Вывод амплитудного уравнения

Опишем принципиальную схему вывода амплитудного уравнения, основанного на применении метода многих масштабов, для случая невырожденной колебательной неустойчивости. Для краткости представим уравнения (33.2) в матричной форме [c.231]

Рассмотрим сначала частный класс вторичных течений, для которых величина и = и — Uq не зависит от у. Можно повторить процедуру вывода амплитудных уравнений и прийти к (33.25) либо (33.27). Отличие состоит в том, что функции зависят теперь только от координаты j , а интегрирование по сечению цилиндра заменяется интегрированием по х в пределах от — 1 до 1. [c.236]

Рассмотрим сначала припороговую область. Повторяя вывод амплитудных уравнений (36.4) с сохранением зависимости амплитудных функций от медленных пространственных переменных, можно прийти к системе, аналогичной (33.26) [c.264]

Вывод амплитудного уравнения. Перейдем к решению задачи (1.2.6)-(1.2.8), (1.2.16)-(1.2.18). В первом порядке разложения по малому параметру уравнения (1.2.6)-(1.2.8) дают [c.28]

Вывод амплитудного уравнения для квадратных ячеек (4.2.6) не отличается принципиально от приведенного выше вывода для плоского случая. В третьем порядке по возникают резонансные слагаемые, дающие для амплитуд А ж С систему уравнений [c.172]

Метод взаимодействующих мод привел, в целом, к известному прогрессу в понимании эволюции конечных возмущений. В то же время нужно сказать, что и при выборе самих первичных мод и при отборе наиболее эффективных взаимодействий широко применяются интуитивные модельные представления, справедливость которых далеко не всегда очевидна. В ряде случаев оказывается, что более полный учет взаимодействий приводит к появлению новых стационарных состояний и меняет выводы, касающиеся устойчивости. По этой причине многие результаты теории взаимодействующих мод подвергаются сомнению (см. Р]). Дальнейшее развитие метода требует рассмотрения всего континуума первичных возмущений и более полного учета существенных взаимодействий. В этом плане представляют интерес работы Р] и Р ]. В Р] рассмотрение ведется на основе весьма общих феноменологических амплитудных уравнений, а в [2 ] задача об эволюции возмущений трактуется с позиций теории случайных процессов. [c.148]

Вывод уравнений для амплитуд аналогичен приведенному в 33. Система амплитудных уравнений, получаемая из условий разрешимости в третьем порядке по малому параметру, приводится к виду (ср. (33.27)) [c.262]

В случае, если оператор og (xo, 0)/ox невырожден, хо является простым корнем амплитудного уравнения. По теореме о неявной функции система (17) имеет в этом случае единственное решение для достаточно малых значений /i, этот же вывод справедлив для основного уравнения (1). Построению данного решения и сопутствующим оценкам посвящен следующий раздел. [c.410]

В данной главе рассматриваются свободные и вынужденные установившиеся гармонические колебания стержневых систем. Как и в статике, точные дифференциальные уравнения гармонических колебаний стержней являются нелинейными. Упрощая задачи динамики, нелинейные уравнения линеаризуют. Точность решений линейных уравнений удовлетворяют требованиям инженерных расчетов при //г > 10, поэтому они используются в инженерной практике. Линейные дифференциальные уравнения содержат частные производные по координате х и времени t. Методом Фурье разделения переменных уравнения с частными производными сводятся к уравнениям с обычными производными, описывающими перемещения стержня в амплитудном состоянии. Принцип Д Аламбера, используемый при выводе дифференциальных уравнений, позволяет рассматривать задачи динамики как задачи статики. Поэтому ниже применены предложенные правила знаков для амплитудных значений граничных параметров и нагрузки в 1.2, 1.4. [c.91]

Анализируя полученные выше результаты в отношении получения необходимой механической амплитудной и фазовой частотной характеристик для балансировки иа магнитном подвесе можно сделать следующий вывод при выполнении условий, определяемых уравнениями (3), (4), (5), (И), (17), (19), балансировка в МП удобна, легко автоматизируется, может обеспечивать точность до 2 Ю" гем. [c.44]

При гармонических колебаниях системы каждый ее элемент (стержень) совершает колебания с той же частотой и неизвестными амплитудами Zi перемещений и поворотов крайних сечений. Для составления уравнений динамического равновесия системы вначале изучают реакции стержня на гармонические перемещения и повороты его крайних сечений с амплитудами, равными единице, и выводят специальные функции для вычисления его амплитудных жесткостей. [c.102]

Разрешающее уравнение для антисимметричного теплового изгиба выводим следующим образом. Вводим амплитудные значения деформаций x i, хе , к еь поперечных усилий Qei> изгибающих и крутящего моментов Mri, Mqi, по формулам [c.149]

На рис. 134 представлен результат решения системы уравнений при заданном относительном изменении длины маятника (е=0,095). Эта амплитудно-частотная характеристика позволяет сделать важные выводы о поведении осциллятора. Штриховая кривая относится к случаю а, сплошная кривая — к случаю б. Две кривые определяют геометрическое место всех пар значений амплитуды фо и относительной частоты й/шо, для которых возможны периодические решения рассматриваемого здесь вида. [c.177]

Это все неонсиданные выгоды. Основная цель — найти общий пособ вывода амплитудного уравнения, и фактически мы уже включили кинематическую теорию, предложенную в 11.5 для описания геометрии волнового процесса. Уравнения (11.80) и (11.82) дают в точности такую же теорию. [c.378]

В гл. II мы многократно выводили дифференциальные уравнения для амплитуды а и фазы г ) (амплитудно-фазовые уравнения) колебательных систем при использовании метода усреднения. Здесь изложим другой алгоритм построения амплитудно-фазовых уравнений первого приближения (вида (2.144)), не требующий предварительного написания возмущенных уравнений вида (2.133). Этот алгоритм основан на применении так называемого энергетического метода [147], хорошо известного в уравнениях математической физики. Для построения уравнений первого приближения достаточно знать некоторое выражение для работы возмущающих сил, а не сами силы, входящие в уравнения Лагранжа второго рода (2.128) или (2.133),.В ряде случаев это существенно упрощает задачу. Чтобы не загромождать суть дела большим количеством громоздких формул и выкладок, вернемся к задаче (см. 2.9) о построении приближенных решений системы (2.133), близких к одночастотпым колебаниям с медленно изменяющейся частотой (оДт). [c.171]

Необходимое напряжение на ускоряющих электродах зависит от скорости изменения магнитного поля. Если магнит возбуждается за 60 циклов, то амплитудное значение величины ( lf)dEoldt составляет 2300 В. (Бетатронный член, содержащий dF jdt, составляет примерно 1/5 этой величины, и им можно пренебречь.) Если положить V = 10 000 В, наибольший сдвиг фазы будет 13°. Число оборотов на одно колебание фазы будет колебаться в процессе ускорения в пределах от 22 до 440. Относительное изменение Ео за один период колебания фазы составляет 6,3% во время инжекции, с последующим уменьшением. Таким образом, остается в силе предположение о медленном изменении за период, сделанное при выводе уравнений. Потеря энергии на излучение рассматривается в следующем письме в редакцию, в котором показано, что в данном случае она несущественна. [c.413]

Таким образом, решение задачи свелось к последовательности решений системы алгебраических уравнений (4.16) при различных формах волнообразования (т, п). Основные операции получения матрицы разрешающей системы Ктп, как видно из (4.17), сводятся к перемножению трех матриц. Компоненты вектор-столбца свободных членов Р вычисляются согласно (4.18). После решения системы алгебраических уравнений для каждой гармоники волнообразования проводится вычисление амплитудных значений обобщенных деформаций Далее в точках вывода результатов (х , Х2н) определяются обобщенные деформации emn x k,x2k) mn и производится суммирование результатов. После окончания набора обобщенных деформаций в точках вывода можно вычислить деформации в любом слое в системе координат (0X1X22) панели, а затем определить деформации в системе координат, связанной со слоем. С использованием соотношений упругости для однонаправленного слоя вычисляются напряжения вдоль, поперек армирования и на сдвиг в плоскости слоя. Средние напряжения поперечного сдвига можно оценить отношением перерезывающей силы к толщине панели. [c.178]

После решения системы алгебраических уравнений (5.13) для каждой гармоники волнообразования проводится вычисление амплитудных значений обобщенных деформаций е п = = LmnXmn, далее определяются обобщенные деформации в точках вывода (J=K. Ук) Pemn (Хи, Ук) тч И проводит-ся суммирование результатов. После окончания набора обобщенных деформаций в точках вывода можно вычислить деформации в любом слое в системе координат х, у, г к определить деформации в системе координат, связанной со слоем. С использованием соотношений упругости для однонаправленного слоя вычисляются напряжения вдоль, поперек армирования и на сдвиг в плоскости слоя. Средние напряжения поперечного сдвига можно оценить отношением перерезывающей силы к толщине панели. [c.408]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...