Топологическая структура динамической системы

В настоящей книге в основном рассматриваются динамические системы, имеющие локальную топологическую структуру во всех точках. Так как в точках, отличных от состояний равновесия, локальная топологическая структура всегда существует, причем одна н та же, то, очевидно, системами, имеющими локальную топологическую структуру, являются системы, у которых состояния равновесия имеют локальную топологическую структуру. [c.132]

Как уже было сказано во введении, вопрос о том, стремятся ли траектории системы к состоянию равновесия в определенных направлениях и в каких именно, выходит за рамки чисто топологических рассмотрений динамической системы. Однако знание указанных направлений позволяет представить более конкретно характер расположения траекторий вблизи состояния равновесия. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем (см. главу IX), нахождение направлений, в которых траектории могут стремиться к состоянию равновесия в случае сложного состояния равновесия (для которого А = 0), является одной из составных частей метода исследования его топологической структуры. [c.183]

Определение. Значения е, для которых о(е)б5 (Л1), называются бифуркационными, а изменение топологической структуры разбиения фазового пространства на траектории динамической системы, порожденной векторным полем w(e), при переходе через бифуркационное значение г, называется бифуркацией. [c.87]

О п р е д с л е и и с V. Мы будем говорить, что разбиения на траектории, определенные двумя динамическими системами (А,) и (Аг), имеют соответственно в областях G и Со одинаковую пли тождественную топологическую или качественную) структуру, если существует отображение Т области С на область Ст1, удовлетворяющее следующим требованиям. [c.125]

Вместо ТОГО, чтобы говорить разбиения на траектории, определенные динамическими системами (Aj) и (Ag) соответственно в областях G и Gn, имеют одинаковую топологическую структуру мы будем говорить короче динамические системы (Aj) и (А2) имеют соответственно в областях i , и 2 одинаковую топологическую структуру . Мы будем также часто для краткости говорить динамические системы (Aj) и (А2) имеют одинаковую топологическую структуру либо топологические структуры разбиения на траектории областей 0 и G2 одинаковы . При этом подразумевается, что в первом случае известно, о каких областях, а во втором—о каких системах идет речь. [c.126]

Если совокупность некоторых свойств разбиения на траектории, заданного динамической системой, такова, что две динамические системы, каждая из которых обладает этими свойствами, имеют одинаковую топологическую структуру, то такую совокупность будем называть совокупностью определяющих свойств или полной системой топологических инвариантов. [c.129]

Полным качественным исследованием динамической системы является установление топологической структуры разбиения на траектории, определенного этой системой. [c.129]

Последняя формулировка имеет весьма общий и неопределенный характер. Естественно поэтому постараться конкретизировать, в чем заключается задача установления топологической структуры разбиения на траектории, заданного дина.мической системой. Сделать это в общем виде для всевозможных динамических систем не представляется возможным. Однако если ограничиться рассмотрением некоторых более узких классов динамических систем, то в понятие установления топологической структуры можно внести точный и конкретный смысл. [c.129]

Другой аспект качественного исследования разбиения на траектории в целом заключается в отыскании эффективных приемов илп методов качественного исследования, т. е. эффективных методов определения топологической структуры разбиения или тех и других топологически инвариантных свойств его при заданных конкретных правых частях динамической системы ). [c.133]

Выделение особых траекторий и установление возможного характера ячеек позволяет получить весьма полное представление о возможном характере разбиения на траектории. При этом вносится известная ясность в вопрос о том, какие из траекторий динамической системы должны играть основную роль при установлении топологической структуры разбиения на траектории. [c.257]

В главе XI будет показано, что схема динамической системы определяет топологическую структуру разбиения на траектории полностью, т. е. если у двух динамических систем схемы одинаковы, то у них одинакова и топологическая структура разбиении иа траектории. [c.315]

Настоящая глава непосредственно примыкает по своему содержанию к главе VHI. Она посвящена исследованию свойств со- и а-предельных континуумов, а также континуумов, являющихся граничными для ячеек, заполненных замкнутыми траекториями, и затем описанию схем таких континуумов. Кроме того, в настоящей главе рассматривается также схема границы области G в предположении, что эта граница нормальна. Полные схемы предельных континуумов и схема границы области являются наряду с полными схемами состояний равновесия основными элементами того описания расположения особых траекторий (с указанием среди них предельных) — схемы динамической системы , которое, как мы увидим в следующей главе, полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. [c.411]

Математическое определение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории и качественного исследования динамической системы. Для того чтобы привести соответствующие математические определения, напомним прежде всего использующееся при этом понятие топологического отображения плоскости в себя (или в другую плоскость) или области в себя (или в другую оол стъ).. Топологическим отображением (или гомеоморфизмом) плоскости (области) в себя называется взаимно однозначное и двусторонне непрерывное отображение плоскости (или области) 2°). [c.37]

Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы. Внося точный смысл в интуитивно ясное понятие качественной. (топологической) структуры состояния равновесия, прежде всего нужно отчетливо сформулировать различие между собственной, или локальной, окрестностью состояния равновесия и областью, которая уже не является собственной окрестностью состояния равновесия. На рис. 30, а область внутри окружности, содержащая одно только состояние равновесия, очевидно, не является его собственной окрестностью, в то время как на рис. 30, б соответствующая область является собственной окрестностью состояния равновесия. [c.57]

Нетрудно привести пример состояния равновесия, не имеющего определенной топологической структуры в указанном выше смысле. Пусть, например,, вокруг данного состояния равновесия существует бесчисленное множество вложенных друг в круга колец, заполненных замкнутыми траекториями. Пусть эти кольца перенумерованы в порядке их вложения друг в друга. Предположим, что между ге-м и ге 1-м кольцом лежит ге предель-пых циклов. Нетрудно убедиться, что у такого состояния равновесия нет определенной топологической структуры в смысле данного в тексте определения. Такой пример возможен в динамической системе класса С , но невозможен в аналитической системе. [c.58]

I. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории. Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы — к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории, стремя- [c.410]

Мы скажем, что проведено полное качественное исследование динамической системы, если установлена топологическая структура разбиения на траектории этой системы. Как уже указывалось, на основании рассмотренных частных примеров можно думать, что для установления топологической структуры разбиения на траектории нужно знать поведение не всех траекторий, а линь некоторых особых траекторий. [c.412]

Односвязные и двухсвязные ячейки. Естественно поставить теперь вопрос о том, какие возможны типы отдельных ячеек у рассматриваемых нами динамических систем. Именно, так же как мы говорим о топологической структуре разбиения на траектории области плоскости О, в которой определена динамическая система, можно говорить о топологической структуре разбиения на траектории отдельной ячейки и интересоваться вопросом о классификации ячеек по топологической структуре их разбиения на траектории. При этом мы можем рассматривать либо ячейку как таковую, либо ячейку вместе с границей (состоящей из целых особых траекторий), т. е. замкнутую ячейку, являющуюся замкнутой областью (для. целей качественного исследования больший интерес представляет рассмотрение именно ячеек вместе с границей). [c.424]

Нетрудно видеть, что число различных типов ячеек (т. е. ячеек с различной топологической структурой разбиения на траектории) в случае, когда ячейка рассматривается без границы, конечно. Число различных типов замкнутых ячеек, т. е. в случае, когда ячейка рассматривается вместе с границей, неограниченно увеличивается при увеличении числа состояний равновесия у динамической системы. Однако в случае грубых систем, рассмотренных в следующем параграфе, независимо от числа состояний равновесия системы существует лишь конечное число типов замкнутых ячеек. [c.425]

Поэтому естественно прежде всего выделить класс динамических систе м, у которых топологическая структура фазовых траекторий не меняется при малых изменениях дифференциальных уравнений. Такие системы мы будем называть грубыми . В настоящем параграфе дается точное математическое определение грубых систем и устанавливаются их основные свойства. [c.428]

Если динамическая система, для которой выполняются условия 1), 2) и 3), является грубой, то малые изменения ее правых частей не будут менять топологической структуры ее разбиения на траектории, а будут лишь мало сдвигать все это разбиение. Но при выполнении условий 1), 2), 3), т. е. при условии, что особые траектории системы (Л) являются лишь простыми предельными циклами и сепаратрисами, не идущими из седла в седло (подробное перечисление возможных видов сепаратрис см. ниже), нетрудно показать, что при малых изменениях правых частей системы (Л) или, иначе говоря, при переходе к измененной системе (Л), особые траектории не меняют своего характера и при этом лишь мало сдвигаются. Этот факт делает утверждение теоремы совершенно наглядным геометрически. Точное доказательство теоремы состоит в фактическом построении для всякой измененной системы (Л), достаточно близкой к системе (Л), такого топологического отображения области О в себя, при котором траектории системы (Л) отображаются в траектории системы (Л) и соответствующие друг другу точки находятся на сколь угодно малом расстоянии друг от друга. [c.454]

Можно показать (ср. 3 настоящей главы), что если мы знаем совокупность особых траекторий, именно, знаем взаимное расположение состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис и знаем направление движения по сепаратрисам и предельным циклам, а также знаем характер устойчивости элементов притяжения и отталкивания (узлов, фокусов и предельных циклов), то этих знаний нам достаточно для однозначного установления топологической структуры разбиения на траектории, т. е. для полного качественного исследования грубой динамической системы. [c.457]

Простейшим примером трехмерной неупорядоченной системы может служить решетка, в которой различные атомы (или спины) распределены хаотически (гл. 1). Подобно любым одномерным структурам, такая система топологически упорядочена. Таким образом, мы имеем дело точно с теми же типами динамических, магнитных и электронных возбуждений, которые рассматривались в 8.1 для более простого случая неупорядоченной линейной цепочки. Рассмотрим систему уравнений [c.376]

Развитый в теории нелинейных колебаний подход к системам, в которых появляются различные периодические структуры, органически вошел в бурно развивающиеся направления - синергетику. Это направление развивает общий подход к качественным переходам в системах различной природы, которые можно описать с помощью нелинейной динамической топологической теории. [c.344]

Подобно своим аналогам на Ni и Fe основах, жаропрочные кобальтовые сплавы представляют собой сложный химический и кристаллографический комплекс. Он состоит из аустенит-ной матрицы и разнообразных фазовых выделений, таких как карбидные и интерметаллидные соединения, относящиеся к геометрически плотноупакованным (г.п.у.) и топологически плотноупакованным (т.п.у.) структурам (электронного или "размерного" типа). Вообще говоря, при температуре эксплуатации суперсплавы не являются подлинно равновесной системой, поскольку претерпевают воздействие "динамической среды" в виде напряжений, температуры, времени и окружающей поверхность сплава атмосферы. Диффузионный обмен элементами между фазами, вдоль границ зерен, между поверхностью и внутренними объемами сплава создает благоприятные условия для разнообразных твердофазных реакций, постоянно меняющих концентрационные соотношения и оказывающих сильное влияние на фазовую стабильность. [c.180]

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. При этом внутренняя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуются интегральными термодинамическими параметрами. Это, естественно, приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями. В некоторых случаях такая замена вполне оправданна. В то же время известны ситуации, когда использование топологически неэквивалентных моделей принципиально недопустимо. В частности, при изучении сложных динамических систем необходимо учитывать особенности топологии как тонкой структуры объектов, так и фазовых траекторий системы. Дробная метрическая размерность таких объектов не только характеризует их геометрический образ, но и отражает процессы их образования и эволюции, а также определяет динамические свойства. [c.33]

Топологическая структура динамической системы. Мы дадлм определение топологической структуры динамической системы в открытой плоской области, совпадающе с областью определения системы или представляющей ее часть. Точно так же можно определить топологическую структуру динамической системы на любо.и подмножестве М области ее определения, в частности, в замкнутой ограниченной области С, а также на сфере. Для этого нужно только в приводимом определении слова в области С заменить соответственно словами в замкнутой области 1 или на сфере и т. д. [c.124]

Введенное определением V понятие то/кдест-венности топологических структур динамических систем удовлетворяет, как легко убедиться, всем условиям эквивалентности, т. е. обладает свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. Поэтому все динамические системы разбиваются на непересекающиеся классы систем, имеющих одинаковые топологические структуры. Каждая динамическая система принадлежит одному и только одному такому классу. [c.128]

Таким образом, полная схема является топологическим инвариантом динамической системы. Выше, при рассмотрении конкретных примеров, мы неоднократно говорили о том, что для знания топологическо структуры разбиения на траектории нужно знать характер состояний равновесия, число и расположение замкнутых траекторий и ход сепаратрис . Введение понятия схемы динамической системы фактически является внесением точного смысла в указанные наглядные, но весьма расплывчатые определения. [c.453]

В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных в зианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи движения предполагают наличие некоторой связи в системе (а именно, в одном случае величина у = V постоянна со временем, в другом — скорость центра масс как вектор постоянна) [186, 187]. Такие системы являются относительно структурно устойчивыми (относительно фубыми) и топологически эквивалентными системе, описывающей закрепленный маятник, помещенный в поток набегающей среды. Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции. Более того, фазовый цилиндр 7 а,О (или К а,оз ) квазискоростей имеет интересную топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий (см. ил. 2). [c.34]

Динамическая система на сфере является частным случаем динамической системы па замкнутой ориентируемой поверхности любого данного рода /с > О ) [15]. Определение всякой такой динамической системы может быть дано полностью аналогично приведенному ниже определению динамической системы на сфере. Однако среди динамических систем на замкнутых ориентируемых поверхностях только динамические системы на поверхностях рода нуль сохраняют все существенные свойства плоских систем только у таких систем отдельные траектории и разбиение на траектории сохраняют тот же характер, что и у плоских систем. Напротив, динамические системы на замкнутых поверхностях более сложной топологической структуры — на ориентируемых поверхностях рода /с 5 1, а также па неориептируемых, обладают пе1 оторыми свойствами, существенно отличающимися от свойств плоских систем. [c.58]

Определение Л И. Мы скажем, что динамическая система (I) имеет в данной точке Р локальную топологическую структуру, если существует содержащая точку Р область iV( удовлетворяющая следующему условию-, каково бы ни было е>0, можно найти область w g и отображение Т такие, что, а) область w содержит точку Р и содержится в U , (Р) б) Т является отождествляющи.н отсбражсние.ч, прп котора.м область Wo отображается на Wq и точка Р отображается сама в себя ). [c.131]

Область t 7o, обладающую указанными в определении свойствами, мы будем называть областью или окрестностью) локсньной топологической структуры. В частности, сели взять достаточно малое ео > О, то окрестность UgQ Р) ТОЧКИ Р (в которой динамическая система имеет локальную топологическую структуру) будет окрестностью локальной топологической структуры точки Р. [c.131]

Следующим чрезвычайно важным вопросом является вопрос нахождения методов или приемов, с помощью которых можно было бы установить наличие или отсутствие предельных циклов. Этот вопрос также имеет очень большой интерес для приложений. Он является значительно более трудным, чем вопрос определения топологической структуры состояний равновесия, и значительно менее изученным. Для того чтобы ставить дальнейшие вопросы об эффективных приемах качественного исследования заданной динамической системы, нужно иметь сведения о том, чти именно необходимо знать о траекториях для определения топологичсско структуры разбиения на траектории. Но это, очевидно, означает, что мы должны иметь полный ответ на вопросы, принадлежащие первому аспекту. [c.134]

ИЛИ в лучшем случае задания численных значений комбинаций из этих параметров. Между тем в динамические системы, возникающ ие из приложений, всегда входит то или другое число параметров, которые могут принимать различные значения. Необходимость задания параметров затрудняет обозрение всей задачи в целом. Поэтому там, где возможно применение аналитических методов, может быть даже и сложных, их всегда следует предпочитать методам приближенного численного интегрирования. Однако в некоторых случаях использование приближенного интегрирования является единственным возможным методом получения сведений о топологической структуре разбиения на траектории данной динамической системы. Подчеркнем, что при этом представляет интерес не приближенное вычисление траекторий на том или другом промежутке значений I, само по себе, которое, конечно, имеет смысл и значение во многих задачах, а то, как такое приближенное вычисление служит для установления качественной структуры разбиения на траектории или хотя бы для получения тех или других качественных характеристик разбиения на траектории. [c.250]

В настоящей главе вводится понятие полной схемы динамической системы, имеющей конечное число особых траекторий. В полную схему динамической системы как составные части входят полные схемы состояний равновесия и предельных континуумов. Полная схема дает исчерпывающее описание взаимного расположения особых элементов и полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. Осиов-ной теоремой настоящей главы является следующая теорема если схема двух динамических систем В п В, рассматриваемая соответственно в замкнутых областях (т и О , тождественна с сохрансиием ориентации. и направления по 1, то топологические структуры разбиения областей С и С соответственно на траектории систем В п В тождествецны. Доказательство этой теоремы заключается в фактическом построении отождествляющего отображения, т. е. топологического отображения области С в С , при котором траектории систем В и В отображаются друг в друга. [c.453]

Н. А. Губарь, Исследование методом Бендиксона топологической структуры расположения траекторий в окрестности особо точки одной динамической системы, Изв. вузов, Радиофизика , т. II,. К 6 (1959). [c.565]

Определение бифуркации. Бифуркацией динамической системы мы будем называть изменение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории, ироисходящее при переходе от данной негрубой системы [c.163]

Г у б а р ь Н. А. Исследование методом Бендиксона топологической структуры расположения траекторий в окрестностп особой точкп одной динамической системы jj Изв. вузов. Радиофизика.— 1959.— Т. 2, № 6. [c.479]

Результаты о топологической структуре преобразований перекладываний отрезков впервые появились в [154], хотя нх можно извлечь и нз более ранней работы Майера [186]. Кии также выдвинул гипотезу, что почти каждое неприводимое преобразование перекладывания отрезков является строго эргодическим. Вне элементарного уровня, на котором мы обсуждаем эту тоблему, имеется ряд фундаментальных результатов, прежде всего результаты Вича [319]- [322] и Мезера [197], которые доказывают строгую эргодичность большинства преобразований перекладывания отрезков и описывают их метрические свойства. В частности, с их помощью доказана гипотеза Кина. Главная идея состоит в рассмотрении подходящего пространства перекладываний отрезков и введении динамической системы на этом пространстве таким способом, чтобы свойства перекладывания отрезков переходили в асимптотические свойства его орбиты под действием этой динамической системы. При подходе Вича это осуществляется с помощью подходящей конструкции индуцирования. Лемма 14.5.7 представляет собой первый шаг в этом направлении. Важный вклад в анализ преобразования перекладывания отрезков, использующий более прямой комбинаторный подход, был сделан [c.732]

Вводные замечания. Как уже отмечалось, топологическая структура гиперболических множеств (в том числе, странных аттракторов) может быть весьма сложной и нерегулярной (см. 2). В известном смысле она описывается с помощью процесса, аналогичного процессу построения канторовского множества. Это позволяет характеризовать тополого-геометри-ческую структуру инвариантного гиперболического множества посредством некоторых числовых характеристик типа размерности. Во многих случаях нет необходимости знать всю сложную топологическую картину индивидуального поведения траекторий динамической системы, а достаточно ограничиться изучением эргодических характеристик их глобального поведения. Размерностные характеристики занимают, так сказать, промежуточное положение между топологическими и эргодическими [c.167]

Структурная схема подсистемы Пилот приведена на рис.38. Важное место в структуре подсистемы занимает графический редактор. Он выполняет две функции. Во-первых, редактор представляет собой управляющую оболочку для работы различных программных крейтов, реализующих такие функции как расчет, обработка запросов к специализированной базе данных и базе данных системы АОНИКА , вывод на экран или на печать различной информации, связанной с проведением сеансов моделирования. Во-вторых, редактор предназначен для создания графических топологических моделей различных физических процессов электрических, тепловых, механических и аэродинамических. В процессе функционирования графический редактор формирует действующую расчётную структуру в топологическом виде, которая в дальнейшем анализируется при помощи единого расчетного модуля в различных режимах (статический анализ, анализ во временной и частотной областях, анализ чувствительности). В процессе моделирования возможно применение принципа динамического изменения параметров элемента схемы или параметра конструкции (тюнинг в реальном масштабе времени). При таком подходе параметр маркируется и изменяется при помощи виртуального тюнера. Процесс изменения параметра сопровождается одновременным отображением результатов анализа в виде графиков и диаграмм. При таком подходе процесс анализа математической модели выполняется в фоновом (скрытом) режиме. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...