию. На участке пр е = О, в точке р еще п = 0, но на участке рт деформация, а следовательно, и скорость монотонно возрастают, достигая конечного значения в точке т и сохраняя это значение на участке qm. Волны, соответствующие центрированному пучку характеристик, называются волнами Римана. [c.569]

Уравнения (к) представляют собой уравнения Коши — Римана, обсужд.двшиеся в 55. Они показывают, что функция e + i o является аналитической функцией комплексной переменной д li/. Обозначая эту функцию через 2, получаем [c.475]

Нелинейные уравнения решаются с помош,ью итерационных методов, т. е. процедура решения заключается в многократном применении некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя для сходящегося алгоритма может быть настолько близко к точному, насколько позволяет используемая в ЭВМ система чисел с плаваюш,ей точкой. Рассмот-рим наиболее употребительные итера- [c.54]

Семь ириведешиях реакций при С1 0 )ании топлива являются наиболее вероятными. В уравнениях для них содержатся II неизвестных парциальных давлений элементов рсо,, Рим. рсо, Pn,. Ри,. [c.218]

В общем случае система (9-37), (9-38) не содержит решений ТИ па волн Римана и ее невозможно привести к одному уравнению, как это сделано для системы (9-37). Однако в случае слабой дисперсий и диссипации можно искать решение системы в виде квазипростой волны [c.255]

Эльвин Бруно Кристоффель родился в Монжуа (на Рейне) в 1829 г., умер в Страсбурге в 1900 г. Был профессором в Политехнической школе в Цюрихе, в Берлинской промышленной академии и в Страсбургском университете. Прямой ученик Дирихле, а в широком смысле — и Римана, он дал ряд замечательных исследований в области алгебраических и абелевых фупкциГ), инвариантов, уравнений с частными производными и дифференциальной геометрии. [c.341]

Катастатическая система. Шесть теорем об энергии. Расслют-рим теперь ряд изящных теорем, касающихся кинетической энергии системы при действии на нее ударных импульсов. В сокращенных обозначениях основные уравнения (14.4.3) и (14.4.4) записываются в виде [c.251]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...