Градиент скалярного произведения

Вектор Бюргерса Ь может быть представлен как градиент скалярного произведения Ь%, поэтому формулу (14.2.4) можно переписать следующим образом [c.459]

Складывая (2.150) и (2.153) и объединяя члены с градиентом скалярного произведения (и" , и), получаем [c.69]

Градиент скалярного произведения А и В [c.222]

Градиент скалярного произведения [c.841]

Далее по известной формуле, дающей выражение градиента скалярного произведения, имеем [c.450]

Градиент скалярного произведения, векторного произведения, ротор векторного произведения, дивергенция диады, векторного произведения [c.469]

Вводя символ d/ds для дифференцирования вдоль линии тока, вспоминая определение производной по направлению как скалярного произведения градиента на единичный вектор (в данном случае v/v) этого направления и сокращая обе части равенства на pvg (у = pg — удельный вес), получаем [c.256]

Если скорость химических превращений в некоторой области мала по сравнению со скоростями газодинамических процессов, течение полагают замороженным. В этом случае в уравнениях диффузии системы (1.56) члены Wi пренебрежимо малы и уравнение диффузии для установившегося движения может быть записано в виде скалярного произведения вектора скорости на градиент концентрации [c.30]

При наличии двух точек на границе возможно более эффективное движение к экстремуму. Корреляцию к в этом случае можно производить с учетом знака скалярного произведения градиентов в этих точках, а также степени приращения градиента и функции качества. [c.214]

Замечая, что скалярное произведение вектора скорости на градиент скалярной функции пропорционально производной от этой функции по направлению траектории или линии тока, получим равенство [c.98]

Тогда градиент скалярной функции можно рассматривать условно, к к произведение вектора-оператора V на скаляр а [c.49]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Переходим к вычислению вектора перемещения и. Для этого нужно знать по (1.5) скалярное произведение И В и его градиент. Если заметить, что [c.80]

Исследование этих полей приводит к своеобразной операции сворачивания инвариантов группы, порожденной отражениями. Паре инвариантов (функций на пространстве орбит) мы сопоставляем новый инвариант — скалярное произведение градиентов этих функций (поднятых с пространства орбит в исходное евклидово пространство). [c.455]

Нужно учитывать, что теперь поворот ф действует на декартовы компоненты градиента V. В нашем рассмотрении мы смогли перенести действие оператора на функцию от к. Эта процедура аналогична выполненной в (30.1) — (30.10) при рассмотрении блоховских векторов (функций). Таким образом, (3 )2 компонент О к) остаются неизменными, и при вычислении скалярного произведения (107.28) их после умножения на соб- [c.320]

Хотя, согласно внутреннему определению производной, 1 а) является элементом сопряжённого пространства X, градиент есть элемент пространства X, зависящий от скалярного произведения. [c.53]

В качестве первого примера рассмотрим случай, когда X представляет собой пространство К" с эвклидовым скалярным произведением u v =и г . Для дифференцируемой в точке а е 2 вещественнозначной функции / градиент есть век- [c.53]

Упражнение 1.11.2. Доказать, что градиент не зависящего от системы отсчета скаляра есть не зависящий от системы отсчета вектор что собственные числа, след и определитель не зависящего от системы отсчета тензора являются не зависящими от системы отсчета скалярами что собственные векторы такого тензора являются не зависящими от системы отсчета векторами что скалярное произведение двух не зависящих от системы отсчета векторов является не зависящим от системы отсчета скаляром и что тензорное произведение и внешнее произведение не зависящих от системы отсчета векторов являются не зависящими от системы отсчета тензорами. [c.59]

Во-вторых, если m = 1, то поле f называется скалярным полем, поскольку можно рассматривать f как обычную числовую функцию. В силу теоремы представления для числовых функций векторного аргумента V/(x)(u) равняется скалярному произведению некоторого вектора на вектор и. В этом смысле мы можем сказать, что градиент скалярного поля в точке является вектором. Обозначая этот вектор снова через Vf(x), мы имеем [c.514]

В пространстве скоростей соотношение (4.36) означает, что скалярное произведение градиента В на радиус-вектор зависит только от В и, тем самым, одинаково для всех точек некоторой /З-поверхности. Пусть [c.68]

Чтобы показать несовпадение приведенных выше скалярных произведений, рассмотрим прежде всего члены, содержащие градиенты функций. В скалярном произведении (г ), Ьф) этот член имеет вид [c.199]

Определим на множестве инвариантов билинейную симметричную операцию Ф, сопоставляющую паре инвариантов ф и скалярное произведение их евклидовых градиентов в С [c.132]

Разложить тензоры давления Р и градиента скорости Уи на скалярную часть и симметричную и антисимметричную тензорные части записать результат двойного скалярного произведения этих тензоров. [c.20]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Примем теперь во внимание, что частные производные, сюящиевпра-вой части формулы (18.55), являются проекциями градиента, а скалярные произведения — проекциями единичного вектора на координатные оси на этом основании равенство (18.55) можно написать в, следуюидем виде [c.170]

Полный дифференциал функции равен скалярному произведению градиента на радиус-вектор точки М. da = grad и dr. [c.231]

V" - тензорный ранга п дифференциальный оператор У.Р.Гамильтона, V"=V0...0V (полное скалярное произведение V" на тензор ранга т при т п назьшается дивфгенцией л-го порядка этого тензора, тензорное произведение V" на тензор любого ранга назьшается градиентом л-го порядка этого тензора, векторное произведение V" на тензор ранга т при m in называется ротором или вихрем п-го порядка этого тензора) [c.9]

Вычисляя Скалярное произведение градиентов и применяя соотношения Коши — Риманна (30), получим [c.226]

Таким образом, компоненты вектора градиента функциж ожшбки имеют вжд реальной части скалярного произведения [c.180]

Т.е. является в пространстве с данным скалярным произведением унитарным оператором. Свойство сохранения скалярного произведения можно использовать для решения обратных задач дифраыдии. Это в значительной мере упрощает вычисление градиента функционала невязки по а иалогни с тем, как это делается в случае скалярного пр иближения [13--14]. Кроме того, налич ие сохраня ющейся величины можно использовать для контроля правильности решения прямой задачи дифракции. [c.207]

Символ (А, В) обозначает скалярное произведение векторов А и В. Уравнение (а) показывает, что динамический градиент ортогонален своему вихрю, а следовательно, принадлежит к тем самым векторам, которые проф. Жуковский называет незакручивающимися векторами. Условие (а) назовем условием незакручиваемости. [c.22]

Внешние скоокп в правой части выражения (7.1) обозначают скалярное произведение. Выясним геометрический смысл производной функции минимума по направлению. Как это следует из (7.1), производная функции минимума в точке Уо по направлению д равна величине минимальной проекции градиентов тех функций 2 (А ), значения которых в этой точке совпадают с функцией минимума. Проиллюстрируем это свойство па примере функции минимума (см. рис. 28). [c.168]

В дальнейшем при нашем изучении термомеханики мы бу дем опираться на абстрактное неравенство (7). Дадим следующие наименования его членам. Прежде всего назовем ситуа цией упорядоченную пару векторов (а, Ь) из двух конечномерных векторных пространств. Их размерности нигде не участвуют в рассуждениях, и читатель не будет сбит с толку тем, что мы будем использовать одну и ту же точку для обозначения двух различных скалярных произведений — одного в пространстве векторов а и другого в пространстве векторов Ь. Процессом будем называть упорядоченную пару к, ц функций времени, значения которых представляют собой ситуации Х,(/)==а, ix(/) = b. Мы будем описывать соотношение между ними, говоря,- что процесс к, ц) находится в ситуации (а, Ь) в момент t. Чтобы облегчить описание, мы будем иногда называть Ь тер-мическим градиентом, сохраняя термин температурный градиент , Как и прежде, за grad 0. Различная роль функций X, и ц ясна из вида левой части соотношения (7), которая является линейной по X, и fi. Мы будем называть т термомеханическим натяжением, а о, несколько вольно, тепловым потоком. Наконец, скаляр я мы будем называть накопленцем. [c.438]

Сопряженные уравнения отличаются от уравнений (6.54) и (6.55) для потока, во-первых, знаками перед членами, содержащими градиенты функций, как и в односкоростном приближении, и, во-вторых, перестановкой индексов и в сечениях перехода в соответствии с общими свойствами ядра рассеяния, рассмотренными в разд. 6.1.3. Если граничное условие для потока имеет вид п = йдф то длЯ сопряженной функции п = —agфg. Скалярное произведение можно образовать, например, умножая уравнение (6.54) на ф , уравнение (6.55) на, затем складывая их, суммируя результат по всем д и интегрируя по всему объему. [c.214]

Здесь V — трехмерное линейное пространство с топологией, которая создается нормой с равномерной сходимостью. Шестимерное линейное пространство симметричных тензоров с компонент тами обозначено как по следующим причинам. Уравне-1 ние (2.6.1) имеет форму, соответствующую той, которую предпи- сывает теория градиента первого порядка для определяющих величин в механике (в выражение виртуальной работы входят самое большее только первые пространственные градиенты от V ). Так как тензор 1 должен быть объективным и необходимо инвариантно при преобразованиях (2.5.2), то ввиду тривиальной инвариантности скалярного произведения сомножитель при 1 в выражении для должен быть объективен а этот сомножитель есть не что иное, как тензор скоростей деформации О причем О — объективная часть первого пространственного градиента от V (ср. соотношения (2.3.4) и (2.3.5)). Среди возможных полей пространства у некоторые представляют особый интерес. К ним относятся виртуальные поля скоростей абсолютно твердого тела, занимающего объем 5г. Согласно уравнению [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...