Последовательность деформаций конечных плоских

Допуш,ения о характере деформаций. Пере.че-ш,ения, возникающие в конструкции вследствие упругих деформаций, невелики. Поэтому при составлении уравнений статики исходят из размеров недеформированной конструкции — принцип начальных размеров. Перемещения отдельных точек и сечений элементов конструкции прямо пропорциональны нагрузкам, вызвавшим эти перемещения. Конструкции (системы), обладающие указанным свойством, называют линейно деформируемыми. Необходимым условием линейной деформируемости системы является справедливость закона Гука (линейной зависимости между компонентами напряжений и дефор.маций) для ее материала. В некоторых случаях, несмотря на то, что материал конструкции при деформировании следует закону Гука, зависимость между нагрузками и перемещениями нелинейна (например, при продольно-поперечном изгибе бруса, при контактных деформациях). Линейно деформируемые системы подчиняются принципу независимости действия сил и принципу сложения (принципу суперпозиции). Согласно этим принципам, внутренние силовые факторы, напряжения, деформации и перемещения не зависят от последовательности нагружения и определяются только конечным состоянием нагрузок. Результат действия (перемещение и т. п.) группы сил равен сумме результатов действия каждой из сил в отдельности. При рассмотрении раздельного действия на конструкцию каждой из нагрузок необходимо учитывать соответствующие этой нагрузке опорные реакции. Для бруса в большинстве случаев справедлива гипотеза плоских сечений — сечения бруса, плоские и перпендикулярные к его оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси и после деформации. Эта гипотеза не справедлива, в частности, при кручении брусьев некруглого поперечного сечения. Для тонких пластин и оболочек принимают гипо- [c.170]

И. Простой сдвиг в пластичной среде. В этом параграфе пока еще не рассматривались конечные пластические деформации с поворотом главных осей напряжения и деформации. Чтобы найти геометрическое представление путей деформирования и для таких пластических состояний деформации, рассмотрим в качестве примера случай последовательности простых сдвигов, когда направления главных напряжений и деформаций поворачиваются относительно материальных элементов пластичной среды и относительно друг друга. Простой сдвиг отвечает случаю плоской деформации с поворотом. В несжимаемом материале это состояние однородной конечной плоской деформации характеризуется двумя равными по величине и противоположными по знаку [c.114]

Рис. 2.20. Последовательность конечных плоских деформаций.

Рис, 2.24. Последовательности конечных плоских деформаций, (2.204) для проведения которых требуется минимальная работа. [c.131]

Рис. 2.28. Последовательности конечных плоских деформаций без поворотов главных направлений напряжения.

Рис. 2.31. Три последовательности конечных плоских деформаций, которые

Точное аналитическое решение задачи для одиночного эллипсоидального включения при малых деформациях подробно рассмотрено в [186, 281]. Для решения задач при конечных деформациях могут быть применены приближенные методы метод малого параметра, метод последовательных приближений [119, 120, 125, 127, 373, 380 или метод Ньютона-Канторовича [120, 127]. Нри решении задач о плоской деформации линеаризованная задача может быть решена с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили 104, 105, 186. [c.331]

В данной главе рассмотрены приближенные аналитические методы решения класса плоских задач теории многократного наложения больших деформаций, а именно задач о последовательном образовании концентраторов напряжений в телах из упругого или вязкоупругого материала, когда образование каждого нового концентратора напряжений ведет к появлению в теле дополнительных конечных деформаций, которые накладываются на уже имеющиеся в теле конечные деформации. [c.45]

В дальнейшем под термином аналитические методы будем понимать методы, позволяющие получить решение краевой задачи в виде аналитической функции (скалярной или векторной), удовлетворяющей точно или приближенно уравнениям и граничным условиям этой задачи. Если метод позволяет получить решение, которое точно удовлетворяет как уравнениям краевой задачи во всей области, в которой она решается, так и граничным условиям на всей границе этой области (или на той части границы, на которой они заданы), за исключением, возможно, конечного числа точек, то метод является точным для данной задачи или класса задач. Например, метод Колосова-Мусхелишвили 65] является точным методом решения плоских статических задач линейной теории упругости для односвязных областей, которые могут быть конформно отображены на единичный круг с помощью дробно-рациональной функции. Для многих классов задач точные аналитические решения неизвестны. Это, например, плоские статические задачи линейной упругости для многосвязных областей или статические задачи нелинейной теории упругости при конечных деформациях. Только отдельные задачи этих классов имеют точное аналитическое решение. Существуют методы, позволяющие свести решение таких задач к последовательному решению более простых задач, для каждой из которых точное аналитическое решение может быть найдено. Например, при решении задач линейной упругости для много- [c.45]

Главные дифференциалы приращения тензора деформаций для рассматриваемого состояния плоской деформации удовлетворяют соотношениям (2.115) — (2.119) и условиям аг = —(1г2 и /8з = 0. Так как этим деформациям отвечают главные напряжения о = —02, аз = 0, отношения которых остаются постоянными во время всего процесса деформирования, то уравнения (2.118) можно проинтегрировать и записать в конечном виде ) 81 = —82, 83 = 0, и в виде соотношений, получающихся циклической перестановкой индексов 1, 2, 3. В плоскости деформаций 81 + 82 + 83 = = 0 эти три группы уравнений представляются тремя прямыми, пересекающимися в начале координат О и наклоненными под одинаковыми углами в 60°. Это приводит нас к предположению, что последовательность постых сдвигов (состояние плоской деформации с поворотом) можно представить в виде прямолинейного пути 81 = —82, 83=0, который точка Q с координатами 8ь 82, 83, откладываемыми в направлениях действия главных напряжений аь 02, о проходит вдоль 05з (рис. 2.11). Считая, что последовательность простых сдвигов осуществляется, как и в 2.3, В, в направлении оси х, мы можем воспользоваться выражениями, которые были там выведены и справедливы для состояния простого сдвига независимо от природы материала, а именно выражениями [c.115]

Поскольку предыдущая непрерывная последовательность деформирований, проводимых при постоянных 82/81, 83/81 и сочетающихся с бесконечно малыми поворотами, требует той же работы, то принцип минимальной работы справедлив и для нее. Здесь не было дано никакого доказательства существования последовательности деформирований, обладающей тем свойством, что во время ее проведения главные оси напряжения и конечной деформации, поворачиваясь при переходе из начального положения в конечное соответственно, совпадают с тремя взаимно перпендикулярными линиями, образованными одними и теми же материальными точками. Однако в следующем параграфе будет дано доказательство для общего случая плоской конечной деформации. [c.121]

Поскольку при рассматриваемых чистых сдвигах с поворотом, которые следуют по путям деформирования, изображаемым равнобочными гиперболами [уравнение (2.207)], отношение главных натуральных деформаций 81/82 =—1 остается постоянным, то на основании сказанного в 2.5, В и Ж мы ожидаем, что совершенная при этом работа оз, только что вычисленная в выражении (2.210), представляет минимальную работу в идеально пластичной среде при осуществлении в ней различных последовательностей плоских деформирований, приводящих к заданным конечным удлинениям Яь Я2=1/Я-1, Яз=1. [c.133]

Метод конечных элементов применяется в настоящее время к различным физическим задачам. Однако книга Галлагера концентрирует внимание читателя исключительно на приложениях к теории упругости и анализу конструкций. Это позволяет автору кроме теоретических основ метода последовательно и полно изложить материал, относящийся к решению осесимметричных и плоских задач теории упругости (случай плоской деформации и плоского напряженного состояния), задач теории оболочек и изгиба пластин, а также задач анализа упругой устойчивости. [c.5]

Рассмотрим сначала результаты решения этой задачи для материала Трелоара при плоской деформации для случая, когда форма отверстия задана в момент образования. На рис. 5.7 приведены графики концентрации напряжений в точке контура отверстия, лежащей на оси х (в этой точке концентрация напряжений максимальна) и перемещений в направлении оси Х2 точки контура, лежащей на этой оси (эти перемещения обозначены через v). Расчеты выполнены методом последовательных приближений. Кружками на рисунке отмечены результаты пересчета задачи в координатах конечного состояния. Через Rq обозначен радиус отверстия в момент образования. Цифры О и [c.158]

Рис. 5.9. Концентрация напряжений (Jipip/p в точке А в зависимости от напряжений на бесконечности р при наличии давления р на контуре отверстия. Плоская деформация. Материал Трелоара. Расчет методом последовательных приближений с пересчетом в координатах конечного состояния

Рис. 5.26. Концентрация напряжений сг р р/р в вершине эллипса в зависимости от напряжений на бесконечности р. Плоская деформация. Материал Тре-лоара. Расчет методом последовательных приближений с пересчетом в координатах конечного состояния, а — отверстие образуется в предварительно нагруженном теле, б— нагрузки прикладываются после образования отверстия

Механическая работа в случае, когда задана последовав тельность плоских деформирований. Чтобы избежать выписывания несущественных постоянных членов и при вычислении работы деформации пояснять выкладки наиболее простым из возможных способов, представим себе теперь последовательность состояний плоских деформирований, происходящих так, что угол рх все время остается равным нулю Рх = 0. Это деформирование, таким образом, состоит из простых конечных сдвигов уз в направлении оси X, сочетающихся с одновременным растяжением или сжатием линейных элементов, параллельных оси х (и соответствующими изменениями длин, параллельных наклонным сторонам ромбоида ORSQ на рис. 2.20). Этот вид плоской деформации, на котором будут основаны дальнейщие вычисления, выражается линейным преобразованием простейшего вида, полу [c.125]

Теперь после определения посредством уравнений (2.188) общего класса плоской деформации мы докажем, что на путях, изображаемых семейством равнобочных гипербол [уравнение (2.207)], механическая работа о) достигает экстремума. Это означает, что нужно найти последовательность плоских конечных деформирований Р Кх, Уз) =0, для которой определенный интеграл, выражаюи ий совершенную напряжениями механическую работу [c.134]

Условия неустойчивого распространения небольших расслоений Ь 5 0,Ы и 5 = 0,5-20 мм) анализировали на основе решений плоской задачи теории упругости (плоская деформация) для пластин с внешними границами, свободными от нагрузок. Результаты расчетов на ЭВМ методом конечных элементов получены для пластин, имеющих изолированное расслоение в виде прямозггольной щели, а также два-три таких ВР, расположенных на разных уровнях по высоте пластины, при нанесении на контур расслоения в результате последовательного сгущения от 14 до 50 узлов. Предполагали, что ВР растет по нормали к направлению наибольшего растягивающего напряжения. Учитывая ступенчатый характер ВР, место и направление развития (параллельно или перпендикулярно) взаимодействующих расслоений на разных уровнях определяли, сравнивая напряжения и Оу, действующие на контуре. В результате расчетов для случая расслоения с притупленной вершиной, длина которого изменялась от 0,1< до 0,5t (t - толщина стенки конструкции), получили зависимость Ь = /(Ь), характеризующую возможный мгновенный рост изолированного ВР в центральной [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...