Структура евклидова

В результате пространство арифметических векторов получает структуру евклидова векторного пространства. [c.15]

Отсюда в случае а = Ь получается, что а = л/(а,а). Таким образом, пространство 8 получает структуру евклидова векторного пространства. [c.16]

Отсюда в случае а — Ь получается, что а = л/(а,а). В результате рассматриваемое пространство геометрических векторов приобретает структуру евклидова векторного пространства. [c.17]

Конфигурационное пространство системы n материальных точек в Е есть прямое произведение п евклидовых пространств Езп = Е X. . . X Е - Оно имеет само структуру евклидова пространства. Обозначим через г = (г ,. . ., г ) радиус-вектор точки конфигурационного пространства, а через F = Fj ,. . ., F ) — вектор силы. Предыдущую теорему можно записать в виде [c.47]

Метрика и ориентация многообразия М снабжают касательное-пространство к М ъ каждой точке структурой евклидова ориентированного трехмерного пространства. В смысле этой структуры мы будем говорить о скалярных, векторных и смешанных произведениях. [c.157]

Простые особенности и группы Вейля. Пусть f — эллиптическая особенность (п. 3.5). Тогда индекс пересечения (со знаком минус) определяет структуру евклидова пространства на (число переменных л=3(4)), группа мо- [c.136]

Мультифрактальный формализм [4, 24, 25] связан следующим анализом. Рассмотрим некоторый объект с неупорядоченной структурой, "погруженный" в евклидово пространство. Разобьем это пространство на N промежуточных ячеек размером i=l,. .. N, удовлетворяющих условию 1 < I, где / - характерный размер. Такое разбиение дает возможность приписать каждой ячейке меру ("вес") Pi в зависимости от природы изучаемого объекта. Так, например, если речь идет об изучении фрактального агрегата общей массы М, то "весом" может служить доля массы в ячейке pj = —, где т. — масса i-й ячейки. Разбиение [c.110]

С другой стороны, наступление момента конкуренции процессов Z)iA 4-сборки можно интерпретировать как приближение в системе к порогу перколяции в отношении напряженности и взаимодействия локальных силовых полей от сформированных фрактальных кластеров. Достижение же критического значения концентрации фрактальных кластеров конденсированной фазы обусловливает перколяционную структуру электрических взаимодействий между ними. Для систем, погруженных в пространство с евклидовой размерностью Е=Ъ фрактальная размерность частиц, соответствующая порогу перколяции, Df 2,5 [35]. В условиях стационарного воздействия на систему отрицательного температурного градиента (охлаждения системы внешней средой) описанное состояние системы катализирует таким образом дальнейший процесс агрегации по ССЛ-механизму. Подобным образом развивается волнообразный цикличный характер дальнейшей цепочки фазовых переходов второго рода (рис. 3.13), обусловливающий наиболее эффективный путь диссипации энергии посредством структурообразования по иерархическому принципу в открытой неравновесной системе охлаждаемого расплава. [c.135]

Построенная нами картина пространства конфигураций нуждается в дальнейших уточнениях. Мы основывались в своих рассуждениях на аналитической геометрии п-мер-иого евклидова пространства и соответственно считали п обобщенных координат механической системы прямоугольными координатами в этом пространстве. Если же заменить аналитическую геометрию дифференциальной, как это будет сделано в п. 5 этой главы, то можно получить картину, гораздо лучше отображающую геометрическую структуру пространства конфигураций. Однако и наша первая схема может быть весьма полезной. Продемонстрируем это на следующем примере. [c.35]

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

Форма записи линейного элемента (1.5.11) показывает, что ЗЛ -мерное пространство конфигураций N свободных частиц имеет евклидову структуру, а величины [c.44]

Отметим, что если в окрестности точки qi = q2 =. .. = = О координатного пространства i, 25 5 Qn ввести евклидову структуру при помощи удвоенной кинетической энергии 2Т, т. е. принять за скалярное произведение векторов и и v величину (Аи v), то преобразование (12) можно выбрать ортогональным в смысле этой евклидовой структуры. Это означает, что, если Uj (j = 1, 2,. .., n) —j-й столбец матрицы и, т. е. замена переменных (12) имеет вид [c.503]

Ньютоновская космология основана на концепции абсолютного пространства, евклидова по своей структуре, абсолютного времени и неподвижной в пространстве системы отсчета. Оставаясь в рамках этих понятий, можно в качестве системы отсчета [c.205]

Пространство 2п измерений, точки которого определяются 2п координатами g-i, q2, ., 5 nt Pi Pii > Pn называется фазовым пространством] движение механической системы можно рассматривать как движение изображающей точки в фазовом пространстве. Структуру фазового пространства можно представить как 2 г-мерное евклидово пространство с прямоугольными координатами q , q , , qn-, Pi, Pz, Pn- [c.270]

В формализме Лагранжа рассматривается пространство конфигураций переменных q , в гамильтоновом же формализме механические движения и движения изображающей точки представляются в фазовом пространстве 2п переменных q и р,. В то время как пространство конфигураций имеет геометрию риманова типа, фазовое пространство не имеет определенной геометрической структуры и только для удобства вычислений можно предположить, что ql и р,- образуют прямоугольные координаты 2п-мерного евклидова пространства. [c.878]

Евклидова структура в индуцирует положительно определенное скалярное произведение векторов каждого касательного пространства Т Ш). Скалярное произведение векторов [c.164]

В настоящее время достигнуто понимание того, что гносеологической базой системы знаний является соединение принципа материального единства мира с принципом развития. Эта идея была заложена еще в 1937—1938 гг. В.И. Вернадским [1]. Отводя определяющую роль эволюционным процессам в биосфере и их необратимости, а также связи с особой геометрической структурой пространства, В.И. Вернадский писал Мы сейчас имеем право допустить в пространстве, в котором мы живем, проявление геометрических свойств, отвечающих всем трем формам геометрии — Евклида, Лобачевского и Римана. Правильно ли будет это заключение, логически вполне неоспоримое, покажет дальнейшее исследование . Это неоспоримое, но не сразу понятое утверждение получило подтверждение относительно недавно, с развитием двух взаимосвязанных между собой направлений синергетики как теории самоорганизующихся структур и представлений о фракталах как о самоподобных структурах, которые не могут быть описаны в рамках евклидовой геометрии. [c.6]

Евклидово пространство. Структура многообразия определяется заданием расстояния между парой точек. Пусть Хп и + dxn — ко- [c.10]

Евклидова структура в линейном пространстве Я" задается скалярным произведением двух векторов. Конкретно скалярное произведение можно задать с помощью какой-нибудь положительно определенной билинейной симметрической формы, устанавливающей соответствие между парой векторов и некоторым числом. Другими словами, скалярное произведение Г1 гз гьГ2 Я" — это операция, имеющая свойства [c.15]

Начало этому бьию положено Б. Мандельбротом [9J, развившим концепцию фракталов как самоподобных объектов с дробной (нецелой) размерностью, обладающих свойством маспггабной инвариантности. Подходы макротермо динамики, синергетики, как теории самоорганизующихся структур, и представления о фракталах, как самоподобных структур, количественно описывающих все типы структур и объектов, отличных от геометрии евклидова пространства, являются универсальными. Это позволяет решать [c.4]

Фракталами называют самоподобные объекты, инвариантные относительно локальных дилатаций, т.е. объекты, которые при наблюдении при различных увеличениях повторяют один и тот же (самоподобный) рисунок. Фракталы обладают также свойством универсальности. Слово "универсальный" означает "всеобъемлющий", а самоподобный означает подобный сам себе (подобно матрешкам, вложенным друг в друга). Понятия универсальность и самоподобие с развитием синергетики и теории фрактальных структур получили новую жизнь, так как принципы синергетики и фрактальной геометрии объединяют все науки. Универсальность фракталов заключается в том, что они инвариантны к природе объекта - физической, химической, биологической или какой-либо другой. Свойство универсальности фрактальных структуф позволяет использовать фрактальную размерность как единую количественную меру разупорядоченности структуры различной природы. В материаловедении традиционно используется евклидова размерность d, позволяющая описывать точечные дефекты размерностью d=0, отрезки прямых линий - d=l, плоских элементов - d=2, объемных - d=3. Однако, природа изобилует объектами с дробной размерностью, т.е. не отвечающей ни одной из указанных значений. Их структура может быть количественно оценена фрактальной размерностью, которая в силу того, что объект разрежен, всегда больше топологической размерности. [c.77]

Б.Б. Мандельброт [3] ввел понятие не только фрактала, но и фрактальной геометрии, что привело к интенсивным исследованиям объектов, отличающихся от евклидовых структур, а также породило развитие компьютерной фрактальной фафики. В [5] написано следующее "Наше ощущение прекрасного возникает под влиянием гармонии порядка и беспорядка в природных объектах [c.78]

Рисунок 2.13 - Схематическое изображение метода определения фрактальной (поклеточной) размерности границ зерен по фотографии. N=36 Границу зерна рассматривали как топологически одномерную линию, хотя в действительности она является двухмерной плоскостью в трехмерном евклидовом пространстве твердого тела. Значение фрактальной размерности границ зерен получили на образцах с гладкими и извилистыми фаницами зерен, Их структуру изменили применением различных режимов термообработки. Улучшение характеристик ползучести связывали с разностью AD фрактальной размерности фаниц для двух типов - изрезанных и гладких. Было установлено, что увеличение сгепени фрактальности границ повышает долговечность т сплава. Аналогичные результаты были получены и на других сплавах. В таблице 2.1 приведены значения D для двух тигюн i-раниц изученных сталей и разность AD.

В последние годы для анализа сложной поверхности статического и усталостного разрушения, наряду с обычной фрактографией, все шире используются методы фрактальной и мультифрактальной параметризации. Дело в том, что большинство сложных объектов и структур в природе обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, или самоподобие. Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эги повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные фюрмы имтцнее и точнее, чем евклидова геометрия. По определению Б. Мандельброта называется [c.66]

Каскад п-кратных увеличений периода. В двупараметрических системах встречаются столь же неустранимым образом каскады утроений, учетверений, упятерений и т. д. В этих случаях знаменатель геометрической прогрессии, определяющей последовательность бифуркационных значений параметров, — комплексное число, так что бифуркационные значения ложатся асимптотически на логарифмическую спираль (в подходящей евклидовой структуре плоскости параметров). Для утроений это число равно (4,600. ..+i8,981 Вычисления показывают, что для каскада бифуркаций с прохождением пары мультипликаторов через резонанс exp(d=2nip/q) универсальный знаменатель приблизительно равен С р, q) q . Тем самым, с ростом кратности увеличения периода события разворачиваются быстрее [57 56, 57, 58]. [c.81]

Сделанное Декартом открытие, что геометрия допускает аналитическую трактовку, явилось существенной вехой в истории развития этой науки. Однако геометрия Декарта предполагала евклидову структуру пространства. Для введения прямоугольной системы координат необходимо принять постулаты конгруентности и постулат о параллельных прямых. [c.39]

Еще более серьезным обстоятельством была мысль Эйнштейна о том, что при наличии гравитации не может соблюдаться принцип постоянства скорости света. Вследствие этого геометрическая структура Вселенной не могла бы быть типа пространства Минковского. Ее следовало обобщить таким образом, чтобы эта структура была пространством Минковского лишь в малом, а при конечных размерах пространство приобретало бы кривизну . Это бы означало, что геометрия мира, оставаясь метрической, приобрела вместо четырехмерной евклидовой четырехмерную римаиову струк- [c.333]

Принципиально иная ситуация с К. г. имеет место в общей теории относительности (ОТО) ввиду того, что пространство-время в aToii теории может обладать сложной тонологич. структурой. В решениях ОТО К. г. могут сохраняться даже при макс. непрерывном расширении любой частичной поверхности Коши, Такие К. г. являются уже свойством пространства-времени в целом. Их существование однозначно связано с отсутствием глобальной причинной предсказуемости. Обычно, говоря о К. г. в каком-нибудь искривлённом пространстве-времени, имеют в виду именно эти К. г. В частности, решения ОТО, описывающие идеализированные вращающиеся или электрически заряженные чёрные дыры, обладают К. г., определённым по отношению ко всему трёхмерному асимптотически евклидову пространству, в к-ром находится чёрная дыра при этом К. г. всегда находится под горизонтом событий чёрной дыры и, т. о., не виден внеш. наблюдателю. Для этих решений нельзя также построить глобальную поверхность Коши. [c.483]

Напр., стандартная структура М. на сфере (согласованная со структурой объемлющего евклидова пространства IR ) задаётся атласом из 3 карт сферич. координатами 0, <р вне полюсов, координатами (ж, у в верх, полусфере и координатами ж, у] в ниж. полусфере. При этом сфера оказывается (бесконечно) дифференцируемым М. Структуру М. на можно определить эквивалентным атласом из 2 карг ж, у] в верх, полусфере и стереографич. координаты 5, ц на всей сфере, за исключением северного полюса. Эквивалентность 2 атласов означает, что ф-ции перехода между любыми 2 картами обоих атласов ди ференцируемы, [c.162]

Структура этого выражения показывает, что величины Rrsq представляют компоненты тензора четвертого ранга, трижды ковариантные по индексам srq и контравариантные по индексу t. Это — тензор кривизны Римана — Кристоффеля его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. Если последние заданы так, что тензор Римана — Кристоффеля оказывается нулевым, то уравнения (V. 6.6) интегрируемы, а пространство с линейным элементом (V. 6.2)—евклидово Ez. [c.888]

В последние годы для анализа структурного состояния и сложной поверхности статического и усталостного разрушения все шире используются методы фрактальной и мультифракталь-ной параметризации [41, 78-85]. Дело в том, что большинство сложных объектов и структур в природе обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, как самоподобие. Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные формы изящнее и точнее, чем евклидова геометрия. По определению Б. Мандельброта фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому и друг другу [86]. Это простое определение фрактала не является строгим и полным. Регулярные фракталы - это прежде всего язык геометрических образов (моделей). Они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Независимо от природы и мето- [c.140]

Из всех физических теорий термодинамика, по-видимому, лучше всех подходит для подобного аксиоматического построения, идеальным примером которого является евклидова геометрия. Действительно, даже в классической физике термодинамика занимает особое положение, выделяясь своим строго логическим построением, опирающимся на несколько фундаментальных законов. Эти законы являются абстракцией нашего опыта и принимаются за аксиомы. По своей простой структуре термодиналшка напоминает геометрию. [c.90]

Пусть п 3 и N имеет структуру обычного евклидова пространства. Тогда поле и можно отождествить с векторным полем ъ N, и rotti будет, очевидно, одним из вихревых полей. Согласно теореме 1, в этом случае суш ествует такое векторное поле w, задаваемое уравнением (2.8), что rot и = aw. [c.70]

В теории упругости пользуются теоретической, идеализированной и упрощенной, моделью твердого тела в виде <шате-риального континуума или <аматериальной сплошной среды . Пренебрегая молекулярной структурой тела, а стало быть, опуская ряд реальных свойств твердого тела, мы принимаем модель непрерывного размещения материи в пространстве. Размазывая атомную и молекулярную структуру тела, мы рассматриваем его как трехмерное евклидово пространство, точки которого совпадают с частицами теда. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...