Энергии плотность ферми-газа

Для неограниченной среды состояние свободного электрона определяется его импульсом р и проекцией спина на ось г. Низшим состоянием по энергии является, конечно, состояние с импульсом р = 0. Но в это состояние согласно квантово-механическому принципу Паули (гл. П, 8) нельзя поместить больше двух электронов. Поэтому все остальные электроны должны последовательно заполнять состояния с отличными от нуля импульсами р. Можно показать, что величина граничного импульса рр (импульса Ферми), до которого все состояния в электронном газе заполнены при нулевой температуре, следующим образом связана с плотностью электронного газа [c.610]

Соответственно граничная энергия Ер (энергия Ферми) связана с плотностью электронного газа соотношением [c.610]

До рассмотрения решения Томаса—Ферми полезно проанализировать более простую модель. Величина < > считается просто равной кинетической энергии свободного электронного газа с плотностью р, а <У> рассчитывается в предположении однородной плотности дырок внутри сферы ВЗ при диэлектрической постоянной К. Это дает [c.156]

Первый член равен энергии основного состояния ферми-газа при данной плотности, в чем нетрудно убедиться, показав, что [c.254]

Решение. В качестве модели электронного газа используем низкотемпературный (9 4 ер) идеальный ферми-газ — N заряженных (eэ , = -е) частиц в объеме V, на однородном положительно заряженном фоне (модель желе ) с плотностью заряда р = еЫ/У. Эта модель, игнорирующая не только пространственную структуру ионной решетки металла и соответствующие изменения геометрии поверхности Ферми (см. гл. 2, 2, п. в) 3), но и вклад относительно тяжелых и малоподвижных (по сравнению с электронами) ионов в общие термодинамические характеристики системы, достаточно распространена в электронной теории металлов как самая простая и однокомпонентная. Удельные значения внутренней энергии, энтропии, теплоемкости и свободной энергии определяются выражениями (см. 2, п. в)-2) [c.290]

Приведенная величина того же порядка, что и наша оценка энергии Ферми для электронов в белом карлике (см. (44)). Таким образом, релятивистские эффекты существенны, но не преобладают. Однако при значениях плотности, превышающих принятые в наших оценках, необходимо уже считать ферми-газ релятивистским [70]. [c.204]

Используя граничную энергию Ферми ер не только как меру плотности идеального ферми-газа, но и как масштабную единицу энергии, исключая величину С, учитывая симметрию подынтегральной функции в оставшемся интеграле, позволяющую заменить его на удвоенный интеграл по области О у<оо,а затем, взяв его по частям, свести к стандартному виду, получим, подставив выписанное ранее значение для /(2), [c.527]

Формулу для теплоемкости электронного газа можно получить, если известны зависимости энергии Ферми и полной энергии электронов от температуры. Для нахождения этих зависимостей необходимо знать распределение электронных состояний по энергии,, которое является наиболее важной характеристикой электронного энергетического спектра. Введем понятие плотности состояний. Снова, как это мы делали для -пространства (рис. 6.4), в пространстве импульсов построим сферы с радиусами р и p+dp. Объем сферического слоя толщиной dp [c.179]

В этих условиях прежде всего необходимо выяснить, какие из понятий, связанных с кристаллом, сохраняют смысл и в применении к неупорядоченным системам. Одно из таких понятий, одинаково пригодное для кристаллических и некристаллических веществ, — это плотность состояний N(E). Оно вводится еще в элементарной теории идеального газа и, как мы видели, широко используется в физике твердого тела. Величина jV( ) d представляет собой число состояний в единичном объеме, допустимых для электрона с заданным спином и с энергией в интервале от Е до E-j-dE. В аморфных веществах состояния могут быть заняты или свободны и произведение E)f E)dE есть число занятых состояний в единичном объеме. Здесь f E) — функция Ферми — Дирака [c.356]

Классические теории предсказывают, что каждый свободный электрон должен иметь теплоемкость, равную Зко/2. Тогда металл с одним Свободны м электроном на атом должен иметь выше температуры Дебая теплоемкость 37,5 Дж/(моль-К) по сравнению с 25 Дж/(моль-К) для неметалла (необходимо учесть, что концентрация электронов в металле составляет около 10 см ). Но эксперименты показывают. что дополнительная теплоемкость электронного газа в металле очень мала и пропорциональна абсолютной температуре. Плотность разрешенных состояний описывается формулой (3.24), если потенциальная энергия электрона внутри металла не меняется. Поэтому в соответствии с равенствами (3.24) и (3. 19) уровень Ферми занимает такое положение, что [c.108]

Применение законов термодинамики ограничено высокими плотностями, где энергия плазмы и ее давление определяются не электрическим взаимодействием, а явлением вырождения. При этом если энергия вырождения (энергия Ферми) велика по сравнению с тепловой и электростатической энергией, то энергия и давление плазмы будут определяться энергией и давлением вырожденного электронного газа. Энергия и давление вырожденного электронного газа находятся методами статистической физики. [c.232]

С увеличением плотности и, следовательно, граничной энергии Ферми электронного газа будут появляться, ядра со все большей верхней границей р-спектра. В конце концов атомные ядра окажутся настолько перегруженными нейтронами, что захват электронов будет сопровождаться испусканием свободных нейтронов [c.612]

Для вычисления энергии Ферми по формуле (23.7) необходимо знать плотность газа. Возьмем типичный одновалентный металл, например серебро. Плотность серебра равна р = 10 г/см . Отсюда число электронов в 1 см (или равное ему число атомов серебра в 1 см ) равно [c.161]

Согласно гипотезе Ландау спектр квазичастиц в изотропной ферми-жидкости с сильным взаимодействием между частицами построен по тому же типу, что и в идеальном газе. Это означает, что существует некоторое значение р , которое, по теории Ландау, связано с плотностью частиц тем же соотношением, что в идеальном газе (формула (2.5)). Есть два типа квазичастиц частицы с р> Ро и античастицы с р < ро Их энергии для случая Р—Р0 < Ро соответственно равны [c.25]

Общая схема термодинамического описания плотного газа при высоких температурах в рамках модели Томаса — Ферми была изложена в начале предыдущего параграфа. Обобщение уравнений модели холодной атомной ячейки на случай отличной от нуля температуры производится элементарно. В основе лежит уравнение Пуассона (3.97) для электростатического потенциала в ячейке ф (г) ), который по-прежнему удовлетворяет граничным условиям (3.99) и (3.100), а также полагается равным нулю на границе ячейки для целесообразного отсчета потенциальной энергии. Однако вместо простого соотношения (3.96), связывающего электронную плотность п (г) с потенциалом, теперь появляется интегральное соотношение (3.93) с функцией распределения / р), зависящей от температуры по формуле (3.91), где энергия электрона выражается, как и раньше, формулой (3.95). [c.198]

В приближении газовой модели ферми-жидкость электронов проводимости можно рассматривать как газ квазичастиц — электронов и дырок. Обозначим через р энергию Ферми (точнее, это химический потенциал). Тогда плотность свободных носителей заряда можно принять равной п = поТ/е-р, где щ — плотность электронов зоны проводимости, Т — температура, выраженная в энергетических единицах. Приближенно будем считать, что при е > р мы имеем дело со свободными электронами с равновесным распределением [c.251]

Для объяснения явления ферромагнетизма в квантовой теории используются два основных подхода. Один из них основан на предложенной Френкелем модели коллективизированных электронов, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака. Эта модель учитывает обменное взаимодействие. В теории показано, что при некоторой плотности электронного газа возможно появление самопроизвольного намагниченного состояния вне зависимости от того, что кинетическая энергия электронов при этом увеличивается. Напомним еще раз, что увеличение кинетической энергии связано с тем, что, в силу принципа Паули, электроны с параллельной ориентацией спина не могут з нимать один энергетический уровень. Поэтому при перевороте спина электрон вынужден занять состояние с большей энергией. В настоящее время, однако, существует мнение, что газ электронов проводимости, по-видимому, не является )ерромагнитным ни при каких условиях. Строгое доказательство этого пока отсутствует. В то же время ни в одном эксперименте не было обнаружено ферромагнетизма металлов, не содержащих атомов или ионов с недостроенными d- или /-оболочками. Появление ферромагнетизма в системе d- или /-электронов связано с аномально высокой (по сравнению с s-электронами) плотностью состояний в - и /-зонах. [c.337]

В 1980 обнаружен новый тип явлений, к-рый также носит характер М. к. э.,— квантовый. Холла аффект. Он наблюдается при низких темп-рах в инверсном слое — двумерной системе электронов, удерживаемых вблизи границы раздела двух полупроводников перпендикулярным к границе электрич. полем. При наложении перпендикулярного слою магн. поля Н энерге-тич. спектр электронов разбивается на дискретные уровни Ландау. В вырожденном электронном газе заполнены те уровни Ландау, к-рые лежат ниже энергии ферми-газа, причём на каждом уровне может находиться (на единице поверхности слоя) eHih электронов, Холловская компонента тензора поверхностной проводимости Од,у в сильном магн, поле равна —Ne /H, где N поверхностная плотность электронов. Если уровень Ферми лежит между п-м п п 1)-м уровнями Ландау, то W = еН/кс)п и [c.31]

Начнем с более простого случая ферми-газа. Пусть плотность такой системы остается постоянной, а температура понижается. Частицы тогда будут стремиться распределиться так, чтобы энергия была минимальной. Однако в силу принципа Паули они не могут скапливаться на каком-либо одном уровне. При приближении температуры к нулю энергетически наиболее выгодно такое распределение, при котором частицы заполняют подряд все уровни от низшего до некоторого предельного, пока все частицы не окажутся распределенными. При этом на каждом заполненном уровне находится по одной частице (или, если он вырожден, по g частиц). Этот предельный уровень называется энергией Ферми и обозначается как Ър. Таким образом, фермирнный газ имеет значительную нулевую энергию при Т = 0. Мы увидим, что в последнем заключается наиболее важное отличие от бозонного газа. [c.192]

Здесь верхний знак относится к Ферми-газу, а нижний к Бозе-газу. В случае Бозе-газа выражение для Пр справедливо только для темп-р выше темп-ры вырождения Го, При Г < Т о в состоянии с р = 0.будет находиться макроскопически большое число частиц п , пропорциональное полному числу частиц N. Поэтому (Дге ) яз гг это означает, по существу, что Ф, обращается в бесконечность. Конечная величина Ф, получается, если учесть взаимодействие между частицами. Приведенные ф-лы для Ф, энергии и числа частпц следуют из точных квантовых статистич, распределений и поэтому справедливы независимо от природы и масштаба Ф, Для нахождения малых Ф, величин, поведение к-рых классично, может быть применен термодинамич, подход, разработанный А. Эйнштейном, Если неполное равновесие термодинамич, системы характеризуется определенным значением нек-роп физич. величины, отличающимся от равновесного значения, то плотность вероятности обнаружить от- [c.319]

Ферми-газы в астрофизике, а) Масса Солнца =2-10 г. Оценить число электронов в вещеегве Солнца. В звездах типа белых карликов вследствие ионизации электроны свободны, а поскольку плотность таких звезд очень велика, то л<е количество электронов разместилось бы в объеме шара радиусом г-Ю - см. Определить энергию Ферми электронов в этом случае. [c.279]

Замечая, что коэффициент при во внутренней скобке равен 0,0217 < 1 и учитывая физически осмысленное условие а < I, мы можем, даже не располагая еше оценкой для температуры плазмы, с полным правом пренебречь влиянием нескомпенсированности плотностей кварков и антикварков на значение полной плотности энергии системы. В задаче 22 мы сделали это Сразу, положив п+ = п и /i = О, и получили, что плотность энергии электрон-позитронного газа в 1,75 раза больше плотности электромагнитного излучения. В данном случае мы получили практически тот же заранее ожидаемый результат с той только разницей, что плотность энергии кварк-антикваркового ультрарелятивистского идеального ферми-газа + к — 2мк за счет оговоренных нами значений 7 = 16 и 7 = 12 в 1,312 раза превосходит плотность энергии равновесного газа глюонов щ (соотношение соответственно 56,8 % и 43,2 %, то же относится и к сопоставлению парциальных давлений). В результате для искомой температурной оценки сдерживающего мешок давления получаем (Г — в градусах Кельвина) [c.247]

Если же рассматривать электроны как вырожденный ферми-газ, то следует учитывать, что электроны заполняют все уровня в зоне проводимости вплоть до уровня Ферми хо = кТо (> кТ). Тепловая энергия, равная по порядку величины кТ, не может возбудить электронов с низколежащих уровней в силу принципа Паули. Поглотить энергию кТ и перейти на свободные уровни могут лишь электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми. Это обусловлено тем, что в вырожденном случае функция распределения Ферми резко падает от 1 до О в области шириной порядка кТ вблизи уровня Ферми. Таким образом, число электронов, которые могут испытать тепловое возбуждение, имеет величину порядка МТ1То, так что вклад их в атомную теплоемкость имеет порядок ( /г) КТ Но, т. е. пренебрежимо мал при Г <С Го- Полагая, что плотность состояний дается формулой (4.9). получаем для хр [c.287]

Согласно принципу Паули, два электрона не могут находиться в одном атоме в одинаковых квантовых состояниях (т. е. обладать четырьмя одинаковыми квантовыми числами). Этот принцип был распространен впоследствии на совокупность электронов в молекуле, а Ферми [27] ч Дсграк [28 применили его к случаю идеализированного электронного газа. Следствием этого явился вывод, что совокупность свободных частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, должна обладать некоторой нулевой кинетической энергией. Верхний предел величины импульса определяется просто линейной плотностью частиц, т. е. p ai . (ср. с соотношением Де- [c.158]

Учет других обменных членов сводится просто к добавлению энергии Wu. к энергии Ек отдельной частицы. Эта энергия, если ее включить в рассмотрение, вызывает существенные отличия только при больших длинах волн. В обычной теории электронного газа, как известно, обменная энергия Wк приводит к очень малой плотности состояний на поверхности Ферми, а при низких температурах — к удельной теплоемкости, которая значительно меньше, чем наблюдаемая. Бом и Пайне показали, что если в коллективном описании учесть экранировку полей электро- [c.763]

В действительности М. с. имеет более сложную природу, и методы её расчёта основаны на зонной теории твёрдого тела. В наиб, простом варианте характер М. с. определяется двумя факторами. С одной стороны, при сближении металлич. атомов волновые ф-ции электронов перекрываются и электрон имеет возможность перемещаться в более широкой области пространства (чем в изолированном атоме), где он имеет более низкую потенциальную анергию. С др. стороны, при сжатии электронного газа возрастает энергия Ферми i F, а с ней ср. кинетлч. анергия электронов Равновесная плотность электронов соответствует минимуму полной энергии. Расстояние между ионами, при к-ром это условие реализуется, можно считать атомным радиусом металла (рис.). [c.107]

Т. Тоя [48] на основе квантово-механической теории электронного газа в металле показал, что существует два совершенно различных состояния адсорбированных на металле водородных атомов г-состояние, обусловленное адсорбцией в обычном смысле, когда адатом располагается вне электронной поверхности металла, и s-состояние, при котором адатом затянут внутрь электронной поверхности . Электронной поверхностью Т. Тоя называет поверхность, на которой происходит резкий спад электронной плотности металла. Энергия г- и s- o to- > яний для одного и того же металла различна на разных кри-vA сталлографических гранях. Энергия г-адатома тем ниже, чем - менее плотно упакована кристаллографическая плоскость. Энер-ГИЯ s-адатома также имеет более низкое значение на менее V плотной кристаллографической грани вследствие меньшего отталкивания, обусловленного ионами металла, но сильно зависит ют работы выхода соответствующей грани [48]. Согласно [49], существование s-состояния адатома возможно благодаря тому обстоятельству, что кинетическая энергия в модели Томаса— Ферми [c.17]

Для электронного газа большой плотности, т, е, гри г Оо в 1 Сг, = [3/(4яп)] /з т- среднее расстояние между электронами, а = К 1е т — боронений радиус], можно приближенно вычислить энергию нижнего состояния Е = 4-Ч- Еобм+ корр> — энергия Ферми, Еод — обменная [c.260]

При описании плотного газа по методу Томаса — Ферми не делается различия между свободными и связанными электронами, и газ считается состоящим не из ионов и электронов, как при малых плотностях, а из ядер и электронов, даа подчиняются статистике Больцмаца и вносят свой вклад в полные давление и удельную тепловую энергию. Прп высоких температурах этот вклад соответствует обычному одноатомному газу [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...