Моды маятников

Определение 3.9.1. Математический маятник — это материальная точка, вынужденная двигаться по дуге неподвижной окружности в поле параллельных сил. Моду.ль и направление силы предполагаются постоянными. Направление сил параллельно плоскости окружности. [c.226]

Начало полярной системы координат поместим в центр упомянутой окружности. Тогда радиус-вектор математического маятника имеет постоянный моду.ль г. Пусть вектор е задает направление силы Г = Ре. Положение материальной точки на окружности будем задавать углом между радиусом-вектором точки и вектором е (рис. 3.9.9). [c.226]

Рис. 13. Нормальные моды двойного маятника.

Следовательно, энергия переходит из основной моды частотой и в первую моду частоты 2со. Через интервал времени 8/3 иа2 маятник колеблется в вертикальном положении. [c.324]

Пример 6. Простой сферический маятник. Этот простейший пример, к сожалению, не раскрывает всей сложности общего движения, определяемого уравнениями (43). Дело в том, что обе моды, соответствующие колебаниям относительно направлений х и у, имеют одну и ту же частоту ((0 = //) и в данном случае мы получаем более простой результат, следующий из уравнений (39) и (40) [c.32]

Пример 13. Биения между двумя нормальными модами колебаний двух слабо связанных одинаковых осцилляторов. Рассмотрим систему из двух одинаковых маятников, соединенных пружиной (рис. 1.14). Нормальные моды колебаний такой системы угадываются по аналогии со случаем продольных колебаний двух масс, рассмотренным в п. 1.4. Для моды 1 имеем В этом случае пружину можно не учитывать, так как возвращающая сила образуется [c.46]

Рис. 1.14. Связанные одинаковые маятники. а) Равновесие б) мода с меньшей частотой в) мода с большей частотой.

Для моды 2 колебаний г )д=—Рассмотрим левый маятник. Возвращающая сила, вызванная пружиной, равна 2К Фо. (Двойка появляется потому,что пружина сжата на величину 2г 5д.) Возвращающая сила, обусловленная силой тяжести, равна М =Мц > а11. Обе эти силы имеют одинаковый знак, поэтому полная возвращающая сила на единицу массы и на единицу смещения будет [c.46]

Мы хотим рассмотреть биения между двумя модами колебаний нашей системы. Что это значит Каждая мода — это гармоническое колебание заданной частоты. В общем случае движение маятника а будет суперпозицией двух мод [c.46]

Например, 1 д будет иметь вид, показанный на рис. 1.13, если частоты и амплитуды обеих мод примерно одинаковы. В этом случае движение маятника а будет представлять собой биения. (Как мы увидим, то же следует сказать и о маятнике Ь.) [c.46]

Чтобы понять, как возбудить обе моды, чтобы получить биения, описываемые выражениями (91), рассмотрим начальные условия в момент времени г =0. В соответствии с формулами (91) и (92) начальные смещения и скорости маятников равны [c.47]

Придумайте демпфирующий механизм ( трение ), который будет демпфировать только моду 1 связанных маятников (рис. 1.14). Придумайте другой механизм, который будет демпфировать только моду 2. Обратите внимание на то, что трение в подвесе демпфирует обе моды. То же можно сказать про сопротивление воздуха. (См. дополнение I.) [c.51]

В действительности наша система имеет четыре степени свободы. Кроме двух продольных степеней свободы, соответствующих мода.м, изученным выше, существуют две поперечные моды, и им соответствуют колебания маятников, перпендикулярные оси пружины . Возбудите эти моды и измерьте их частоты. Сравните частоты продольных и поперечных мод. Объясните результат. [c.51]

Решите эти уравнения для двух мод способом нормальных координат. Покажите, что it>i=(Aio a+Alj, ,)/(Aia+Aib) и 1з2=Ч а —Ч" являются нормальными координатами. Найдите частоты и конфигурации мод. Каков физический смысл координат и iJ)j Найдите суперпозицию двух мод со следующими начальными условиями при i=0 оба маятника имеют нулевую скорость маятник а имеет амплитуду А, и амплитуда маятника Ь равна нулю. Пусть равно полной энергии, которую имеет маятник а в момент (=0. Найдите выражения для а(0 и ь(0- Предположим, что связь слабая. Будет ли энергия маятника а полностью передаваться маятнику Ь в течение цикла биений Возможно ли, что энергия передается полностью, если первоначально вся энергия была у легкого маятника, и не передается полностью в противоположном случае [c.55]

Из рис. 2.18 следует, что самая низкая мода для системы, описываемой равенствами (91) или (92),— это мода с к=0, т. е. с длиной волны, равной бесконечности. В этом случае все маятники будут колебаться с частотой (л =g l и одинаковой амплитудой и фазой. В настоящем примере самая низкая мода соответствует колебаниям плазмы с частотой (Лр, что видно из уравнения (93), если положить =0. Мы рассмотрим эту моду и выведем уравнение (94). [c.92]

Вынужденные колебания системы из многих связанных маятников. Положим, что вместо двух маятников, мы имеем целую группу таких связанных маятников, расположенных вдоль прямой. Если к системе приложить внешнюю гармоническую силу и менять ее частоту так медленно, чтобы все время существовал установившийся режим, то мы будем наблюдать резонанс всякий раз, когда частота внешнего воздействия будет равна частоте одной из мод. (Конечно, внешняя сила может быть приложена таким образом, что некоторые моды, как было замечено выше, не возбудятся. Тогда на частотах, соответствующих этим модам, резонанса не будет.) Точно так же, как в случае системы с двумя степенями свободы, установившаяся амплитуда каждого движущегося элемента будет суперпозицией вкладов от каждой из мод системы. [c.121]

Чтобы проследить изменение резонансных частот и соответственно волновых чисел, можно построить график дисперсионного соотношения (которое не зависит от числа степеней свободы и граничных условий) и на графике отложить точки, соответствующие резонансам рассматриваемой системы. Дисперсионное соотношение для связанных маятников было показано на рис. 2.18. Рис. 3.5 представляет собой тот же график, на котором показаны две точки, соответствующие модам, определенным из граничных условий, для рассмотренной системы из двух маятников. [c.121]

Две точки соответствуют двум резонансам системы двух связанных маятников. Резонансы в аналогичных системах из большего числа связанных маятников будут представлены точками на той же кривой. Число точек равно числу резонансов, которое в свою очередь равно числу мод свободных колебаний. [c.121]

Пример 3. Два связанных маятника как механический фильтр. Рассмотрим в качестве примера два связанных маятника (рис. 3.3). Предположим, что на вход системы (маятника) действуют с частотой большей, чем частота соз, которая соответствует моде 2. Маятник а непосредственно связан с внешней силой, поэтому для этого маятника возвращающая сила в установившемся рел име имеет некоторый вклад от внешней силы. Однако для маятника Ь это уже несправедливо. Его возвращающая сила образуется только натяжением пружины и силой тяжести, как и в случае свободных колебаний. При свободных колебаниях наибольшая возмущающая сила на единицу смещения, которую пружина и сила тяжести могли обеспечить, соответствовала конфигурации самой высокой моды. В нашем случае это соответствует маятникам, движущимся в противоположные стороны. Единственный способ для маятника Ь иметь то же, что у маятника а, отношение возвращающей силы к массе и смещению — это иметь меньшее смещение [В < Л . Чем больше со по сравнению с соа, тем меньше должно быть соответствующее [c.122]

Рис. 3.6. Механический фильтр. Частота вынуждающей силы больше частоты самой высокой моды. Относительные фазы маятников совпадают с фазами этой моды. Амплитуда на выходе (маятник с) меньше амплитуды на входе (маятник а).

Аналогичная ситуация возникнет для системы из нескольких связанных маятников, если частота внешней силы, приложенной к одному концу системы, превысит частоту самой высокой моды. Конфигурация в установившемся режиме будет соответствовать высшей моде, т. е. каждый маятник будет двигаться с фазой, противоположной фазе своих соседей. При этом для каждого маятника будет обеспечено самое большое значение возвращающей силы, приходящейся на единицу смещения и на единицу массы. Равенство со для всех маятников приводит к тому, что каждый следующий маятник (от входа) должен иметь меньшее смещение. Таким образом амплитуда смещения каждого следующего маятника будет уменьшаться по мере удаления от конца, к которому приложена внешняя сила. [c.123]

Срезание низких частот. Посмотрим, что произойдет, если на вход системы действовать с частотой меньшей, чем самая малая собственная частота (т. е. частота, соответствующая первой моде свободных колебаний). Покажем, что если частота на входе много меньше этой частоты, то амплитуда на выходе (т. е. амплитуда последнего от входа маятника) много меньше входной амплитуды. Таким образом, частота самой низкой моды также является граничной частотой. [c.123]

Рассмотрим нашу систему из двух связанных маятников (рис.3.3), При конфигурации, соответствующей первой моде, все маятники колеблются в фазе и с одинаковой амплитудой. Пружина не деформирована, и возвращающая сила создается только силой тяжести, [c.123]

Такой же результат будет и в случае системы из трех или более связанных маятников, находящихся под внешним воздействием, частота которого меньше частоты самой низкой моды. Относительные фазы колебаний маятников будут те же, что и в первой моде, а амплитуда будет уменьшаться с удалением от входа системы. Это показано на рис. 3.7. Лучший способ понять рис. 3.7 — это считать, что частота внешней силы равна нулю. Если сила постоянна, то маятники це будут двигаться, и интуиция немедленно подсказывает нам, что расположение маятников получится таким же, как на рис. 3.7. [c.124]

Терминология. Диапазон частот, заключенный между нижней и верхней граничными частотами, называется полосой пропускания фильтра. Для частот внешнего воздействия, находящихся в пределах полосы пропускания, амплитуда на выходе сравнима с амплитудой на входе. Для частот внешнего воздействия вне полосы пропускания амплитуда на выходе меньше амплитуды на входе. Поэтому такая система называется полосовым фильтром. Если граничная частота со стороны низких частот равна нулю (т. е. если самая низкая мода имеет нулевую частоту), то система называется фильтром низких частот. Например, если в системе связанных маятников нити подвеса гирь сделать бесконечно длинными, то можно считать, что положение маятника всегда вертикально и возвращающей силы не возникает. (Действие нитей подвеса будет эквивалент-124 [c.124]

Если частота самой низкой моды отлична от нуля, а частота самой высокой моды бесконечно велика, то система называется фильтром высоких частот. Например, если в системе связанных маятников отношение К М стремится к бесконечности, то мы получим фильтр высоких частот. Пружины в этом случае настолько жесткие (или массы настолько малы), что они всегда обеспечивают значительную величину возвраш,ающей силы на единицу массы и единицу смещения, без постепенного уменьшения амплитуд, независимо от того, сколь велика частота вынуждающей силы. [c.125]

Представляем читателю найти уравнение движения и определить нормальные координаты и моды (задача 3.29). Приводим конечный результат, написанный по аналогии со связанными маятниками [c.127]

Связанные маятники как фильтр высоких частот. Уравнение (74) дает общую форму экспоненциальной волны. Частота представляет собой граничную частоту для низких частот. Этого можно было ожидать, поскольку для простой системы из двух маятников было получено такое же выражение. На частоте самой низкой моды все маятники колеблются в фазе друг с другом и возвращающая сила образуется только за счет силы тяжести. Пружины не сжаты и не растянуты. Длина волны бесконечна , т. е. х равно нулю. Если к системе приложена внешняя сила с частотой, меньшей граничной частоты, то в системе не могут поддерживаться синусоидальные пространственные соотношения для относительных амплитуд колеблющихся грузов. В этом случае относительные амплитуды маятников будут экспоненциально зависеть от расстояния, как это следует из решения (73). Таким образом, система будет вести себя как высокочастотный фильтр. (В действительности она будет полосовым фильтром, но, пользуясь непрерывным приближением, мы не можем изучить отклик системы на колебания больших частот, в которых участвуют высокие моды с их зигзагообразной конфигурацией.) [c.133]

Частота колебаний плазмы — это частота самой низкой моды колебаний свободных электронов. Мы получили в п. 2.4 ( юрмулу (2.99). Типичные значения частоты колебаний плазмы (=со ,/2л) в дневное время лежат между Ю и 30 Мгц. Пусть к одному концу ионосферы приложена сила , создаваемая некоторой радиостанцией, работающей на типичных широковещательных частотах амплитудной модуляции порядка v=1000 кгц. В этом случае v< v , и ионосфера ведет себя как реактивная среда. Электромагнитные волны экспоненциально затухают, аналогично тому, что происходило в случае связанных маятников (см. рис. 3.11). При этом над ионосферой не совершается никакой работы, так как скорости каждого электрона сдвинуты на 90° по фазе по отношению к окружающему их электрическому полю. В случае системы маятников (см. рис. 3.11) средняя энергия, сообщаемая системе внешней силой, также равна нулю (затуханием пренебрегаем). Энергия, которая сообщается маятнику, возвращается им обратно в течение цикла. Несколько иначе обстоит дело в случае радиостанции и ионосферы. Станция получает обратно очень малую часть переданной в ионосферу энергии. Ионосфера не поглощает энергию, но волны отражаются к Земле, захватывая большой район и не попадая в передатчик. Такое отражение волн от ионосферы обеспечивает техническую возможность передачи радиоволн на большие расстояния к приемникам, находящимся вне поля зрения из-за кривизны поверхности Земли. Все это справедливо, если со меньше граничной частоты со ,. [c.136]

В квантовой физике волны де Бройля для электронов в атоме ведут в себя в определенном смысле подобно ограниченным модам рассматриваемой системы маятников. Такие состояния электронов называются стационарными состояниями. Пример квантовой системы со стационарными состояниями (их называют еще связанными состояниями электрона) рассмотрен в дополнении (см. Д.З). [c.139]

Опыт. Пилообразные стоячие волны в мелкой воде. Такие волны были рассмотрены в задаче 2.31. Здесь мы хотим узнать, как возбудить самую низкую пилообразную моду в сосуде с водой. Самая низкая мода — это мода омывания она состоит только из половинки зубца. Поверхность воды плоская, и длина сосуда равна половине длины волны. Следующая пилообразная мода будет иметь один полный зубец, т. е. длина сосуда будет равна одной длине волны (первой фурье-компоненты пилообразного зубца). Эта мода не возбуждается, когда вы толкаете сосуд туда и обратно. Объясните, почему. Третья мода состоит из 1,5 зубца, т. е. из трех плоских участков. Таким образом, длина сосуда соответствует трем половинам длины волны. Попробуйте возбудить эту моду, слегка потряхивая с( 1 уд. Убедившись в том, что эта мода возбуждена, наблюдайте свободные коле-Г.шия. После некоторой практики вы сможете легко возбуждать и опознавать 31 у моду. Приведем более надежный способ. Достаньте метроном или сделайте I о сами, воспользовавшись маятником, который производит звук, ударяя по бумаге или еще чему-либо. Установив метроном на определенную частоту, покачивайте сосуд в такт с метрономом до тех пор, пока не получите установившееся состояние. Меняйте частоту метронома, чтобы найти резонанс. Вблизи резонанса вы можете наблюдать переходные биения. Они не только красивы по ним можно судить, как далека система от резонанса Вычислите ожидаемую резонансную частоту, используя соотношение Подсчитайте эту частоту заранее, [c.147]

Качественное объяснение граничной частоты. Мы знаем, что для любой системы (например, для системы связанных маятников) частота первой моды свободных колебаний является также самой низкой частотой синусоидальных волн, когда система находится под действием внешней силы. Таким образом, частота первой моды является также граничной частотой вынужденных колебаний. Для частот внешнего воздействия, меньших этой частоты, волны экспоненциальны. Точно на частоте порога длина волны синусоидальных волн бесконечна (в этом случае все маятники колеблются в фазе). Таким образом, если мы хотим узнать дисперсионное соотношение для граничной частоты, нам следует положить =0. Частота, полученная из дисперсионного соотношения при й=0, и будет граничной частотой. Эту частоту будем обозначать (й,,р. В нашем примере коэффициент преломления равен [см. уравнение (78)] [c.176]

При изучении мод и стоячих волн мы узнали, что непрерывную среду можно характеризовать двумя параметрами возвращающей силой и инерцией . Для непрерывной струны возвращающая сила определяется натяжением То в равновесном состоянии, а инерция определяется линейной плотностью ро- У передающей линии соответствующими параметрами являются (С/а) т. е. величина, обратная емкости на единицу длины, и Ыа — индуктивность на единицу длины. Для продольных волн в струне параметр, характеризующий возвращающую силу,— это Ка, а параметр, определяющий инерцию, равен УЙ/а=ро. Для звуковых волн такими параметрами соответственно являются уро и объемная плотность ро. Во всех случаях моды стоячих волн ведут себя аналогично простому гармоническому осциллятору. (Для таких систем, как связанные маятники или широкополосный фильтр, нам необходим еще один параметр, а именно граничная частота.) [c.181]

Три частицы с различными массами подвешены на невесомой нерастяжиыой нити, один из концов которой закреплен. Дока.жите, что если периоды трех нормальных мод соппадают с периодами простых маятников длиной Xi, Лг, Хз, то сумма .i + va + Xg равна расстоянию от точки подвеса до самой нижией частицы. [c.95]

В колебат. системах с неск. степенями свободы (напр., в системе из двух связанных контуров, маятников и др.) возможны нормальные колебания (моды) с разл. частотами о)1, а) . Поэтому колебания анергии, запасённой в к.-л. реактивном элементе, содержат не только составляющие с частотами 2со1, 2й>2, но и с частотами, равными суммам и разностям разл. нормальных частот. Соответственно нарастание колебаний здесь возможно как при выполнении условия (1) для любой из нормальных частот, так и, напр., при изменении параметра с суммарной частотой [c.542]

Рис. 1.15. Перемещение энергии между двумя слабо связанными одинаковыми маятниками Энергия переходит отакйиотйкос частотой Vi—V2I биений обеих мод.

Опыт. Связанные маятники. Достаньте пружину и две банки консервов. Используйте банки как грузы маятников, подвесив их на веревках длиной 50 см. Соедините банки с по иощью пружины . Измерьте частоты двух продольных мод и частоту обмена энергией. (Начните наблюдение из положения, когда один маятник отклонен, а другой находится в положении равновесия.) Равна ли эта частота, измеренная вами, частоте биений VI—Уг Зная частоту самой низкой моды, частоту биений и число используемых витков, вычислите величину, обратную жесткости пружины на один виток, т. е. величину К /а. [c.51]

В п. 3.2 будут рассмотрены свободные колебания одномерного затухающего осциллятора. Затем мы изучим переходную характеристику такого осциллятора, выведенного из положения равновесия силой, изменяющейся по гардюническому закону. Мы обнаружим интересное явление переходных биений между внешней силой и переходным процессом свободных колебаний. Затем мы перейдем к установившимся колебаниям, которые совершает система после окончания переходного процесса. Мы рассмотрим также резонансную характеристику осциллятора, находящегося под действием внешней силы при медленном изменении ее частоты. В п. 3.3 мы будем изучать системы с двумя степенями свободы и обнаружим, что каждая мода свободных колебаний вносит свой вклад в вынужденное движение данного движущегося элемента. В частности, будет выведено очень простое соотношение, которое покажет, что движение данного элемента является суперпозицией независимых вкладов от каждой моды. В п. 3.4 мы обнаружим замечательные свойства системы с несколькими степенями свободы, находящейся под воздействием внешней силы, частота которой либо выше, либо ниже частоты самой низкой моды системы. В п. 3.5 мы обратимся к системе из многих связанных маятников, находящейся под внешним воздействием, и откроем существование экспоненциальных волн. [c.103]

Ограниченные в пространстве моды. Из рис. 3.12, в следует, что реактивная (поглощающая) область последовательности маятников (она лежит между г=L и г=оо) действует подобно мягкой стенке . Маятник, расположенный в точке г=L, не закреплен, но, несмотря на это, на расстоянии нескольких глубин проникновения, за г=1, смещение маятников пренебрежимо мало. Этот результат позволяет предположить, что, ограничив дисперсивную область с обеих сторон реактивными областями, мы получим в дисперсивной области почти такие же моды (свободных колебаний), что и в последовательности маятников, ограниченной двумя стенками. Такое предположение верно. Назовем эти моды ограниченными . Они возникают на частотах, примерно равных резонансным частотам системы, показанной на рис. 3.12. [c.139]

Нити, на которых подвешены грузы, можно наматывать на горизонтально расположенную палку. Это дает возлюжность менять частоты маятников. Палки могут быть закреплены на столе, книжном шкафу или другим образом. Нужно иметь возможность менять длину веревок в пределах 30-Н70 см. Меняя длину нитей, вы меняете (о и таким образом, что их разность остается постоянной. Поэтому изменение длины нити при постоянной частоте возмущающей силы почти эквивалентно изменению частоты возмущающего воздействия при постоянных 0 2 и 0)2. Для данных длин нитей измерьте частоты обеих мод (при отсоединенном жгуте). Затем подсоедините маятники к диску, вращающемуся со скоростью 45 об мин, и возбудите продольные колебания пружины . Легко заметить, что продольные и поперечные моды имеют одинаковые наборы частот. Это может создать помехи для опыта, особенно вблизи резонанса, но наблюдать такие помехи поучительно. Имеется пять представляющих особый интерес частот. Это две резонансные частоты, частота, лежащая посередине между ними, и области частот значительно больших, чем резонансные, и значительно меньших. Вспомните характеристики фильтра выше и ниже граничной частоты. Изучите и поймите фазовые соотношения. При отсутствии затухания переходные биения могут длиться очень долго. Лучше всего внести затухание, заставив нити тереться обо что-либо. Вероятно, наблюдение резонансных кривых потребует много времени. (Можете это не делать, если вы выполнили опыт 3.7.) Вместо этого измерьте времена затухания для обеих мод и определите ожидаемую ширину резонанса Г, используя соотношение Д т=1. Совпадает ли ваш результат с ситуацией, разобранной на рис. 3.4 Справедливы ли здесь уравнения для механического фильтра (п. 3.4) [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...