Функция положительно-определенная

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из tjy отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов, [c.213]

Таким образом, для диссипативной системы функция Релея является положительно определенной квадратичной формой, и в уравнениях движения [c.216]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Доказательство. По условию теоремы имеется непрерывная положительно определенная функция И (х) такая, что [c.568]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

Заметим, наконец, что для положительно определенной функции V постоянная С > О, для отрицательно определенной С< 0. [c.222]

Коэффициенты этой положительно определенной квадратичной формы являются функциями координат точек системы qj и не зависят явно от времени. Они называются иногда коэффициентами инерции . Происхождение этого названия объясняется физическим смыслом этих коэффициентов в частных случаях, как было показано выше. [c.228]

Если выполняется достаточное условие устойчивости равновесия, то функция П, определенная равенством (11.173), будет положительно определенной квадратичной формой обобщенных координат. [c.230]

Рассмотрим скалярную положительно определенную функцию [c.255]

Докажем теорему I, придерживаясь схемы, рассмотренной в 85 ). Предположим для определенности, что V — положительно определенная функция, а V — функция отрицательная, или равная тождественно нулю. [c.341]

Пусть наименьшее значение, которое принимает положительно определенная функция V в области изменения координат, [c.342]

V определенно-положительна (рис. 2.3, а), и внутрь поверхности V — с, если функция V определенно-отрица-тельна (рис. 2.3, б). [c.35]

Если функция V определенно-положительна, то областью V О будет вся окрестность нуля. Для отрицательных функций V область F О не существует. [c.49]

Функция Vi определенно-положительна относительно величин [c.61]

Если параметры системы удовлетворяют неравенству (2.59), то будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости 2.3. Действительно, функция V определенно-положительна, а ее производная согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59), отрицательна вне К и равна нулю я К i = О, и ф 0). Поэтому равновесное состояние системы i — = 0, U = О будет асимптотически устойчиво относительно тока [c.74]

Так как функция V, определенная равенством (6.110), может принимать положительные значения (например, при q = = у), то доказательство теоремы 2 следует из теоремы Н. Н. Красовского о неустойчивости движения [c.194]

Функция V определенно-положительная. Если нам удастся подобрать такие постоянные два числа С а D, при которых производная V будет определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. Составим матрицу коэффициентов функции Т [c.226]

Энергетический метод определяет величину нагрузки, для которой полная потенциальная энергия (сумма энергии упругой деформации и потенциальной энергии внешних сил) идеального тела перестает быть существенно положительной определенной функцией для всех малых статических допустимых вариаций. Это происходит, когда нагрузка Р приближается к собственному значению Р. . Энергетический метод является мощным практическим средством приближенного вычисления критической нагрузки, получившим большое развитие в работах С. П. Тимошенко [102]. [c.257]

Рассмотрим некоторые примеры. Обратимся к ранее изученному оператору — (Ри/с1х = 2, заданному на отрезке [О, 1] при краевых условиях (0) = н(1) = 0. Этот оператор — положительно определенный. Решением краевой задачи является функция и — х —х), которая минимизирует функционал [c.137]

Тогда спектр оператора оказывается расположенным на отрезке ш Я М. Действительно, положим, что Я < т, тогда (Аи — — Хи,и) (т — Х)(и,и). Следовательно, оператор А — ХЕ положительно определенный, поэтому обратный оператор (А — ХЕ)- существует и, следовательно, значения X <С т не принадлежат спектру оператора А. Аналогичные рассуждения проводятся для точек полупрямой Я > М. Покажем также, что собственные функции, соответствующие различным значениям Я1 и Ха, ортогональны между собой. Имеем [c.145]

Можно показать, что форма a v,v) является положительно определенной на V. Для этого достаточно обратиться к неравенству Фридрихса (11.43). Легко также доказать, что при этом условии функционал (12.84) является выпуклой функцией. Представим теперь условие выпуклости функционала (12,94) в форме, отличной от (12.93). Исходим, естественно, из (12.93) [c.159]

Перейдем к вопросу о единственности решений и начнем с рассмотрения статических задач. Будем предполагать, что оператор Ламе от смещений является интегрируемой функцией. Тогда для этих смещений в области О, ограниченной, вообще говоря, кусочно-гладкой поверхностью 5, справедливо третье неравенство Бетти (4.26) гл. И. Пусть 1 (р) и 2(р) — два различных регулярных решения, удовлетворяющие одним и тем же краевым условиям первой, второй или сразу в общем случае смешанной задач. Тогда интеграл в правой части (4.26) гл. II для разности смещений окажется равным нулю. Поскольку же подынтегральное выражение в левой части является положительно определенной формой, то из равенства нулю интеграла будет следовать, что подынтегральное выражение есть тождественный нуль. Следовательно, напряжения будут обращаться в нуль, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Однако в случае первой и смешанной задач необходимо исключить это смещение, поскольку тогда нарушаются условия на той части границы, где заданы смещения. [c.251]

Интеграл по области от положительно определенной функции равен нулю только тогда, когда эта функция равна нулю во всех точках, а это возможно лишь тогда, когда всюду вц, а следовательно, и Oij равны нулю. Таким образом, нулевым граничным условиям могут соответствовать только нулевые решения. Этим и доказывается теорема единственности. [c.246]

Фигурирующая под интегралом квадратичная форма положительно определенна для любой разумной модели материала, для которой справедлива теорема единственности ( 8.4). Можно показать, что если функция U всюду строго выпукла, т. е. если эта квадратичная форма положительна всюду, функционал имеет абсолютный максимум для истинного поля перемещений. Если it есть некоторое поле перемещений, не представляющее собою решение рассматриваемой задачи теории упругости, а гл — истинное поле перемещений, то [c.259]

Но Т есть положительно определенная квадратичная функция от скоростей й., U — вследствие предположения о выпуклости потенциала — положительно определенная функция от деформаций вц. Поэтому равенство (13.1.4) будет выполнено лишь в том случае, если [c.431]

Математически это можно выразить, заменив п, и какой-нибудь функцией, положительной во всей области определения, например [c.164]

Оптимальный технологический режим нанесения рассчитывался из условия существования экстремума выражения (1), т. е. равенства нулю частных производных величины пористости по каждому из режимных параметров. Наличие минимума функции (а нас интересует именно минимальная пористость) проверялось по достаточным условиям существования экстремума функции многих переменных непрерывности вторых частных производных и положительной определенности квадратичной формы второго дифференциала [3]. [c.89]

Если функция Релея (24) является положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей, то говорят о полной диссипации энергии. В этом случае систему мы будем называть определенно-диссипативной. У такой системы, согласно формуле (26), полная энергия строго убывает. [c.63]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Определение 8.6.2. Функция У(1,х) называется знакоопределенной положительно определенной или отрицательно определенной), если в ее области определения существует непрерывная скалярная функция / х) такая, что либо > Ж(х) > О при х 9 О [c.568]

Функция V называется знакоопределенной, если она однозначна, непрерывна, не зависит от времени t и для достаточно малых по абсолютным значениям координат Хг имеет определенный знак, не обращаясь в нуль. Начало координат является нулем функции V. Если функция V зависит от I, то ее называют знакоопределенной тогда, когда можно указать такую независимую от t положительно определенную функцию , чтобы одно из выражений V—W или —(V + ) было бы положительной [c.219]

Эту функцию, в соответствии с 206 первого тома, назовем функцией рассеяния, или диссипативной функцией. Как видно из формулы (II. 198а), функция рассеяния построена аналогично кинетической энергии. Выражая скорости точек системы через обобщенные скорости, найдем, что функция рассеяния — положительно определенная квадратичная форма обобщенных скоростей [c.255]

Если функция V определенно-отрицательна, то функция — V будет определенно положительной. Поэтому достаточным условием онределенной отрицательности функции V будет критерий Сильвестра (2.9) для матрицы —С. Этот критерий имеет вид [c.32]

V = j снаружи внутрь. Действительно, по условию теоремы функция V определенно-положительна, а вне К производная f С О (рис. 2.7 )). Предполо ким теперь, что при своем движении изображаюш,ая точка М попала на многообразие К. Очевидно, что на этом многообразии [c.42]

Из этих выражений видно, что при х > 3/ оба условия будут выполнены и, следовательно, функция будет определенно-положительной относительно х ,. Гг,, а с )ункция V — определепно-поло-нштельной относительно х , Х2, жд, х , х , что и доказывает устойчивость стационарного движеиия искусственного спутника Земли относительно величин г, г, 0, 0, ф 1). [c.61]

Функцию V t, Xt,. .., Хп) будем называть знакоонределенной только при условии, если для нее возможно найти такую не зависящую от t положительно определенную функцию W xi,. ... .., Хп), при которой одно нз двух выражений V—W или —V — W представляло бы функцию положительную. [c.245]

Проблема сходимости приближенных решений, построенных по методу Бубнова — Галеркина, к точному решению в том случае, когда оператор — положительно определенный, эквивалентна аналогичной проблеме для процесса Ритца, и поэтому нет нужды в ее самостоятельном рассмотрении. Для других случаев такие исследования выполнены. Рассматривался, например [178], вопрос о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода и было показано, что решение по методу Бубнова — Галеркина совпадает с решением, получаемым при замене ядра на вырожденное при разложении его в ряд по произведениям координатных функций. [c.154]

Поскольку Ф(оц) представляет собой положительно определенную функцию Оу, интеграл от нее по объему V есть положительно определенная функция от Q,. Поверхностны11 интеграл в (8.7.6) выражает работу сил, приложенных к поверхности, ее можно также записать через обобщенные силы и перемещения. В результате функционал (8.7.6) перепишется следующим образом [c.262]

И вследствие выпуклости функции U подынтегральное выражение положительно определенно. Точно так же показывается, что функционал Кастилья-но принимает минимальное значение для истинного распределения моментов. Относительно функционала Рейснера подобное заключение сделать нельзя. [c.411]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...