Маклорена теорема

Маклорена теорема в гидростатике 64в [c.808]

Отметим, что ни одна из этих двух теорем не служит обращением другой. Их доказательства основаны на формулах Тэйлора—Юнга и Тэйлора—Маклорена (теорема 1.3-3), применённых к дважды дифференцируемым функциям. [c.57]

Интегрирование этой формулы в пределах от Яо до < и применение теоремы Маклорена [c.268]

Теорема 2. Равновесное положение системы является положением неустойчивого равновесия, если потенциальная энергия системы в этом положении имеет максимум при этом наличие максимума устанавливается членами наименее высокого порядка малости, действительно входящими в разложение уравнения потенциальной энергии в ряд Маклорена. [c.17]

Если предположить, что функцию f можно разложить в ряд Маклорена, то можно дать другое алгебраическое доказательство П-теоремы, понять которое, быть может, легче. Мы приведем здесь это доказательство и некоторые связанные с ним результаты, чтобы полнее разъяснить понятие однородности по размерности. Прежде всего отметим следующие очевидные следствия из теоремы Эйлера об однородных функциях. [c.129]

По теореме Маклорена имеем [c.394]

Ось диполя направлена от стока к источнику. Эти результаты следуют также из теоремы Маклорена, если использовать замечание в конце п. 15.20. Так, если ф1 = 1/г, когда а мало, то [c.435]

Метод Шаля. Французский геометр Шаль, опираясь на теоремы Ньютона, Маклорена и Лапласа, дал геометрическое решение задачи о притяжении однородным сплошным эллипсоидом внешней точки. Изложением метода Шаля теперь и займемся. [c.763]

Заметим, что при вьшолнении условий теоремы могут существовать независимые интегралы с зависимыми (при некоторых значениях е) квадратичными частями их разложений Маклорена. Вот простой пример канонические уравнения с гамильтонианом [c.320]

Разлагая согласно теореме Маклорена [c.166]

Теорема Маклорена. Силовые функции двух однородных софокусных эллипсоидов на внешнюю точку относятся как массы этих эллипсоидов. [c.126]

Смысл терминов. Предполагается, что уравнение получено в результате составления уравнений движения всех тел системы и последующего исключения реакций Рассмотрим отклонение системы от положения равновесия Обозначим величину отклонения х Если х известно, то положение любой точки может быть установлено из уравнений геометрических связей, наложенных на систему. Поэтому отклонение любой точки т является некоторой функцией от х, и так как для малых колебаний квадратом х можно пренебречь, то по теореме Маклорена имеем = О + Нх, где О и Я суть некоторые постоянные, зависящие от положения рассматриваемой точки системы Эффективными силами, приложенными к т, являются 1) Нтх, направленная по касательной к дуге ее траектории, и 2) центробежная сила, пропорциональная и которой можно пренебречь Поэтому в дифференциальном уравнении эффективные силы приводят к членам вида х. [c.381]

Согласно теореме Маклорена, взятой в символической форме, значение F x, у, z) в некоторой точке Р поверхности сферы радиуса г может быть написано так [c.103]

Рассматривая формулу (1) как уравнение относительно у, мы в принципе можем выразить у через аил например, если пренебречь а, то мы получим приближенно у = j + (jf). Предположим теперь, что у = /(а, лг) есть решение уравнения (1). Тогда F(y) может быть выражена через а и j , и применение теоремы Маклорена дает [c.43]

Эйлера — Маклорена формула суммирования 214 Эйлера теорема 131 [c.448]

За верхнюю границу у следует брать наибольший положительный корень этого урав1 ения. Из теоремы Маклорена получаем искомую оценку для у [c.156]

Ляпунов сначала занялся исследованием вопроса об устойчивости эллипсоидных форм равновесия вращающейся жидкости этой проблеме посвящена была его магистерская днссертащтя (1884). В этой работе он ввел определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы (теорема Лагранжа—Дирихле), не может быть безоговорочно перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее он установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым, величины. В частности, он дал полный разбор вопроса об устойчивости некоторых ранее известных фигур равновесия, так называемых эллипсоидов Маклорена и Якоби. [c.266]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Историческая справка. Имеются некоторые разногласия относительно авторства П-теоремы. Ваши ) получил этот результат в 1892 г., но он не сформулировал своих исходных допущений. Он указал использованный выше метод, но его рассуждения настолько загадочны, что никто не воспроизводил его доказательства. Букингем ( 47], 48]) дал в 1914 г. первое доказательство П-теоремы, но только для частного случая, когда функцию f можно разложить в ряд Маклорена, и до недавних пор это было единственное общепринятое доказательство ). Недавно Рябушинский и А. Мартино-Лягард [52], разъяснив соображения Ваши, получили гораздо более общее доказательство ). [c.129]

Применив предыдущие рассуждения к ряду Маклорена, получим доказательство Букингема П-теоремы по-видимому, оно [c.131]

Г. В том частном случае, когда все заданные силы являются силами тяжести, мы имеем V = MgZ . В частности, если система имеет одну степень свободы и является плоской фигурой, движущейся в своей плоскости Оху, то надо исследовать траекторию Г ее центра тяжести 1) найти прежде всего те ее точки, в которых касательная к Г горизонтальна 2) если в такой точке кривая Г направлена вогнутостью вверх, то имеем минимум ординаты центра тяжести, т. е. минимум потенциальной энергии, и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво 3) если в точке М вогнутость направлена вниз (случай максимума), или если имеем точку перегиба, то по теоремам Ляпунова можно утверждать, что равновесие неустойчиво, если разложение ординаты у точки С в окрестности точки М в ряд Маклорена по степеням обобщенной координаты qi начинается с члена, содержащего q, — в противном случае необходимо рассмотрение [c.499]

Если точка С лежит выше точки Со, то потенциальная энергия имеет в этом положении системы максимум, ее разложение в ряд Маклорена по степеням обобщенной координаты или абсциссы X начинается с членов второго порядка и по теореме Ляпунова равновесие неустойчиво. Если же точка С совпадает с точкой Со, т. е. лежит на круге перегибов, то указанное раз-ложение лачинается с членов не ниже третьего порядка в этом случае необходимо более детальное исследование — его можно проделать и геометрическими методами, но для этого нужны дополнительные сведения по кинематической геометрии ) по- [c.500]

Теорема Маклорена. Два эллаптичесшх слоя, ограниченных софокусными эллипсоидами, или два софокусных сплошных эллипсоида притягивают внешнюю точку силами одинаково направленными, величины которых относятся, как массы эллипсоидов ила эллиптических слоев. [c.758]

Подчеркнем, что в теореме Ито квадратичные формы рядов Маклорена функций G2,..., G могут оказаться вырожденными или вообще отсутствовать. Кроме того, отсутствует предположение об инволютивности функций С к. Дело в том, что в предполо- [c.127]

Ряд Маклорена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной формы. Конечно, уравнения Гамильтона могут допускать вырожденный интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 2тг-периодические по t интегргшы, представимые в окрестности точки х = у = О сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18) составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в окрестности начала координат. [c.318]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

Другое направление в исследовании устойчивости сплошных сред, позволяюш ее успешно решать конкретные задачи, связано с распространением на сплошные среды теорем Лагранжа и Рауса. Как известно, названные теоремы были доказаны для систем е конечным числом степеней свободы задолго до создания Ляпуновым теории устойчивости однако их можно доказать и на основе теоремы Ляпунова об устойчивости. Как уже упоминалось во введении, Ляпунов ввел определение устойчивости формы равновесия жидкости и установил теорему, сводящую вопрос об устойчивости формы равновесия вращающейся жидкости к решению задачи минимума функционала, представляющего собой измененную энергию системы. Задача минимума была решена А. М. Ляпуновым в его работах 1884 и особенно 1908 г. (Собр. соч., т. 3, 1959), что позволило ему получить строгие заключения об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости в форме эллипсоидов Маклорена и Якоби, а также некоторых фигур, производных от последних. [c.32]

Лагранж, Гаусс и Дирихле дали методы, позволяющие найти выражение для силовой функции однородного эллипсоида для случая, когда нритягивае.мая точка лежит внутри него. Затем теоремы Лапласа, Айвори и ]Маклорена позволили найти, почти уже без вычислений, силовую функцию и для внешней точки. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...