Циркуляция вдоль замкнутой криво

Теорема Кельвина. Циркуляция вдоль замкнутой кривой не зависит от времени, т. е. [c.17]

Р = пг — площадь тела вращения или площадь вихревого шнура. Следовательно, циркуляция вдоль замкнутой кривой равна удвоенному произведению площади на угловую скорость. Здесь характерной величиной оказывается отношение [c.417]

Образуя аналогичные произведения в точках Q, / ,... и т. д. вдоль всей кривой снова до точки Р, мы определим циркуляцию вектора скорости вдоль замкнутой кривой С соотношением [c.55]

Если С является замкнутой кривой, ограничивающей область то скалярная величина К будет представлять собой циркуляцию вдоль этой кривой (см. п. 2.42) и по теореме Стокса [c.551]

Величина криволинейного интеграла скорости, взятого вдоль замкнутой кривой, называется циркуляцией и обозначается буквой Г. Применяя для интеграла вдоль замкнутой кривой знак мы можем написать [c.83]

Здесь 5 - произвольная поверхность, ограниченная контуром х и - единичный вектор нормали. Кро.ме того, учтена связь (1.1) между ротором скорости и завихренностью. Правило обхода контура показано на рисунке. Соотношение (1.7) означает, что поток вихря через произвольную открытую поверхность равен циркуляции скорости вдоль замкнутой кривой. Но это утверждение справедливо для односвязных областей течения, где любой замкнутый контур является стягиваемым. [c.26]

Теорема Стокса. Циркуляция вдоль замкнутой линии равна потоку вихрей, пересекающему поверхность с, опирающуюся на кривую 5 (см. фиг. [c.16]

Это напряжение постоянно вдоль трубки. В самом деле, так как вихри касательны к поверхности трубки, циркуляция по замкнутой кривой равна нулю (фиг. 2.1). Отсюда следует, что так как работа скорости на 5 и взаимно уничтожается, то циркуляции вдоль и 2 равны . Поэтому [c.23]

Для любой замкнутой кривой, проведенной внутри поперечного сечения и целиком лежащей внутри материала, первый и второй интегралы (174) представляют собой линейный интеграл от тангенциальной компоненты касательного напряжения т, взятого вдоль кривой, и по аналогии с циркуляцией в гидродинамике, его можно назвать циркуляцией касательных напряжений. Тогда соотношение (175) сохраняет силу и его можно назвать теоремой о циркуляции касательных напряжений. [c.336]

Пусть порядок связности области будет п + 1, так что в ней можно провести п независимых просто неприводимых замкнутых кривых а , Оа,..., Оп. Пусть циркуляции по этим замкнутым кривым будут соответственно х ,..., Знак каждого ж будет зависеть, естественно, от направления интегрирования вдоль соответствующей замкнутой кривой мы назовем направление, по которому взято х, положительным направлением замкнутой кривой. Значение циркуляции по другой произвольной замкнутой кривой можно сразу определить. В самом деле, данная замкнутая кривая должна быть переводимой в какую-либо комбинацию кривых а ,..., ап, а может при этом проходиться Рг раз, а —р раз и т. д., причем р , естественно, будет отрицательным, если соответствующая замкнутая кривая про- [c.70]

Исходя из существования потенциала скоростей как основной характеристики того класса движений, который мы намереваемся изучать, и принимая второе данное в 48 определение п-Ь 1-связной области, мы замечаем, что в односвязной области всякая поверхность уровня (поверхность равного потенциала) или должна быть замкнутой поверхностью, или должна представлять перегородку, разбивающую область на две отдельные части. Отсюда, предполагая, что проведена целая система таких поверхностей, мы видим, что всякая замкнутая кривая, которая пересекает однажды произвольную из заданных эквипотенциальных поверхностей, должна пересечь ее вторично, но в противоположном направлении. Поэтому каждому элементу этой кривой, заключенному между двумя последовательными эквипотенциальными поверхностями, соответствует второй элемент кривой, такой, что поток вдоль второго, будучи равным разности соответствующих значений tp, равен и противоположен потоку вдоль первого. Поэтому величина циркуляции вдоль всей замкнутой кривой равна нулю. [c.72]

Мы можем образовать циркуляцию любого вектора вдоль некоторой замкнутой кривой. [c.55]

Если движение начинается из состояния покоя, то вначале, т. е. до возникновения движения, циркуляция вдоль каждой замкнутой жидкой линии заведомо равна нулю, поэтому и в дальнейшем она остается все время равной нулю. Но если в какой-нибудь области криволинейный интеграл вдоль любой замкнутой кривой равен нулю, то криволинейный интеграл, взятый от одной точки А до какой-нибудь другой точки В рассматриваемой области, не зависит от пути, по которому производится интегрирование. В самом деле, пройдя из точки А в точку В по какому-нибудь пути, вернемся по этому же пути назад в точку А, а затем пройдем опять в точку В по новому пути. Мы получим сумму трех криволинейных интегралов Л1 -Ь Лг -Ь Л3, которая пусть равна а. Из этих интегралов первые два взаимно уничтожаются, так как при прохождении в разные стороны по одному и тому же пути направления всех элементов д,з изменяются на противоположные, следовательно, интеграл Л3, взятый по новому пути из А в В, равен а. С другой стороны сумма интегралов Л2 - - Лз равна нулю, так как она составлена для замкнутой кривой, поэтому первый интеграл, взятый по старому пути от А к В, равен Лх = а. Следовательно, Л1 = Л3, что и требовалось доказать. [c.83]

Последний член в скобках можно отбросить как величину более высокого порядка малости по сравнению с первым членом, сумма же первых двух членов равна нулю согласно приведенному выше равенству. Таким образом, при рассмотренном движении циркуляция вдоль любой замкнутой малой кривой равна нулю, следовательно, это движение потенциальное. Обратно, можно доказать (см. ниже), что если течение [c.87]

В самом деле, в состоянии покоя циркуляция вдоль всякой замкнутой кривой равна нулю, поэтому она должна остаться равной нулю и после начала движения. В действительности же циркуляция, как правило, возникает, и причиной этого является образование поверхности раздела. Так, например, в спиральной камере, изображенной на рис. 36, в первый момент начала движения образуется на остром ребре к поверхность раздела, из которой возникает вихрь такого же вида, как на рис. 43. В дальнейшем вихрь отрывается от ребра и уплывает вместе с потоком, но вызванная им циркуляция остается в потоке на все время. Совершенно аналогичная картина наблюдается и при движении крыла. В начале движения поток под крылом огибает заднюю кромку крыла снизу вверх (рис. 64), вследствие чего здесь образуется поверхность раздела, превращающаяся в вихрь (рис. 66). В дальнейшем вихрь отрывается от крыла и уплывает вместе с потоком, но оставляет в нем циркуляцию, равную по абсолютной величине своей циркуляции, но противоположно направленную. При этом вдоль жидких линий, заключающих внутри себя крыло и вихрь вместе, циркуляция остается равной нулю, как этого и требует теорема Томсона. [c.105]

Для установления этих положений проведем в потоке замкнутую линию, состоящую из двух петель А п Б вокруг вихревого шнура и двух отрезков АБ и БА (рис. ХХ.21). Эта линия путем непрерывного преобразования может быть стянута в точку, следовательно, циркуляция вдоль нее равна нулю. Циркуляция вдоль этой линии складывается из циркуляций вдоль примыкающих друг к другу отрезков АБ и БЛ и циркуляции вдоль петель Л и Б. Так как циркуляции вдоль примыкающих друг к другу отрезков АБ и БА взаимно уничтожаются, то и циркуляции вдоль петель равны и обратны по знаку. Проведенная нами замкнутая кривая огибает вихревой шнур около Л и Б в противоположных направлениях. Отсюда вытекает, что циркуляции около А и Б, взятые в одном направлении, будут одинаковы. Если бы вихревой шнур оканчивался где-либо внутри жидкости, то одну из петель можно было бы спять с вихревого шнура и тем самым лишить ее циркуляции в этом случае и вторая петля должна была бы потерять свою циркуляцию, что невозможно. Отсюда приходим к положению Гельмгольца вихревой шнур не может оканчиваться нигде внутри жидкости и имеет везде одинаковую циркуляцию. [c.423]

Вычислим циркуляцию вектора Т (8.1) вдоль произвольной плоской замкнутой кривой L, проходящей внутри профиля стержня, [c.254]

Несмотря на то, что в двусвязном пространстве безвихревое движение возможно независимо от нормальных скоростей на поверхности, такое движение нельзя получить ни с помощью консервативных сил, ни с помощью движения, сообщенного извне (в какое-либо предшествующее время) поверхности, ограничивающей жидкость действительно, мы доказали, что если жидкость находилась вначале в покое, то в ней никогда не может быть циркуляции вдоль какой-либо замкнутой кривой. Отсюда — это справедливо как для многосвязных, так и для односвязных пространств,— если жидкость приводится в движение произвольной деформацией границы, то вся масса приходит в состояние покоя, как только движение границы прекращается [c.21]

Следовательно, циркуляция вдоль замкнутой кривой равна удвоенному произведению площади на угловую скорость. Здесь характерной величиной оказывается отно- [c.421]

Определение циркуляции вдоль замкнутой кривой в плоско-параллель-И0Л1 потоке (гл. IV, 1) как интеграла тангенциальных составляющих скорости вдоль кривой может быть сразу распространено и на более общий случай трехразмерного потока, б з того ограничения, что кривая должна лежать в одной плоскости. Разбив поверхность, ограниченную этой кривой, иа сеть, при помощи серии пересекающихся линий, можно показать, что циркуляция вдоль кривой равна сумме циркуляций вокруг элементарных площадок, образующих эту сеть. [c.93]

Резюме. Циркуляция является инвариантом движения фазовой жидкости. Она представляет собой величину Pidqi, проинтегрированную вдоль произ-вольнай замкнутой кривой фазового пространства. Инвариантность циркуляции имеет для фазовой жидкости тот же смысл, что и теорема Гельмгольца для идеальной физической жидкости обе они утверждают сохраняемость вихрей. [c.214]

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции S. Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, билинейную дифференциальную форму , инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине ds в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния. [c.245]

Поскольку инвариантность циркуляции, взятой вдоль любой замкнутой кривой L, является характерным свойством канонических преобразований, это же свойство может быть выражено как инвариантность скобок Лагранжа [и, v] каноническими яв.шотся те преобразования от переменных <7/. Pi Qi Pi которые оставляют инвариантными скобки Лагранжа, независимо от того, как qi, pi зависят от и и V. Смысл этой инвариантности состоит в том, что, заменив координаты qi, pi в результате канонического преобразования координатами Q,-, Pi и образовав затем скобки Лагранжа в новой системе координат, мы получим то же самое значение, что и раньше. [c.246]

Здесь dS — замкнутая кривая, ограничивающая поверхность 5, (rot п) — проекция на внеш. нормаль к поверхности. Согласно С. ф., циркуляция векторного поля а вдоль любой замкнутой кривой (левая часть равенства) равна потоку поля rote через поверхность, опирающуюся на эту кривую. Из С. ф. следует, что циркуляция безвихревого поля (т. е. такого, что rota S 0) вдоль любой замкнутой кривой равна 0. С. ф. и Гаусса — Остроградского формула являются частными случаями Стокса теоремы, к-рая связывает между собой интегралы от внешних дифференциальных форм разных размерностей. М. Б. менекий. [c.691]

Таким образом, мы можем объяснить явление подъемной силы, если вокруг тела действительно сугцествует циркуляция. Для читателя, которому нравится мыслить математическими или геометрическими терминами, отмечу, что он может обобгцить определение циркуляции, взяв среднее значение касательной составляющей скорости вдоль произвольной замкнутой кривой, окрз жающей тело, и умножив его па длину дуги этой кривой. Если течение безвихревое, то это произведение имеет одинаковое значение, независимое от выбора кривой. Таким образом, мы имеем общее определение циркуляции, обобщенное на основе циркуляционного течения с круговыми линиями тока. Если мы возьмем замкнутую кривую, которая не охватывает тело, но окружает только жидкость, то циркуляция вокруг кривой будет равна нулю. [c.48]

Потенциальное течение с циркуляцией. Подъемная сила крыла. Эффект Магнуса. Хотя при всех потенциальных течениях циркуляция в любой малой области потока равна нулю, тем не менее существуют такие потенциальные потоки, в которых циркуляция для всего потока в целом не равна нулю. Правда, необходимым условием для этого является многосвязность области, в которой происходит течение. Область пространства или плоскости называется многосвязной, если в ней можно провести такие замкнутые кривые, которые нельзя стянуть в точку, не разрывая их, т.е. не выходя за пределы области. Примерами двухсвязной области могут служить комната с колонной посредине или область вокруг кольца. Пусть поток занимает многосвязную область, в каждой односвязной части которой частицы движутся без вращения, следовательно, в каждой такой части циркуляция равна нулю. Далее, пусть в рассматриваемой области циркуляция вдоль какой-нибудь кривой, которую нельзя стянуть в точку, равна Г. Тогда, как легко доказать, циркуляция вдоль любой другой кривой, которую нельзя стянуть в точку и которая получается из первой непрерывной деформацией, также равна Г. В 10 мы определили потенциал в заданной точке как значение криволинейного интеграла при интегрировании между фиксированной точкой и заданной точкой. Поскольку теперь в потоке существуют замкнутые кривые, вдоль которых циркуляция не равна нулю, а имеет некоторое значение Г, то это означает, что потенциал такого потока не является больше однозначным наоборот. [c.102]

После того как мы выяснили, что образование циркуляции вокруг крыла необходимо связано с образованием начального вихря, легко показать, что возникновение циркуляции не противоречит теореме Томсона. Вообразим сначала тело, покоящееся относите 1ьно жидкости, и проведем вокруг него замкнутую жидкую линию (путь интегрирования циркуляции фиг. 127), Приведем теперь тело в движение. Тпк как проведенная нами жидкая линия окружала крыло в состоянии покоя, то она будет окружать его и в состоянии движения, и следовательно, внутри нее будет заключаться кроме крыла также и начальный вихрь (фиг. 128). Но циркуляция вокруг крыла, как это ясно видно из фиг, 55 таблицы 22, равна по величине и противоположна по направлению циркуляции начального вихря, вследствие чего линейный интеграл скорости вдоль замкнутой жидкой линии остается равным нулю и при движении. Обратно, если предположить, что справедлива теорема Томсона, го отсюда будет следовать, что циркуляция вокруг крыла равна по величине и противоположна по направлению циркуляции начального вихря. В самом деле, так как кривая на фиг. 129 окружала кры- [c.180]

Циркуляция. Под многосвязной областью пространства или плоскости жидкости будем понимать такие области, в которых нельзя стянуть в точку замкнутые кривые, не разрывая их и не уходя за их пределы, например область -моря вокруг острова. Допустим, что в рассматриваемой о бласти циркуляция вдоль какой-либо кривой, которую нельзя стянуть в точку, равна Ц. Тогда довольно просто показать, что циркуляция вдоль любой другой такой же кривой, которая получается из первой непрерывной деформацией, также равна Ц. Но если в потоке су-ш,ествуют замкнутые кривые, вдоль которых циркуляция имеет некоторое значение Ц, а не равна нулю, то это равносильно тому, что потенциал такого потока оказывается многозначным, рассматривая при этом под значением потенциала в данной точке величину криволинейного интеграла при интегрировании между фиксированной и заданной точками. Многозначный потенциал увеличивается при каждом обходе нестягивае-мой в точку кривой на величину Я. Циркуляция скорости определяется криволинейным интегралом (рис. XIX.16) вида [c.416]

Теоремы Гельмгольца. Теоремы Гельмгольца (Helmholtz), касающиеся важных соотношений, которые наблюдаются при движении идеальной жидкости с вращением частиц, выведены им на основе электродинамических представлений. Однако следствия из этих теорем могут быть легко доказаны при рассмотрении вихревого шнура в потенциальном потоке. Потенциальное движение с циркуляцией, как показано выше, является многосвязной областью, где циркуляция одинакова вдоль всех кривых, если их можно перевести друг в друга, не пересекая границ области. Из этого свойства следует, во-первых, что циркуляция вокруг вихревого шнура в одно и то же время во всех точках должна быть одинаковой и, во-вторых, что вихревой шнур должен либо представлять замкнутую кривую, либо достигать своими концами границ жидкости. [c.419]

Линиями тока этого потока будут концентрические окружности инте-грал от скорости, взятый по окружности какой-нибудь из этих линий тока, имеет постоянную величину называемую циркуляцией потока. Вообще Ркуляция по некоторой замкнутой кривой определяется как интеграл касательной составляющей скорости, взятый вдоль этой кривой. Г усть Удет V величина скорости в некоторой точке.Р замкнутой кривой С н а—угол [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...