Теория условно-периодических движений

В. И. Арнольд. О рождении условно-периодического движения из семейства периодических движений.— Докл. АН СССР, 1961, т. 138, № 1, стр. 13—15 О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона.— Докл. АН СССР, 1962, т. 142, № 4, стр. 758—761 О классической теории возмущений и проблеме устойчивости планетных систем.- Там же, 1962, т. 145, № 3, стр. 487— 490 Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.— Усп. матем. наук, 1963, т. 18, вып. 5 (113), стр. 13—40 Малые знаменатели и проблема устойчивости в классической и небесной механике.— Там же, 1963, т. 18, вып. 6 (114), стр. 91—192. [c.115]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Различные варианты теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений получены В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Обзор результатов теории KAM (Колмогорова — Арнольда— Мозера) содержится в книге [12, гл. 5]. [c.124]

Укажем на одну нерешенную задачу верно ли, что в предположениях теорем 3-5 при малых фиксированных значениях параметра ф О гамильтоновы системы не имеют однозначных интегралов соответствующей гладкости В связи с этой задачей интересно отметить, что при малых значениях е гамильтонова система (1,15) с полутора степенями свободы (п = 1) всегда имеет непостоянный непрерывный интеграл. Это вытекает из теоремы А, И, Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (см. [12, гл. 5], а также Ю гл, П) при малых значениях е колмогоровские торы образуют совершенное нигде не плотное множество, причем при п = 1 эти торы делят фазовое пространство на связ- [c.185]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА [c.365]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 367 [c.367]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 371 [c.371]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 373 [c.373]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 375 [c.375]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 377 [c.377]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 379 и не удовлетворяют резонансным соотношениям низкого порядка [c.379]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 381 [c.381]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 383 [c.383]

Кажется, что вполне надеяться на численные методы можно только в интегрируемой ситуации, в которой такого разбегания не происходит. Тем не менее, оказывается, что консервативные системы даже в стохастической ситуации сохраняют многие элементы интегрируемой динамики. При небольшом возмущении интегрируемой задачи продолжают существовать невырожденные периодические орбиты, не разрушается большинство условно-периодических движений (КАМ-теория). [c.18]

Ниже мы приводим теорему Арнольда [36] о существовании условно-периодических движений для системы (10.1,41). [c.801]

Относительно условно-периодических движений Штеккель доказал интересную п важную теорему, которую мы теперь рассмотрим. [c.94]

Большем части замкнутых кривых на фазовых портретах соответствуют двумерные инвариантные торы полной системы, несущие условно-периодические движения (согласно теории КАЛ ). [c.286]

Одно такое возвращение состоялось, когда А. Н. Колмогоров, а затем В. И. Арнольд и Ю. Мозер получили свои замечательные результаты, касающиеся инвариантных торов и условно периодических движений в гамильтоновых системах. Вряд ли ну ино напоминать, сколь значительным оказалось это продвижение в том, что Пуанкаре назвал основной задачей динамики , и сколь стимулирующим было его воздействие на качественную теорию. [c.17]

Стоит еще отметить, что Н,К и образуют полный независимый набор интегралов в инволюции. Таким образом, все шестимерное фазовое пространство расслаивается на трехмерные инвариантные торы с условно-периодическими движениями. Однако, ввиду наличия еще одного независимого интеграла, эти трехмерные торы расслоены на двумерные торы, целиком лежащие на трехмерных инвариантных многообразиях, выделяемых условиями постоянства проекций Кх,Ку,К . При естественном проектировании на конфигурационное пространство, эти двумерные торы переходят в поверхности Бернулли из гидродинамической теории волчка Эйлера. [c.192]

Мы увидим, что во многих невозмущенных интегрируемых задачах движение оказывается условно периодическим. При исследовании движения как в невозмущенной, так и особенно в возмущенной задаче полезны специальные симплектические координаты переменные действие — угол . В заключение мы докажем теорему, обосновывающую теорию возмущений одночастотных систем, и докажем адиабатическую инвариантность переменной действия в таких системах, [c.238]

Подверглась также большой переработке часть X Качественная небесная механика . В ней расширена теория устойчивости движения, в частности, приведены формулировки теорем Ляпунова, включены новые параграфы, посвященные методу разделения переменных, намного подробнее изложена теория периодических и условно-периодических решений в приложении к задачам небесной механики, добавлены новые результаты по устойчивости лагранжевых решений задачи трех тел. [c.18]

Программы третьего, верхнего иерархического уровня, по существу, являются управляющими для всего комплекса программ нормализации, и использопайие тех или иных из этих программ зависит от конкретной ренгаемой задачи. К числу предусмотренных в комплексе возможностей относятся а) решение задач устойчивости, для которых достаточно провести нормализацию до какого-то пе очень большого порядка т (как правило, m = 4, реже m = 6) б) построение высокоточных приближенных теорий движения, для которых учитываемый порядок членов может быть очень большим. В первом случае на входе достаточно задать коэффициенты исходного гамильтониана, а на выходе получить коэффициенты нормальной формы заданной степени т и заключение об устойчивости или неустойчивости рассматриваемого положения равновесия периодического или условно-периодического движения. [c.227]

КНИГИ посвящены некоторым из этих связей. В качестве приложений аппарата классической механики здесь рассматриваются основы римановой геометрии, динамика идеальной жидкости, кол-могоровская теория возмущений условно-периодических движений, коротковолновые асимптотики для уравнений математической физики и классификация каустик в геометрической оптике. [c.10]

Аналогичным образом дюжно использовать теорему об инвариантных торах для исследования условно-периодических движений системы связанных нелинейных осцилляторов. [c.380]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Строение множества в В П В+ изучено плохо, хотя значительная доля публикаций по задаче трех тел относится именно к нему. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера позволила доказать существование условно-периодических движений во многих неиитегрируемых задачах механики. В частности, в 1963 году В. И. Арнольд [18] показал, что В П В+ (при достаточно малой массе двух из трех тел) содержит подмножество положительной меры, состоящее из пятимерных торов, заполненных условно-периодическими движениями (см. также [6], [19], [43]). Согласно [42], множества В+ В и В В+ имеют лебегову меру 0. [c.52]

Теорема Лапласа в сочетании с теорией вековых возмущений второго порядка позволяет лишь утверждать, что на конечном хйтя, быть может, и весьма большом промежутке времени (тем большем, чем меньше массы планет) движение планет имеет условно-периодический характер. Такие движения Арнольд назвал лагранжевыми движениями в планетной задаче [36] (они, естественно, отличны от лагранжевых равновесных решений). Существенное добавление к решению проблемы устойчивости принадлежит Арнольду. [c.840]

Решение последней задачи методами численного интегрирования строгих уравнений движения неэффективно. Однако, используя теорию возмущений, можно получить приближенное аналитическое описание многообразия условно-периодических траекторий. По-видимому, к настоящему времени с наибольшей полнотой поставленная задача рассмотрена в работе [133]. Этой же задаче посвящена и настоящая глава книги. Примененный метод построения условно-периодических (и всех возможных других) траекторий вблизи Ь.2 основан на проведении ряда последовательных канонических преобразований переменных, приводящих функцию Гамильтона задачи к нормальной форме, для которой начальные условия, обеспечивающие различные (например, условно-периодические) тразктории, находятся весьма просто. Проведенные в настоящей главе построения могут быть положены в основу теории пассивного движения КА вблизи Ь . [c.266]

Этот общий характер состоит в том, что, как это очевидно из дифференциальных уравнений (15 ), функции Sj и s , начиная от некоторого своего начального значения, непременно заключенного в соответствующих пределах, буд ут монотонно изменяться, так как возможность Si = S2 в общем случае исключена. Возрастая гаи убывая (в зависимости от знака соответствующего радикала i i/ S), которая-нибудь из них достигнет своего ближайшего предельного значения и делается равной соответствующему корню многочлена S, после чего, за изменением тут знака соответствующего радикала, направление изменения сменится обратным, в то время как другая функция S будет продолжать изменяться в своем прежнем направлении до перемены его при подобных же условиях. Подобный ход изменений Sj и Sj, происходящий в известной сложной зависимости от времени, соответствует тому типу движения, который Штауде [20], а за ним Штэккель (Sta kel) [21] предложили называть условно периодическим и который, может быть, теперь более подходит под термин квазипериодический . Я приведу сейчас некоторые общие свойства движения гироскопа Ковалевской, как их можно установить, исходя из общей теории подобных движений [22]. [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...