Интегральные инварианты как функции интегралов

Если функция Н Гамильтона не зависит явно от времени и существует интеграл энергии Н = к, то находим абсолютный интегральный инвариант [c.384]

Будем теперь изменять Тогда пределами интеграла I останутся Хд и Х , по так как подынтегральное выражение зависит от Х, то /, вообще говоря, будет функцией от X. Может случится, что эта функция от X приведется к постоянной, какова бы ни была дуга Е . Тогда говорят, что / является интегральным инвариантом. [c.416]

Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по начальным данным qi, pf (/==1,. .., я). Пусть, кроме того, дано, что интеграл Пуанкаре — Картана (12) является интегральным инвариантом по отношению к прямым путям, определяемым системой уравнений (13), т. е. что для любой трубки этих путей интеграл Пуанкаре — Картана, вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своей величины при произвольном смещении точек контура вдоль образующих трубки. Тогда мы докажем, что между функцией Н и функциями Qi, Pi имеют место зависимости [c.117]

Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, если считать, что основными координатами и импульсами являются величины и pj (/ = 2, я), а переменная играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К). Поэтому (см. 18) движение обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравнений порядка 2я — 2 [c.128]

Для системы (6), имеющей интегральный инвариант вида (3), также известно обратное утверждение инвариантность интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики, так как из этой инвариантности вытекает, что движение системы подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона [25]. Однако теперь ситуация является более сложной, поскольку в интегральном инварианте используется ещё одна пара сопряжённых переменных. Наличие в интегральном инварианте (3) функции Н и условие, что система имеет вид (7) с гамильтонианом Н, дают лишь тривиальный случай по совпадению. Причины, по которым доказательство обратного утверждения для интегрального инварианта Пуанкаре-Картана, приведённое в [25], мы не считаем убедительным, будут отмечены ниже. [c.227]

Примечание 2. Далее в работе [25] выполняется деление последнего равенства на dfl = dt/ г (в обозначениях [25]), в результате которого в подынтегральное выражение вводится множитель 7т q,t,p). Затем делается вывод о том, что выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом при произвольном множителе тг . Однако функция, которую мы ввели и обозначили через ф (вместо тг), в каждом определённом преобразовании не может быть произвольной (в первую очередь знакопеременной), как этого требует основная лемма вариационного исчисления (в частности, ф должна обеспечивать монотонное изменение независимой переменной). Далее в работе [25] вариации 5qi,5pi,5t рассматриваются как независимые, т. е. игнорируется существование условного уравнения dt — тd l = О, налагающего ограничение на вариации переменных. Доказательство заканчивается утверждением о том, что функции Qi, выражаются через функцию Н в интегральном инварианте (4) согласно равенствам [c.228]

Уравнения (1.8) имеют интегральный инвариант с плотностью F = si(-ipi) — S2(ip2) (см. 4 гл. VII) эта функция нигде в нуль не обращается. Из (1.8) следует, что числа вращения равны 7 = Т2/Т1. Значит, числа вращения динамических систем на инвариантных торах задачи Ковалевской равны отношениям периодов гиперэллиптического интеграла [c.204]

Найдем условие, которому должна удовлетворять функция р(х,у) для того, чтобы выражение (2.65) было интегральным инвариантом уравнений (2.63). При дифференцировании интеграла (2.65) по времени основное затруднение состоит в том, что область G(t), по которой совершается интегрирование, меняется с течением времени. Чтобы обойти эту трудность, перейдем под интегралом от переменных х, у к переменным дгд, с помощью якобиана ) [c.157]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Эти уравнения отличаются от уравнений Гамильтона в тех же отнсилениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре — Картана роль функции Н играет функция К, вместо t стоит <7, и / меняется не от 1 до п, а от 2 до п. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уиттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы. [c.328]

Следствие 9.5.4. Существование интегрального инварианта Пуанкаре-Картана есть необходимое и достаточное условие того, чтобы движение еистемы опиеывалось каноническими уравнениями с функцией Гамильтона, входящей в выражение инварианта. Инва-риантноеть интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики голономных еистем е потенциальными силами. [c.666]

Теорема 9.5.5. (Лиувйлль). Интеграл Л(<) от заданной функции F x,t) по произвольному объему D t) сохраняет свое значение при изменении t (служит интегральным инвариантом) тогда и только тогда, когда справедливо тождество [c.668]

Дифференциальные уравнения движения не только допускают интегральный инвариант (71), но и являются единственными дифференциальными уравнениями, обладающими этим свойством. Поэтому в основу механики можно положить следующий принцип — принцип сохранения количества движения и энергии Движения материальной системы (с вполне голоном-ными связями), находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, управляются дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время, параметры положения и параметры скоростей и эти дифференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что интеграл тензора количество движения —энергия , распространенный на любую непрерывную, линейную, замкнутую последовательность состояний системы, не меняет значения при перемещении этих состояний каким-либо способом вдоль соответственных траекторий ). [c.845]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Теорема. Для того чтобы интеграл f[—7 dt- -pdq] был интегральным инвариантом группы dt/dт = тг, dqfdт = тгМ, dp/dт = тгЛ/ с произвольной функцией тг(<, д, р), необходимо и достаточно [c.291]

Пусть / IR" = .г —> IR — неотрицательная суммируемая функция. Мера dfi = f z)d z называется абсолютно непрерывной, если для каждой измеримой области D С IR" с положительной лебеговой мерой значение интеграла mes(D) = f f d z положительно. Пусть Z = v(z) — динамическая система ид — ее фазовый поток. Мера d i называется инвариантной мерой этой динамической системы, если mes g D)) = mes(D) для любой измеримой области D и для всех значений времени t. Если / — положительная функция класса то инвариантная мера называется интегральным инвариантом. [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...