Функции распределения и статистическая сумма

Кроме этих прагматических соображений, есть и другое, гораздо более глубокое обоснование целесообразности разработки метода функций распределения. Метод статистических сумм, хотя он и весьма изящен, является совершенно замкнутым. При выводе выражений с помощью статистической суммы используется определенная функциональная форма равновесного ансамбля. Невозможно определить, скажем, неравновесную статистическую сумму. Напротив, представление о частичных функциях распределения применимо как для равновесных, так и для неравновесных систем. Следовательно, это единственная универсальная формулировка, устанавливающая связь между равновесной и неравновесной теориями. В развитии такой универсальной теории должна заключаться и заключается основная цель современной статистической механики. [c.255]

Исследование свойств многочастичных систем сводится, как мы видели, или к вычислению статистического интеграла (статистической суммы) Zn, или к определению функций распределения комплексов частиц И тот и другой подходы в общем случае систем взаимодействующих частиц представляют собой сложную задачу. [c.226]

Как указано в [Л. 1, 2 и >116], для получения точного уравнения состояния многоатомного с большой плотностью газа или жидкости необходимо пользоваться методом статистической суммы Zn или методом радиальной функции распределения g(r). [c.5]

Имеется гораздо более важное соображение, говорящее в пользу изучения парной функции распределения, а не статистической суммы в случае плотных газов и жидкостей. Парную функцию распределения со всеми ее особенностями можно определить [c.283]

Положение не так просто, когда некоторые из нормальных типов движения имеют один и тот над период. В этом случае введение бесконечно малых сил может полностью изменить нормальные типы движения. Однако, сумма парциальных энергий для всех первоначальных типов колебаний, обладающих тем или иным одинаковым периодом, будет почти тождественна (как функция фазы, т. е. координат и импульсов) сумме парциальных энергий для нормальных типов колебаний, имеющих тот же самый или почти тот же самый период после добавления новых сил. Если поэтому парциальные энергии в показателях первых двух ансамблей (101) и (102), соответствующие типам колебаний, имеющих одинаковый период, имеют один и тот же делитель, то то же самое будет иметь место и для показателя (103)s ансамбля из комбинированны систем и представляемое ил распределение будет лишь бесконечно мало отличаться от распределения, которое осталось бы в статистическом равновесии и после введения новых сил ). [c.50]

Поскольку метод случайных блужданий имеет очень важное значение в статистической оптике, мы изложим в данном приложении обобщение теории, рассмотренной в гл. 2, 9. Там было сделано предположение о том, что фазы отдельных фазоров, входящих в сумму, независимы н однородно распределены по интервалу (—я, я). Здесь мы получим результаты, применимые н в том случае, когда фазы имеют произвольную плотность распределения Рф(ф). оставаясь при этом одинаково распределенными и независимыми. Характеристическую функцию, соответствующую плотности распределения фазы, обозначим через Мф(ш). [c.504]

Представления о движении молекул в жидкости, высказанные впервые Френкелем [1], находят применение в ячеечных теориях жидкости. Сумма по состояниям рассчитывается для модели, согласно которой каждая частица в жидкости движется в некоторой ячейке, созданной ближайшими к ней другими молекулами. Возможны другие модификации этой модели учет корреляции в движении молекул в разных ячейках, учет свободных мест в решетке, в основном в ближней координационной сфере, различные способы расчета самосогласованного поля, действующего на молекулу в ячейке. Однако существующие ячеечные теории не дают надежного способа расчета структуры жидкости, т. е. радиальной функции распределения на основе знания лишь молекулярных сил и общих принципов статистической механики. Имеющиеся способы расчета функции р(г) в рамках теории ячеек основаны на предположении, что в жидкости сохраняется кристаллическая решетка твердого тела. [c.87]

Перейдем от изучения структуры жидкости ( 2.11 и 2.12) к расчету соответствующих термодинамических характеристик. Казалось бы, путь ясен зная статистическую сумму (2.33), надо вычислить свободную энергию и все другие термодинамические величины. Однако хотя общая формула (2.33) и служила отправной точкой при выводе различных соотношений типа (2.40), содержащих потенциальную энергию взаимодействия атомов (1, 2) и последовательные функции распределения g (1, 2), g (1, 2, 3) и т. д., сама функция Z в явном виде не вычислялась. Это вычисление (см. 6.4) оказывается значительно более трудным и менее надежным, чем работа с некоторыми тождествами, которые легко получить из выражений (2.34) и (2.35), дифференцируя по макроскопическим переменным Г и F (см., например, [4. 5]). Если, как в формуле (2.32), учесть лишь двухчастичные взаимодействия, то во все [c.253]

Функции Z (Г, F) и n - можно интерпретировать соответственно как большую статистическую сумму и как функцию распределения для случая идеального газа с 1 = 0. [c.273]

Как вероятности заполнения рабочих мест в системах А и В зависят от параметров модели Равновесное, т.е. наиболее вероятное состояние объединенной системы, будет определяться температурой и миграционным потенциалом системы. Функцию распределения агентов по системам А и В можно легко вычислить, используя большую статистическую сумму 5.6 . [c.55]

Для примера вычислим среднее число выбросов для случая, когда процесс задан в виде суммы гауссовского процесса Xi (t) и линейной функции (t) = ао + с нормально распределенными статистически независимыми коэффициентами и Oi, Уровень X будем считать случайной величиной с нормальным законом распределения. Среднее значение этого уровня обозначим через X, а дисперсию через si. Тогда среднее число выбросов рассматриваемого процесса за уровень х [c.111]

Перейдем теперь к расчету статистических характеристик величин Z] и Z2. Каждая из компонент векторов и т] является суммой большого числа независимых между собой случайных слагаемых и поэтому с достаточно хорошей точностью эти компоненты можно считать нормально распределенными случайными величинами. С учетом этого предположения нетрудно, воспользовавшись известными методами, найти аналитические выражения для характеристических функций величин Zi и Z . Опуская традиционные, но в данном случае чрезвычайно громоздкие преобразования мы ограничимся тем, что сформулируем лишь окончательный результат— как следует из анализа характеристических функций величин Zi и Z2, при достаточно мощном сигнале (гё 1) распределения величин Zi и Z2 достаточно точно аппроксимируются нормальными распределениями с параметрами [c.144]

При не слишком малом т распределение р У х х,1а) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако, если то можно использовать то обстоятельство, что правая часть (9.24) в этом случае может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по не-пересекающимся интервалам времени продолжительности > Т, и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому можно думать, что к соответствующей сумме должна быть применима так называемая центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (9.24) (см., например, Розанов (1963), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функций, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов ). Тем не менее, эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения К(т) при существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях рас- [c.472]

Тот факт, что для рахождения энтропии в классической и квантовой механике требуется усреднять различные функции, не должен вызывать удивления. Он обусловлен особым характером энтропии,, которая представляет собой не истинное среднее от динамической функции, а нелинейный функционал от функции распределения. Для таких величин правило соответствзм Вигнера несправедливо, так что построение правильного микроскопического выражения для энтропии следует производить путем сравнения с методом статистической суммы. [c.271]

Два важнейших метода равновесной статистической механики, один из которых основан на использовании статистической суммы, а другой — на использовании частичных функций распределения, не являются независимыми друг от друга на это указывает идентичность получаеьшх с их помош ью результатов. Связь между обоими методами в весьма изящной форме была найдена Боголюбовым, затем этот вопрос получил дальнейшее развитие в работе Лебовитца и Перкуса. Помимо того что зтот метод вскрывает важную структурную особенность теории, он, как будет видно из следующей главы, полезен и для конкретных применений. [c.274]

Ввести функцию распределения флуктуаций энергии и числа частиц w E N) в большом каноническом ансамбле. Найти эту функцию в гауссовом приближении и с ее помощью вычислить средние значения ((А ) ), ((АД/ ) ), AEAN). Сравнить результаты вычисления с теми, которые получаются дифференцированием логарифма статистической суммы для большого канонического распределения по Т и /х. [c.78]

Эти корреляционные функции можно измерять экспериментально по схеме Брауна—Твисса (рис. 10.7 и 10.8). Можно доказать более общее утверждение. Все корреляционные функции высших порядков выражаются через корреляционные функции первого и второго порядка при условии, что величина Ь есть сумма большого числа статистически независимых вкладов или, иными словами, если величина Ъ описывается распределением Гаусса. Поскольку напряженность поля Е непосредственно выражается через величины Ь и Ь+, сказанное означает, что поле излучения обычных ламп подчиняется гауссовой статистике. К этому обстоятельству мы вернемся в разд. 10.5. [c.274]

Рассмотрим систему из п одинаковых слабо взаимодействующих спинов. Каждый из спинов занимает один из 2 - - 1 равноудаленных невырожденных энергетических уровней с энергией тоЖ т == —5, —8 + 1,. . ., +5) средняя энергия каждого спина равна По- Найти распределение, дающее максимум энтропии, а такнге соотношение между Ио и температурным параметром р. Вычислить статистическую сумму системы и теплоемкость как функцию р для положительных и отрицательных значений р. [Использовать соотношение р = ИкТ как определение температуры при отрицательных значениях р.] Найти упрощенные выражения для случая 8 = [c.388]

Таким образом, равенство (5.18) представляет собой тождество, содержащее последовательность функций распределения g , gs и т. д. Оно аналогично тождеству (2.40), служившему исходным пунктом теории жидкостей ББГКИ. Фактически это лишь первое из иерархии подобных тождеств, которые можно вывести путем алгебраических манипуляций со статистической суммой Изинга [c.180]

Однако при рассмотрении полностью равновесных систем мы нашли в гл. 1 возможность описывать их микроскопические состояния (в форме смешанных квантовомеханйческих состояний) с помощью гиббсовской функции распределения го = , которая вообще не содержит никакой информации об этих переходах. Мы знаем, что переходы п п, динамическая причина которых 6Н не учтена в определяющем рассматриваемую систему гамильтониане Я, существуют обязательно, так как именно ойи все время (в рамках квазистатической в термодинамическом понимании теории) поддерживают гиббсовскую структуру смешанного состояния. В кинетической части курса (см. том 3) мы более подробно обсудим этот вопрос, а сейчас только заметим, что при стремлении системы к равновесному состоянию роль этих переходов в формировании такого состояния, несмотря на присутствие 6Н (т. е. генератора этих переходов), постепенно сходит на нет. В предельном случае статистического равновесия этих переходов как будто нет совсем, т.е. система чистых состояний п, описываемых собственными функциями оператора Гамильтона, = Еп фп, образует в этом смысле идеальную систему. (Напомним только, что в большинстве физически интересных случаев эти состояния, к сожалению, нам точно не известны.) Так как распределение через нормировочную сумму 2 (или через свободную энергию — -в1п2) определяет всю термодинамику системы, то присутствие этих релаксационных процессов вообще не отразится и на макроскопических характеристиках равновесной системы. [c.137]

Соотношения, полученные для функций Z и О, а также Н и 2, можно обобш ить на статистические суммы других более обш их канонических распределений. Каноническому распределению с заданным параметром х соответствует каноническое распределение, которое определяется сопряженной силой X вместо х. Статистическая сумма является образом Лапласа (или производя-ш ей функцией) для статистической суммы 2 . Функции и Хх могут быть связаны друг с другом с помощью математических преобразований. Если эти преобразования провести асимптотически для больших (макроскопических) систем, то они совпадут с термодинамическими преобразованиями (преобразованиями Лежандра) для термодинамических функций. [c.127]

Мы говорили уже о том, что большинство фазовых функций, интересующих статистическую механику, имеет вид сумматорных функций, т. е. таких сумм, каждое слагаемое которых зависит от динамических координат только одной молекулы. Среднее значение такого слагаемого, ввиду отмеченной близости законов распределения малых компонент, может быть приближенно вычислено, исходя из формул канонического распределения (именно в этом и состоял наш приближенный метод ). Но среднее значение суммы всегда равно сумме средних значений слагаемых, будут ли эти слагаемые зависимы или независимы между собой поэтому при вычислении средних значений сумматорных функций мы можем всегда, в порядке приближения, исходить из канонического распределения (64) вместо микроканонического (63) как уже замечено выше, этот переход и составляет, в сущности, содержание нашего приближенного метода. [c.76]

При не слишком малом т распределение р(У т х, о) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т > Г, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения У(т) при т > Г существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для (т) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях облака , создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях теплового следа за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для (т) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин [c.494]

При гипотезе Hq предполагается, что г/о (О имеет гауссово распределение со средним значением, равным нулю. По определению функция и ее преобразование Гильберта — ортогональны, что в данном случае обеспечивает и их статистическую независимость. Функция Z — сумма квадратов независимых гауссовых случайных величин с нулевым средним значением и равными дисперсиями. Функция плотности вероятности представляет собой распределение с двумя степенямм свободы. В частности, для 2 0 [c.344]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...