Пластинки Условия граничные при колебаниях

При совместном решении т — 4 основных уравнений с учетом четырех граничных условий (18) получаем, таким образом, систему уравнений для исследования колебаний пластинки варианта С — С. Аналогично основные уравнения, рассматриваемые совместно с граничными условиями для С — S и С —F пластинок, дают решения соответственно-для этих [c.11]

Представим граничные условия на внешнем крае пластины как шпангоут нулевой жесткости для случая шарнирного опирания и как шпангоут бесконечной жесткости — для защемления. Аналогично нулевой параметр массы и нулевая жесткость на внутренней границе означают свободный край, а бесконечная жесткость с конечной массой соответствует жесткому включению. Собственные частоты колебаний для таких предельных случаев граничных условий на краях кольцевых пластинок определяются аналогичным образом из уравнения (27). Результаты, полученные авторами при различных значениях отношения Ь/а, согласуются с результатами работ [6—8]. [c.27]

На рис. 2 показано изменение бифуркационного параметра нагрузки piO h/D) в зависимости от относительного размера выреза а/Ь для форм колебаний с различным числом узловых диаметров и для различных граничных условий. Как можно видеть, осесимметричная форма колебаний никогда не соответствует критической форме потери устойчивости пластинки и пластинка всегда сначала теряет устойчивость с конечным числом окружных волн, равным п, зависящим от размера выреза и граничных условий. Число окружных волн в критической форме потери устойчивости увеличивается с увеличением значений отношения а/Ь и с увеличением порядка краевых, геометрических констант. Такое поведение пластинки качественно подобно поведению пластинок при действии внешнего сжатия [14]. Наименьшие (критические) бифуркационные нагрузки и соответствующие им значения числа п представлены в табл. 1 для значений отношения ajb, изменяющихся от 0,1 до 0,9 с шагом 0,1. [c.35]

Традиционным методом при а/Ь = 0,5 для различных значений h в случае граничных условий СС. Значение 82,79 соответствует критической бифуркационной нагрузке (п = 8) для исследуемой пластинки при действии внутреннего растяжения (табл. 1). Такой вариант выбран как типичный пример, иллюстрирующий влияние растягивающих и сжимающих сил. Как можно видеть, поведение пластинки при действии внутреннего растяжения прямо противоположно поведению пластинки при действии внутреннего сжатия а именно, как и предполагалось, для осесимметричной формы собственная частота колебаний пластинки при действий внутреннего растяжения (сжатия) всегда возрастает (падает) с увеличением значений нагрузки однако с увеличением порядка асимметричной формы собственная частота колебаний пластинки при [c.45]

Следует отметить, что для пластинки при действий внутреннего сжатия осесимметричная форма колебаний остается основной формой колебаний для ненагруженной пластинки, так же как и для нагруженной для всех случаев граничных условий, за исключением двух типов FS и F . В этих случаях форма колебаний с одним узловым диаметром является основной формой колебаний для размеров вырезов, меньших примерно 0,3, для ненагруженной пластинки (а = 0) и для некоторого значения а существует чередование форм колебаний между /г — 1 и /г = О [11]. [c.50]

Интересно отметить при изучении рис. 3—5, что для пластинок при действии внутреннего растяжения существует особое значение п п Псг) — зависящее от граничных условий и значения а/Ь, — для которого собственные частоты колебаний ненагруженной (а = 0) и нагруженной пластинок почти одинаковы. [c.50]

На основе метода коллокаций исследуются свободные колебания упругих шарнирно опертых или защемленных по наружным краям прямоугольных пластинок, имеющих центральный круговой вырез. Результаты исследований представлены в виде графиков, характеризующих изменение собственных частот колебаний пластинок в зависимости от размера выреза при различных значениях коэффициента Пуассона. Поведение кривых, отражающих зависимость частот колебаний от размеров выреза, не является монотонным, и размер выреза, при котором собственная частота колебаний минимальна, как оказалось, зависит не только от вида граничных условий на краях пластинки, но и от коэффициента Пуассона. Эти результаты, как и результаты предыдущих исследований колебаний пластинок с вырезами, по всей видимости, можно объяснить механизмом перераспределения напряжений в районе границ вырезов и уменьшением массы системы. [c.95]

Уравнения (9)—(11) представляют собой уравнение колебаний, граничные условия и соотношения непрерывности для пластинки, показанной на рис. 1(b), изгибные цилиндрические жесткости которой Pxi, H i, D yi и Dll определяются из уравнения (12). Жесткость единицы длины упругой сопротивляющейся среды на сторонах л = Оил =аи у = О п у = Ь также находится из уравнения (13). Таким образом, можно заключить, что собственная частота колебаний пластинки, показанной на рис. 1(a), совпадает с собственной частотой колебаний пластинки, показанной на рис. 1(b), при условии существования соотношений между обеими пластинками, определяемых уравнениями (12) и (13). Вывод показывает, что обобщенный метод преобразования, предложенный для пластинки постоянной толщины [6, 7], также может быть применен для пластинки переменной толщины, показанной на рис. 1. Из этого метода непосредственно вытекают три следующих факта. [c.160]

Рассматривая последние исследования о колебаниях пластинки с включением сложных эффектов [13], Лейсса установил, что, вообще говоря, растягивающие силы, действующие в плоскости пластинки, увеличивают собственные частоты колебаний, в то время как сжимающие их снижают . Для кольцевых пластинок последняя часть этого утверждения, касающаяся сжимающих сил, обнаружена справедливой для всех форм колебаний, когда такие пластинки подвержены равному д авлению вдоль обоих краев [6,11] и при действии внешнего сжатия [5, 11]. Однако для пластинок, нагруженных внутренним сжатием, сначала Тани и Накамура [5] и недавно Рамайя [10, 11] установили, что собственные частоты колебаний уменьшаются с возрастанием нагрузки только для осесимметричных форм, тогда как при увеличении номера осесимметричной формы колебаний >0) собственная частота колебаний может возрастать в зависимости от краевых граничных условий и значения коэффициента интенсивности нагружения. [c.31]

Свободным колебаниям шарнирно опертых прямоугольных пластинок с прямолинейным сквозным отверстием посвящены две публикации [46, 47]. Для пластинки, имеющей один вырез, моделирующий трещину и идущий параллельно одной из кромок, автор этих работ теоретически проанализировал свободные колебания и концентрации динамических напряже- ний у конца выреза. Пластинка при исследовании делилась по направлению выреза на две части, и в плоскости выреза, исключая сам вырез, выражались внутренние моменты и сдвигающая сил . Каждую часть пластинки можно было при дальнейшем ра9Смотрении считать прямоугольной шарнирно опертой по трем кромкам и загруженной по четвертой кромке на участках вне выреза неизвестными моментами и сдвигающей силой как линейной нагрузкой. После определения функции влияния для прогибов, удовлетворяющей граничным условиям, и интегрирования по участкам вне выреза произведения этой функции влияния и линейной нагрузки находились прогибы. Налагая некоторые условия при связывании для участков вне выреза на прогибы и углы прогибов соответствующих пластинок, автор получил интегральные уравнения Фредголь-ма первого рода относительно внутреннего момента и внутренней сдвигающей силы. Заменяя далее интегральные уравнения конечными суммами, он получил частотное уравнение. В качестве собственных векторов находились распределения внутреннего момента и внутренней сдирающей силы. Определение собственных значений проводилось путем решения трансцендентного уравнения итерационным методом. [c.295]

М. И. Гуревич и М. Д. Хаскинд (1953) дали постановку задачи и рассмотрели колебания плоской пластинки. Граничному условию (10.1) путем пренебрежения некоторыми членами был придан простой вид, использование которого показало, что при колебаниях контура по свободной поверхности бегут волны. [c.22]

При помощи метода Рэлея — Ритца исследуются свободные изгибные колебания и упругая устойчивость кольцевых пластинок при действии равномерно распределенной внутренней растйгивающей силы причем в качестве функций, аппроксимирующих колебания пластинок для восьми различных типов граничных условий, например защемления, шарнирного опи-рания и свободного края, используются простые полиномы. Установлено, что критическая форма устойчивости для пластинок при действии внутреннего растяжения никогда не соответствует осесимметричной форме и пластинка всегда изгибается вначале с конечным числом окружных волн. Число окружных волн, образующихся в результате потери устойчивости, увеличивается с увеличением величины коэффициента, характеризующего размеры выреза, а также с увеличением величин геометрических констант на краях (как для пластинок, нагруженных внешним сжимающим давлением). Для характерных значений коэффициента интенсивности нагружения, равного отношению текущего значения нагрузки к критическому при потере устойчивости, получены точные значения собственных частот колебаний при различных значениях размеров вырезов, сочетаний граничных условий и для широкой области изменения числа окружных волн. Формы потери устойчивости и значения основной собственной часто.ты колебаний нагруженных пластинок зависели в каждом случае от граничных условий так же, как и от значения коэффициента, характеризующего интенсивность нагружения. Было обнаружено, что условное предположение для кольцевых пластинок при действии внутренних сил о том, что растягивающие (сжимающие) силы в плоскости пластинки увеличивают (уменьшают) собственную частоту колебаний, является справедливым только для осесимметричной формы. С увеличением порядка осесимметричной формы колебаний проявляется противоположная тенденция в поведении пластинки в том смысле, что собственная частота колебаний пластинки при действии внутреннего растяжения (сжатия) возрастает (падает) с увеличением величины нагрузки. [c.30]

Итак, как видно из представленных выше соображений, существует определенный недостаток информации в литературе по динамическому поведению кольцевых пластинок при действии растягивающих сил в их плоскости. В Настоящей статье сделана попытка восполнить этот пробел. Как и в предыдущих работах [10,11], тестовая задача здесь также исследуется двумя отдельными путями при помощи метода Рэлея — Ритца с использованием в качестве аппроксимирующих функций простых полиномов. Первоначально будут определены точные значения нагрузок потери устойчивости для различных значений размеров вырезов, различных комбинаций граничных условий типа защемления, шарнирного опи-рания и свободного края, а также для различного числа окружных волн. Полученная таким образом для данного кольца критическая нагрузка потери устойчивости используется затем для определения отдельных значений безразмерного параметра, названного коэффициентом интенсивности нагружения (равного частному от деления текущего значения нагрузки на критическую силу потери устойчивости). Для ряда частных значений коэффициента интенсивности нагружения получены точные значения собственных частот колебаний для широкой области числа окружных волн. Для непосредственного использования инженерами-конструкторами результатов настоящей работы числовые данные представлены в форме таблиц и графиков. [c.32]

Использованный в работе метод является развитием метода сеток Виттевена для исследования задач о колебаниях пластинок с вырезами, учитывая при этом в модели влияние поперечной деформации. Главная цель исследования —это общая оценка изменений основных частот колебаний, которые наблюдаются в пластинке при введении квадратных вырезов, различных размеров. Как можно видеть. из табл. U сходимость результатов для граничных условий типа защемленного края была медленней, чем для случая шарнирного опирания наружных краев. Такое поведение скорости сходимости аналогично встречающемуся в задачах устойчивости и изгиба пластинок без вырезов, для исследования которых [c.57]

Таким образом, для исследования поведения прямоугольных пластинок с круговыми вырезами может быть эффективно использован итерационный метод Фурье. Однако при исследовании поведения пластинок с внешним контуром другой формы могут встретиться значительные трудности. При исследовании поведения пластинок с вырезами без каких-либо ограничений на формы пластинок или вырезов может быть использован энергетический метод. Кроме того, удовлетворение граничным условйям в энергетическом методе представляет собой относительно несложную задачу. В свою очередь итерационный метод Фурье дает возможность получить очень точные результаты. Применение энергетического метода может дать хорошие значения для перемещений, критических нагрузок, резонансных частот колебаний или других каких-либо величин, зависящих от общей жесткости системы, но этот метод дает ненадежные результаты при детальном исследовании задачи. Было бы интересно продолжить исследования с использованием в энергетическом методе членов, которые могут быть важными, но которыми до сих пор пренебрегали. [c.207]

СКОЛЬКО работ. Так, в работе [31] приведены результаты изучения собственных поперечных колебаний тонких ортотроп-ных эллиптических пластинок с аналогичным эквидистантным вырезом. Теоретический анализ осуществлен с использованием метода Ритца. При этом проведено преобразование эллиптической пластинки в кольцевую с единичным внешним радиусом путем перехода к новой системе координат. Кольцевая круговая пластинка разбита на ряд секторов. Поперечные перемещения аппроксимируются рядами произведений приемлемых функций секториальнрй балки с малым углом конусности в плане на тригонометрические функции угловой координаты. Перемещения в направлении радиальной координаты аппроксимируются полиномами пятой степени, которые удовлетворяют основному уравнению изгибных колебаний балок.во всех точках внутри выделенного малого элемента и граничным условиям на его концах. В результате цроведенного исследования определены собственные числа и формы собственных колебаний для некоторых образцов изотропных эллиптических и круговых пластинок с подобными центральными вырезами. Для апробации полученных авторами результатов в работе дано сопоставление с результатами точных решений и результатами других авторов, полученных для частных случаев. , [c.293]

Удовлетворяя заданным граничным условиям задачи, как это делается при определении критической нагрузки, ползгчим характеристическое уравнение, определяющее наличие нетривиального решения А(р) = О, которое дает бесконечный спектр собственных частот колебаний пластинки. [c.90]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...