Периодические и условно периодические движения

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ [c.66]

Периодические и условно периодические движения [c.68]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Подверглась также большой переработке часть X Качественная небесная механика . В ней расширена теория устойчивости движения, в частности, приведены формулировки теорем Ляпунова, включены новые параграфы, посвященные методу разделения переменных, намного подробнее изложена теория периодических и условно-периодических решений в приложении к задачам небесной механики, добавлены новые результаты по устойчивости лагранжевых решений задачи трех тел. [c.18]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ. ФИНАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ [c.788]

А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Эти способы позволяют устанавливать существование периодических и условно-периодических решений в задачах небесной механики. Кроме того, изложены результаты об исследовании финальных движений в задаче трех тел и проблемы захвата. [c.788]

Одно такое возвращение состоялось, когда А. Н. Колмогоров, а затем В. И. Арнольд и Ю. Мозер получили свои замечательные результаты, касающиеся инвариантных торов и условно периодических движений в гамильтоновых системах. Вряд ли ну ино напоминать, сколь значительным оказалось это продвижение в том, что Пуанкаре назвал основной задачей динамики , и сколь стимулирующим было его воздействие на качественную теорию. [c.17]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

Различные варианты теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений получены В. И. Арнольдом и Ю. Мозером. Обзор результатов теории KAM (Колмогорова — Арнольда— Мозера) содержится в книге [12, гл. 5]. [c.124]

Укажем на одну нерешенную задачу верно ли, что в предположениях теорем 3-5 при малых фиксированных значениях параметра ф О гамильтоновы системы не имеют однозначных интегралов соответствующей гладкости В связи с этой задачей интересно отметить, что при малых значениях е гамильтонова система (1,15) с полутора степенями свободы (п = 1) всегда имеет непостоянный непрерывный интеграл. Это вытекает из теоремы А, И, Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (см. [12, гл. 5], а также Ю гл, П) при малых значениях е колмогоровские торы образуют совершенное нигде не плотное множество, причем при п = 1 эти торы делят фазовое пространство на связ- [c.185]

Если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, то расстояние р = 05 не изменяется с течением времени. В этом случае точка В на плоскости ПП опишет окружность. Однако здесь также возможны случаи периодических и условно-перио-дических движений. [c.380]

Если эти частоты несоизмеримы, то траектория точки будет незамкнутой и, следовательно, точка никогда ие займет повторно того положения, которое она уже занимала, хотя через достаточно большой интервал времени точка как угодно близко подойдет к этому положению (такое движение является примером условно-периодического движения). [c.442]

В этом параграфе доказывается совпадение временных и пространственных средних в системах, совершающих условно-периодическое движение. [c.250]

A. Условно-периодические движения. В предыдущих параграфах нам часто встречалось условно-периодическое движение фигуры Лиссажу, прецессия, нутация, вращение волчка и т. п. [c.251]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА [c.365]

В рассматриваемом приближении мы получаем вблизи распавшегося и-мерного резонансного тора перемежающийся набор неустойчивых и устойчивых п — 1-мерных торов, причем вокруг устойчивых происходят фазовые колебания. Соответствующие им условно-периодические движения имеют полный набор из п частот, в том числе п — 1 быструю частоту исходных колебаний и одну медленную (порядка е) частоту фазовых колебаний. [c.374]

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 379 и не удовлетворяют резонансным соотношениям низкого порядка [c.379]

Каждый тор р = ро инвариантен, и если частоты mi, шг,. . .., Шп несоизмеримы, то мы имеем условно-периодическое движение на торе р = ро с частотами шь сог, ., озп- [c.801]

В работах [179, 183, 184] получены формулы для коэффициентов нормальных форм неавтономных гамильтоновых систем и выведены соответствующие условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия, выраженные через эти коэффициенты. В этих работах показано, что решение проблемы нормализации в окрестности положения равновесия одновременно позволяет решить проблему существования, построения и исследования устойчивости малых периодических и условно-периодических движений в окрестности этого положения равновесия. В заключение отметим, что многочисленные приложения этих результатов к задачам небесной механики и космодинамики можно найти в моно- [c.239]

Программы третьего, верхнего иерархического уровня, по существу, являются управляющими для всего комплекса программ нормализации, и использопайие тех или иных из этих программ зависит от конкретной ренгаемой задачи. К числу предусмотренных в комплексе возможностей относятся а) решение задач устойчивости, для которых достаточно провести нормализацию до какого-то пе очень большого порядка т (как правило, m = 4, реже m = 6) б) построение высокоточных приближенных теорий движения, для которых учитываемый порядок членов может быть очень большим. В первом случае на входе достаточно задать коэффициенты исходного гамильтониана, а на выходе получить коэффициенты нормальной формы заданной степени т и заключение об устойчивости или неустойчивости рассматриваемого положения равновесия периодического или условно-периодического движения. [c.227]

Пусть x t)—условно-периодическое движение на А-мерном инвариантном торе. Вектор-функция w x t)) удовлетворяет уравнениям в вариациях (9.3). Линейные системы (9.4) и (9.5) сопряжены друг другу h,w) = onst. Действительно, согласно (9.4) и (9.5), функция ip = h, w) удовлетворяет линейному уравнению [c.234]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Вообгце говоря, для произвольных линейных систем с условнопериодическими коэффициентами приводимость может не иметь места. Однако, как показал Г.А. Красинский [77], уравнения в вариациях, соответствуюгцие условно-периодическим движениям гамильтоновых систем, построенным с номогцью метода А.Н. Колмогорова и его модификаций, всегда приводимы, причем матрица соответствуюгцей линейной замены переменных имеет условно-периодические коэффициенты, а сама замена будет канонической. Следовательно, в этом случае можно надеяться на успешный анализ устойчивости нелинейной системы методом нормальных форм Пуанкаре. [c.124]

КНИГИ посвящены некоторым из этих связей. В качестве приложений аппарата классической механики здесь рассматриваются основы римановой геометрии, динамика идеальной жидкости, кол-могоровская теория возмущений условно-периодических движений, коротковолновые асимптотики для уравнений математической физики и классификация каустик в геометрической оптике. [c.10]

Величины ffli,. . ., называются частотами условно-периодического движения. Частоты называются независимыми, когда они линейно независимы над полем рациональных чисел если f G Z" ) и (к, ю) = О, то f = 0. [c.251]

Не следует думать что такая ситуация типична для задач общего вида. В действительности свойства траекторий в многомерных системах могут быть весьма разнообразными и совсем не похожими на свойства условно-периодических движений. В частности, замыкание траектории системы с п степенями свободы может заполнять в 2п-мерном фазовом пространстве сложные множества размерности больше п траектория может даже быть всюду плотной и равномерно распределенной на всем 2п — 1-мерном многообразии, заданном уравнением Я = к ). Термин неинтег-рируемые в применении к этим системам оправдан, так как они не допускают однозначных первых интегралов, не зависящих от Н. [c.256]

Поскольку гамильтониан выражается через одни лишь переменные действия T , система интегрируема и описывает условно-периодические движения по торам т = onst с частотами со == дН/дх. В частности, положение равновесия Р = Q = О для нормальной формы устойчиво. [c.354]

Далее, будем искать вблизи нерезонансного инвариантного тора невозмущенной системы, соответствующего фиксированным значениям частот, такой инвариантный тор возмущенной системы, на котором происходит условно-периодическое движение в точности с теми самыми частотами, которые мы фиксировали и которые, стало быть, удовлетворяют выписанному выше условию нерезонансности. [c.372]

Получающиеся в результате условно-периодические движения возмущенной системы с фиксированными частотами со оказываются даже гладкими (в аналитическом случае — аналитическими) функциями параметра возмущения е. Следовательно, их можно было бы искать и без метода Ньютона в виде ряда по степеням е. Коэффициенты этого ряда, называемого рядом Линдштедта, действительно можно найти однако доказать его сходимость удается только косвенно, с помощью ньютоновских приближений. [c.373]

В этой задаче имеется малый параметр — отношение масс Юпитера и Солнца. Нулевому значению параметра отвечает невозмущенное кеплерово движение астероида, изображающееся в нашем четырехмерном фазовом пространстве условно-периодическим движением по двумерному тору (так как система координат вращается). Одна из частот этого условно-периодического движения одинакова при всех начальных условиях это угловая скорость вращения системы координат, т. е. частота обращения Юпитера вокруг Солнца. Вторая же частота зависит от начальных условий (это частота обращения астероида вокруг Солнца) и меняется на фиксированном трехмерном многообразии уровня функции Гамильтона. [c.383]

Принципиальное значение соотношения (5.12) в тол1, что установлена связь между статистическими свойствами системы (йс) и ее чисто динамической характеристикой йо- Иными словами, можно узнать, когда регулярное (например, условно-периодическое) движение системы разрушится и движение станет пе-релшшивающимся. Для этого необходимо выяснить условие, при котором в динамической системе возникает локальная неустойчивость (5.9). Такое условие мы будем в дальнейшем называть условием стохастической неустойчивости или, короче, условием стохастичности. Максимальной неустойчивости соответствует разрушение всех интегралов движения, кроме полной энергии системы. Анализ, проведенный Н. С. Крыловым, показал, что именно стохастическая неустойчивость обеспечивает равномерное перемешивание начальной фазовой ячейки с любой требуемой точностью на поверхности неразрушенных однозначных интегралов движения и приводит к конечному времени релаксации на этой поверхности, ( ам характер релаксации именно тот, который типичен в статистической механике (ком. 8). [c.30]

Следовательно, фй = 0(гГ + ф°. Эти формулы задают условно-периодическое движение на двумерном торе T = фl, фгто(12я с постоянными частотами Qi и 0,2. Области, изображенные на рис. 40, являются проекциями тора на плоскость R2 = a , у). Если отношение 0 /Й2 = Тг/т1 рационально, то траектория точки в эллипсе замкнута. В противном случае траектория заполняет указанные области всюду плотно. Наличие инвариантных торов с условно-периодическими движениями — характерное свойство интегрируемых гамильтоновых систем (см. по этому поводу [3, гл. 4]). [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...