Простейшие интегралы уравнений движения

Простейшие интегралы уравнений движения. Теорема Лагранжа. Кинетическая энергия Т твёрдого тела для рассматриваемого нами случая движения выражается формулой (46.1) на стр. 508 [c.523]

Простейшие интегралы уравнений движения. Последнее иа уравнений (49.1) показывает, что [c.553]

Между тем при преобразовании к переменным v, w нам пришлось разделить уравнение движения на этот якобиан, в результате чего решение, для которого А = О, оказалось потерянным. Таким образом, простая волна не содержится непосредственно в общем интеграле уравнений движения, а является их особым интегралом. [c.555]

Замечания по теореме Гамильтона — Якоби. Эта изящная теорема, доказанная в 16.2 и 16.4, имеет фундаментальное значение как для теории, так и для приложений. До сих пор, исследуя динамическую систему какого-либо частного вида, мы составляли уравнения движения, после чего задача сводилась к интегрированию этих уравнений. Совершенно иначе обстоит дело в методе Гамильтона — Якоби. Как только найден один полный интеграл уравнения Гамильтона в частных производных, сразу могут быть написаны интегралы уравнений движения. Вопрос заключается лишь в том, насколько просто может быть найден полный интеграл. Однако, как будет показано, для большей части задач классической механики нахождение полного интеграла не вызывает каких-либо затруднений. [c.290]

Простейшие (алгебраические) интегралы уравнений движения. Уравнения (51.7) имеют следующие очевидные интегралы [c.578]

Значительное упрощение исходных уравнений, описывающих движение идеальной жидкости в случаях, когда имеют место интегралы уравнений движения, открывает широкие возможности для решения конкретных частных задач гидродинамики. Простейшие задачи такого рода рассматриваются в конце настоящего параграфа. [c.53]

На особенности этого случая уже указывалось в п. 137. Если начальные условия таковы, что связь между живой силой и кинетическим моментом тела можно выразить соотношение.м (Р = ВТ, то полный анализ соответствующего движения становится более простым ). Из первых интегралов уравнений движения [c.142]

Следует подчеркнуть, что для необратимых процессов движения интегралы уравнений движения и энергии не-совпадают. При выводе уравнения энергии для струйки ( 2-1) указывалось, что оно справедливо и для адиабатических (необратимых) течений. Однако это замечание вполне справедливо только в частном случае, когда работа сил трения полностью преобразуется в тепло. Такой процесс соответствует простейшей схеме одномерного потока или движению газа с равномерным полем скоростей. [c.197]

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (3) црл заданных начальных условиях в общем случае является довольно трудной. Даже в простейшем случае прямолинейного движения, когда имеется только одно дифференциальное уравнение, его решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной. зависимости силы от времени t, координаты х и скорости а. Поэтому важно определение таких соотношений из системы уравнений (9), которые являются следствиями этой системы и в которые входят производные от координат точки только первого порядка. Такие соотношения, например, в виде f t] х, у, г х, у, z) = С называют первыми интегралами системы дифференциальных уравнений (9). [c.234]

Общие теоремы динамики позволяют нам, не исследуя движения каждой точки механической системы, находить общие динамические характеристики движения системы. Эти теоремы устанавливают связь между данными динамическими характеристиками (количеством движения, кинетическим моментом, кинетической энергией) и действующими на систему силами. Применение теорем избавляет от необходимости каждый раз при непосредственном использовании дифференциальных уравнений движения системы точек производить операции суммирования и интегрирования, которые уже были выполнены при выводе данных теорем. При некоторых условиях для действующих на систему сил теоремы позволяют просто получить первые интегралы, т. е. соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени. [c.172]

Уравнение Бернулли является одним из интегралов уравнений Эйлера. Чтобы его получить, рассмотрим простейший случай, когда движение установившееся и частица невязкой жидкости движется в поле сил тяжести вдоль линии тока со скоростью и = f х, г/, г). [c.43]

Рассмотренные первые интегралы представляют две квадратуры, необходимые для решения задачи. Так как у нас имеются две переменные г и 6, то для решения уравнений движения нам нужны в общей сложности четыре интеграции. В результате двух из них мы вместо уравнений Лагранжа получили два уравнения первого порядка (3.8) и (3.15). Две другие интеграции могут быть произведены (формально) разными путями. Наиболее простая процедура, по-видимому, состоит в интегрировании уравнения (3.15). Решая его относительно г, находим [c.77]

Необходимо отметить одну особенность, а именно существование во многих случаях циклических (или игнорируемых) координат, допускающее простое получение первых интегралов соответствующих уравнений движения. Это вводит важное усовершенствование, которое будет подробнее рассмотрено в следующей главе в связи с методом Гамильтона. [c.37]

СЛУЧАИ ЭЙЛЕРА. Самый простой вариант уравнений (13) получается при G = G = G" = 0. Тогда система уравнений (13) становится замкнутой и описывает движение вектора w относительно главного репера. Легко увидеть, что интегралами уравнений Эйлера в этом случае являются функции [c.209]

За исходное приближение периодического решения системы уравнений движения машинного агрегата с самотормозящейся передачей в соединении принимаем периодическое решение линейной системы дифференциальных уравнений, соответствующей тяговому режиму. Исходное приближение может быть просто построено, если воспользоваться методом контурных интегралов. По исходному приближению нетрудно отыскать последовательность [0]), состоя-ш,ую из точек, в которых изменяется знак 5(3 t), и [0] = 0 /шахЕ [0]= Г. [c.279]

Книга Герца Принципы механики и ее место в развитии механики. Особое место среди вариационных принципов механики, которые должны указать интегралы или функции, имеющие экстремум в действительном движении системы, занимает принцип наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип является общим началом и может быть выражен одной из самых простых аналитических формулировок, в которой нахождение уравнений движения любой системы, голономной или неголономной, сводится к нахождению минимума функции второй степени. [c.228]

Теория устойчивости и колебаний таких систем весьма сложна, и в ней имеется ряд не до конца разрешенных вопросов. В данной главе приведены постановка задачи, различные формы уравнений движения, их первые интегралы, рассмотрены простейшие случаи движения. Указаны вошедшие в инженерную практику алгоритмы расчета малых колебаний системы. Даны основные определения устойчивости движения систем твердых тел с полостями, частично или целиком заполненными жидкостью, соответствующие теоремы прямого метода Ляпунова, рассмотрены примеры. [c.280]

Когда эта теорема была открыта, появилась надежда на простое решение задач динамики,— казалось, что достаточно знать два интеграла уравнений движения, чтобы получать из них повторным приложением теоремы Пуассона все недостающие интегралы задачи такое получение интегралов требовало бы лишь операций дифференциального исчисления. [c.25]

Предлагается поэтапное решение заявленной задачи, а именно вначале найдем простейшие интегралы движения, которые затем помогут сформулировать математически строгую задачу управления и решить ее. С этой целью рассмотрим скалярные уравнения (6.22) в предположении, что G = О, а управляемое ускорение сил тяги направлено в течение всего времени движения вдоль оси х [c.197]

Благодаря этим положениям, целый ряд форм движения, скрытых в неразработанном классе интегралов уравнений гидродинамики, становится, по крайней мере, доступным представлению, хотя окончательное выполнение интегрирования возможно лишь для немногих простейших случаев, когда имеется только одна или две прямолинейные или круговые вихревые нити в безграничных или только отчасти ограниченных бесконечной плоскостью жидких массах. [c.9]

Достаточность теоремы 2 очевидна в этом случае переменные в функции Г амильтона разделяются и уравнения движения имеют n интегралов, квадратичных по импульсам. Например, в условиях теоремы 2 при n = 1 функция Hi имеет вид f kx+lip), где /( ) — некоторый тригонометрический многочлен от одной переменной, а целые числа к и I взаимно просты. При к ф О интегралом служит функция 1у/к + Но у) + ef kx + lip). Случай к = Q тривиален функция i/o — интеграл уравнений движения. [c.248]

Рассмотрим простой пример. Пусть 1 = 1 и = 8п(2Ка /7г, х), где К — полный эллиптический интеграл с модулем х > 0. Так как / имеет простые полюсы, то применимы теоремы 1 и 2. Следовательно, общее решение многозначно, и уравнения движения не имеют однозначного полиномиального интеграла. Интересно отметить, что в вещественной области имеется однозначный полиномиальный интеграл—интеграл энергии, однако в комплексном фазовом пространстве эта функция имеет логарифмические особые точки. Задача о несуществовании полиномиальных интегралов уравнений (2.1) при вещественных значениях х значительно сложнее для потенциальных полей с потенциалом в виде тригонометрического многочлена она решена в 5 гл. IV. [c.336]

Установившееся движение. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости допускают интегралы, аналогичные интегралу живой силы, в двух простейших случаях движения жидкости 1) установившегося и 2) безвихревого. [c.110]

Уравнения (7.10) называются интегралами площадей или, иногда, интегралами моментов количества движения (или просто интегралами моментов). [c.336]

Это показывает, что из семи найденных нами интегралов уравнений (9.16) или (9.16 ) только пять являются независимыми, а поэтому эти семь интегралов не образуют общего интеграла системы уравнений невозмущенного движения. Но последний недостающий интеграл может быть найден теперь довольно легко простой квадратурой. [c.428]

Интегралы задачи. Канонические уравнения (2), являющиеся уравнениями движения в задаче трех тел, допускают несколько простых первых интегралов. [c.30]

Хотя функция 5, по-видимому, заслуживает названия главной функции, данного ей здесь, так как она служит для того, чтобы как будто самьш простым образом выразить интегралы уравнений движения и самые дифференциальные уравнения, тем не менее анализ приводит к другим функциям, которые также могут быть использованы для выражения интегралов этих уравнений. Так, если мы напишем [c.239]

Простейшие (алгебраические) интегралы уравнений движения. Их геометрическое толкование. Уравнения (50.4) и (50.5) допускают следующие очев )дные интегралы. [c.564]

Разгон космического аппарата двигателем малой тяги около планеты до параболической (и выше) скорости возможен лишь при очень большом количестве витков, сделанных аппаратом вокруг планеты. В этом случае оптимальное управление удовлетворительно аппроксимируется постоянным касательным ускорением. Любопытный класс траекторий с таким ускорением исследовал Д. Е. Охоцимский [11 Интересные задачи разгона рассматривались и в случае неоптимального управления. Очень простым управлением является постоянный вектор ускорения, все время направленный к центру Земли. Такая задача интегрируется в эллиптических функциях, но при малых ускорениях не дает разгона. Однако если ускорение по определенной программе то включается, то выключается или попеременно меняет направление вдоль радиуса-вектора, то разгон можно получить (Петти [12], Пайевонский [13]). Действительно, в этом случае имеют место интегралы уравнений движения [c.41]

В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай сверхзвукового стационарного двухмерного течения (простую волну), характерный тем, что в нем величина скорости является функцией только ее направления и = у(0). Это решение не могло бы быть получено из уравнения Чаплыгпна для него тождественно 1/Д = 0, и оно теряется, когда при преобразованни к плоскости годографа приходится умножать уравнение движения (уравнение непрерывности) на якобиан Д. Положение здесь аналогично тому, что мы имели в теории одномерного нестационарного движения. Все сказанное в 105 о взаимоотношении между простой волной и общим интегралом уравнения (105,2) полностью относится и ко взаимоотношению между стационарной простой волной и общим интегралом уравнения Чаплыгина, [c.610]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Это одна из замечательнейших теорем всего интегрального исчисления, и, в частном случае, когда иоложено Н Т— U, это есть основная теорема аналитической механики. Именно она иоказывает, что если имеет место теорема живой силы, то из двух интегра.юв дифференциальных уравнений движения простым дифференцированием вообще можно вывести третий интеграл, отсюда четвертый и т. д., так что либо получатся все интегралы, либо по крайней мере некоторое число их. [c.241]

Важно обратить внимание на смысл уравнения (2.55) — оно все так же определяет высвобождение энергии за единицу времени при автомодельном развитии трещины (в направлении оси xi). В то же время / характеризует изменение полной энергии, обусловленное единичным переносом трещины как жесткого целого в направлении Xk. Таким образом, не описывает высвобождение энергии, обусловленное движением вершины треш,ины в направлении Х (и, следовательно, ответвление (kinking) первоначальной трещины). Фактически мы не располагаем простыми интегралами, которые характеризуют высвобождение энергии, обусловленное ответвлением трещины, несмотря на ошибочные и частые упоминания в литературе [13, 14]. Это объясняется тем фактом, что при выводе уравнения (2.18), которое лежит в основе вывода всех интегралов по контуру, было использовано допущение об автомодельности решений в моменты времени t и t dt, которое справедливо только для описания автомодельного упругого развития трещины, но непригодно, вообще говоря, для ветвящейся трещины. [c.143]

Последние уравнения можно рассматривать следующим образом. Мы нашли 2N функций, и от фазовых переменных 9, р, а также от времени, которые обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории динамической системы Еще более четкая картина получится, если из этих 2N уравнений исключить зависимость от времени. Тогда останется множество 2N — 1 функций тллько от переменных фазового пространства. Эти функции обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории их можно обозначить специальными символами Ф (д, р), / = 1, 2,. . ., 2ЛГ — 1. Такие функции называются интегралами сохранения, или просто интегралами, или кон-стлнтлми движения. Таким образом, мы в самом общем виде установили существование 2N — 1 интегралов движения. Приписывая интегралам движения множество численных значений [c.355]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

Функция Лагранжа (29.3), введенная в 29 формальным образом с целью упрощения записи уравнений движения (28.11) для систем с потенциальными и обобщенно-потенциальными активными силами, в действительности является важнейшей функцией состояния механической системы. Глубокий физический смысл ларран-жиана обнаруживается, если обратиться к отысканию важнейших первых интегралов уравнений Лагранжа, связанных с симметрией заданного силового поля и наложенных на систему связей, т. е. законов сохранения. Покажем, что указанные интегралы движения можно достаточно просто отыскать по внешнему виду функции Лагранжа. [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...