Произведение векторное тензоров

Для записи векторного произведения используем тензор [c.81]

Вектор с с компонентами Q з. Qзl, Q 2 носит наименование сопутствующего антисимметричному тензору Q. При помощи этого сопутствующего вектора молено доказать, что произведение антисимметричного тензора на вектор справа или слева приводит к векторному произведению, сомножителями в котором [c.122]

Знаки операций сложения и вычитания тензоров, умножения тензора на скаляр — обычные. Различные виды произведений двух тензоров обозначаются следующим образом скалярное — точкой между сомножителями, векторное — наклонным крестом, тензорное, а также диадное произведение двух векторов — смежным расположением сомножителей, без знака между ними. [c.18]

Векторное произведение двух тензоров / х Q определяет вектор с проекциями [c.19]

Но скалярное произведение антисимметричного тензора 12 на вектор Й справа можно записать в форме векторного произведения [см. (2ЛЗ) главы 1] [c.78]

Следовательно, произведение Pa Q преобразуется по представлению D - Однако Pa представляет собой симметричный тензор второго ранга, который преобразуется по симметризованному произведению векторных представлений (Э Следовательно, для любой групповой операции [c.313]

Векторное произведение и тензор Леви—Чивита [c.15]

Компоненты тензора, называемого изотропным, остаются неизменными при любом ортогональном преобразовании векторного базиса. Конечно, произведение изотропного тензора на скаляр — изотропный тензор. [c.444]

В тензорной алгебре для записи векторного произведения используют -тензор. Так, выражение (П. 15) запишется следующим образом [c.208]

Строго говоря, векторное произведение геометрически изображается односторонней площадью параллелограмма, построенного на умножаемых векторах, а площадь параллелограмма в свою очередь — вектором, который направлен так, чтобы, смотря из конца этого вектора, мы видели обход контура, ограничивающего площадь, против хода стрелки часов (т. е. как указано в определении). Таким образом, век торное произведение, по существу, есть не вектор, а антисимметричный тензор второго ранга. [c.30]

Рассмотрим умножение тензоров. Оно может быть скалярным и векторным. Если а — произвольный вектор, то скалярные произведения a-D и D-a, тоже являются векторами, которые определяются формулами [c.13]

Этим мы установили связь между векторным произведением и антисимметричной частью мультипликативного тензора второго ранга. Антисимметричная часть мультипликативного тензора второго ранга называется также бивектором ). Как видно из предыдущего, компоненты бивектора (опуская коэффициент 1/2) можно записать так [c.49]

Определение векторного произведения. Начнем с определения векторного произведения двух векторов и далее определим векторное умножение тензора на вектор слева и справа. (Заметим, что последняя операция широко используется в механике.) Пусть ft,- —декартов базис, тогда векторным произведением двух векторов а а Ь называется вектор с = ахЬ, компоненты которого подсчитываются по закону [c.316]

Применив другие представления вектора а и тензора Pt, можем получить выражение для двух других компонентов векторного произведения. [c.318]

Момент СИЛЫ F определяется как векторное произведение [Fr]. Компоненты векторного произведения двух векторов составляют антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого написаны в тексте. [c.15]

Учитывая, что Af — произвольный контравариантный вектор параллельного векторного поля и что произведение такого вектора на выражение внутри скобок в правой части (1.74) является скаляром, на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что [c.24]

Вспоминая, что оператор rot у может быть представлен как символическое векторное произведение оператора набла и вектора Рд н используя определение е-тензора, получим [c.213]

Различают также скалярные и векторные произведения тензоров и векторов, а также — скалярное произведение тензоров [58]. [c.60]

Обратим теперь внимание читателя на фундаментальный недостаток системы макроскопических уравнений (94.14) — (94.16), заключающийся в том, что эта система незамкнута — число уравнений этой системы меньше числа неизвестных. Действительно, уже первое уравнение этой системы содержит четыре неизвестных — плотность р и три проекции скорости щ. Добавление второго векторного уравнения (94.15) только ухудшает ситуацию, так как число уравнений возрастает до четырех, а к числу неизвестных добавляются шесть независимых компонент тензора П/а и равновесное давление Р, и мы получаем четыре уравнения с одиннадцатью неизвестными. Очевидно, что добавление к системе скалярного уравнения (94.16) ведет к тем же последствиям, так как к числу неизвестных добавляются три проекции вектора теплопроводности /. Мы могли бы составить уравнения типа (94.14) — (94.16) и для более высоких моментов скорости, выбрав в качестве функции хр г,ь,1) в (94.6) или (94.20) произведение трех. [c.525]

II. 2. Дифференциальные операции в векторном поле. Известно (п. 1.6), что операции над двумя векторами сводятся к построениям их скалярного инварианта а 6, вектора ахЬ и тензора— диады аЬ. В соответствии с этим простейшей дифференциальной операцией в векторном поле служит образование скалярного произведения набла-оператора на вектор [c.840]

Векторным произведением тензоров а п Ь валентности г и s соответственно в трехмерном пространстве называется (г + S — 1)-валентный тензор с — аХЬ с компонентами вида [c.210]

Векторное произведение V X называется ротором (вихрем) тензора а, скалярное произведение V -о — дивергенцией тензора а. [c.212]

Здесь f — вектор массовых сил а — вектор ускорения, определенный в (1.23) t — вектор истинных напряжений Коши, действующий на граничной площадке дш. Вектор t имеет тот же самый смысл, что и вектор t( ) в (1.72), но здесь индекс (п) опущен, так как в (1.111), (1.112) под единичным вектором нормали подразумевается вектор внешней нормали п к поверхности дш. Знаком X обозначена операция векторного произведения. Область ограниченная замкнутой поверхностью дш, — произвольная подобласть области V аксиома локализации). Из уравнения (1.112) следует симметрия тензора напряжений Коши, а следовательно, и тензоров напряжений s, т, т, [c.59]

Под р-векторным произведением (П1.41) тензора Та ранга п на тензор Ть Ц ранга т понимается тензор [c.244]

Как выполняется /(-векторное произведение тензоров различного ранга когда оно становится полным векторным [c.259]

Проектируя обе части равенства (18) на оси координат и пользуясь известными выражениями проекций векторного произведения (1-12) и произведения тензора на вектор (И.6), получим вновь систему равенств (14). [c.40]

Производные по времени t от скалярных произведений, стоящие в правых частях этих равенств, легко вычисляются. Используя (30) и известные правила вычисления тройных скалярно-векторных произведений и произведений тензора на вектор, получим [c.48]

Нельзя ли найти связь между векторами АЛ и со в общем случае Оказывается, можно, она выражена двойным векторным произведением, и ее удобно представить с помощью новой физической величины — тензора, — которая является расширением и обобщением представления о векторной величине. Для выяснения прямой связи между векторами АМ и о> найдем зависимость между проекциями АА н (О на оси координат. Предварительно по формуле из векторной алгебры [c.228]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Рассмотренные простейшие дифференциальные операции можно обобщить. Если мы имеем векторное поле V = то градиент вектора представляет собой тензор второго ранга — диадное произведение вектора Ух на вектор у [c.36]

Операции с векторами в криволинейной системе координат 52 Тензор J в криволинейной системе координат (52). Векторное и смешанное произведение в криволинейной системе координат (54). Основные метрические элементы (55). [c.5]

Их можно назвать векторными произведениями вектора а на тензор Р слева и соответственно справа. Пользуясь диадным представлением тензора (4), получаем [c.145]

Но к этим же формулам пришли бы, согласно (П. 2.8), рассматривая (О как вектор и составив векторное произведение его на а. Итак, при обозначениях (П. 7) имеем в случае кососимметричного тензора [c.784]

Пользуясь этими формулами, легко получить дважды скалярное и векторное произведения тензоров второго ранга. Некоторые авторы двойное скалярное произведение диад определяют так [c.15]

Векторное произведение. Тензор Леви-Чивиты. Бивектор [c.31]

Обозначается диада при помощи рядом поетаилепных векторов аЬ без каких-либо знаков между ними. Диаду можно рассматривать как третью операцию умножепич вектора на вектор — диадное произведение двух векторов, приводящее, в отличие от скалярного и векторного произведений, к тензору. [c.119]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

Найденный нами вектор с компонентами j называется дополнением к бивектору с компонентами Он совпадает с векторным произведением ахЬ. Эти понятия можно обобщить на пространство произвольного количества измерений, а также перейти от бивекторов к поливекторам. При этом выясняется, что векторное произведение существует как вектор лишь в трехмерном пространстве. Чтобы выяснить еще некоторые существенные свойства тензоров, рассмотрим применение косоугольных декартовых координат. [c.49]

Особое значение в нашей работе отводится тотальным (комплексным) бивекторам Ф, тервекторам Т и кватервекторам Q, которые по своей общности охватывают все разделы векторной геометрии и механики. Так, например, внутренняя составляющая 5 тотального бивектора Ф = S + ея определяет работу пространственных сил, а внешняя я — импульс сил и количество движений. Аналогично, внутренняя составляющая и тотального тервектора Г = ы + еш выражает определитель третьего порядка, а внешняя W — тройное векторное произведение. Здесь е — орт, тензор которого 6 = —1. [c.151]

Следовательно, операция полного умножения тензоров в про- странстве Тр имеет свойства скалярного произведения. Таким юбразом, пространство Тр мрждо рассматривать как векторное вклидово пространство размерности пр. [c.10]

V" - тензорный ранга п дифференциальный оператор У.Р.Гамильтона, V"=V0...0V (полное скалярное произведение V" на тензор ранга т при т п назьшается дивфгенцией л-го порядка этого тензора, тензорное произведение V" на тензор любого ранга назьшается градиентом л-го порядка этого тензора, векторное произведение V" на тензор ранга т при m in называется ротором или вихрем п-го порядка этого тензора) [c.9]

В выражениях (6), (7) V = д/дг — 1ф1дх — оператор набла h — единичный орт /—единичный тензор VX ), V-( V( ) означают соответственно векторное, скалярное и диадное произведения оператора на какой-либо объект. [c.101]

Предметом рассмотрения в механике и математической физике являются инвариантные величины они не зависят от выбора координатного базиса и определяются собственными свойствами изучаем010 объекта. Инварианты могут быть скалярами (энергия, работа, масса, температура), векторами (скорость, ускорение, сила), тензорами (тензор инерции в точке тела, тензоры деформаций и напряжений в сплошной среде), а также их функциями—диадное, скалярное и векторное произведения векторов, произведение тензора на вектор и т. д. [c.787]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...