Главная нормаль кривой линии

Нормальные плоскости эквидистант катятся по соответствующему полярному торсу, пересекаясь все время между собой по главным нормалям кривых линий. [c.353]

Главная нормаль кривой линии 37, [c.282]

Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей называется главной нормалью кривой. [c.172]

М будет перпендикулярна к т, т. е. будет нормальна кривой линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей определяет главную нормаль кривой. Иными словами, главной нормалью называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости. Нормаль, перпендикулярная к главной нормали, называется бинормалью кривой. [c.185]

При пересечении поверхности торса плоскостью, перпендикулярной к касательной ребра возврата, получается кривая линия с вершиной острия, касательная в которой является главной нормалью ребра возврата поверхности. Соприкасающаяся плоскость ребра возврата является касательной плоскостью торса. Это необходимо учитывать при исследовании пространственных кривых. [c.271]

Для пространственной кривой линии в данной ее точке можно построить множество нормалей. Их геометрическим местом является плоскость. Ее называют нормальной плоскостью. Одна из множества нормалей лежит в соприкасающейся плоскости. Ее называют главной нормалью. [c.335]

Бесконечно малые углы поворота образующих этих слагаемых конусов вокруг их осей равны бесконечно малым углам между спрямляющими плоскостями в двух бесконечно близких точках кривой линии. Углы между спрямляющими плоскостями измеряются углами между главными нормалями. Обозначим эти углы у. [c.342]

Откладывая на главных нормалях величины радиусов кривизны, получаем геометрическое место центров кривизны строящейся кривой линии тоже в виде цилиндрической винтовой линии, радиус спрямляющего цилиндра которой ri = R—г. [c.348]

Из развертки полярного торса заданной кривой линии определим необходимые для построения расстояния между главными нормалями в соответствующих точках этих кривых линий, расстояния между центрами кривизны и величины радиусов кривизны. [c.350]

Пространственные кривые линии называют эквидистантными, если они имеют общие главные нормали и расстояния между их соответствующими точками, измеряемые по главным нормалям, остаются достоянными. [c.353]

К пространственной кривой линии I в любой ее точке (за исключением некоторых особых точек) можно провести пучок перпендикулярных к ней прямых (рис. 94) . Множество этих перпендикуляров (нормалей) определяют плоскость, которую называют нормальной плоскостью 0. Одна из нормалей этого множества, принадлежащая соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью п . [c.71]

Траекторией точки, движущейся по поверхности, будет, очевидно, кривая, лежащая на этой поверхности всеми своими точками. Возьмем поверхность Q (рис. 365), и пусть аа будет элемент траектории, точки. Проведем в точке М касательную к траектории Mr, нормаль к поверхности MJV и главную нормаль к траектории Мп. Проведем теперь через касательную т и нормаль /V к поверхности плоскость, которая пересечет поверхность по некоторой кривой элемент ЬЬ этой кривой будет принадлежать геодезической линии данной поверхности, касающейся траектории в точке М Проведем [c.422]

Геодезической линией на поверхности называется линия, в каждой точке которой главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности поскольку ЬЬ есть элемент- кривой, лежащей в плоскости xMN, то главная нормаль к этой кривой в точке М направлена по MN. Следовательно, ЬЬ — элемент геодезической линии. [c.422]

Перпендикулярно касательной Мт располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали Мп внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор я. Он определяет положительное направление вт )рой естественной оси. [c.110]

Если через нормаль провести плоскость, то, пересекаясь с поверхностью, она дает кривую I. Пусть У —радиус кривизны этой кривой в точке М. Если поворачивать плоскость вокруг нормали и каждый раз определять кривизну X-—IIR кривой пересечения, то окажется, что существуют такие две взаимно перпендикулярные кривые 1 п 2, кривизны которых имеют экстремальные значения по отношению ко всем другим. Направления, характеризуемые единичными векторами pi и р2. называются главными в данной точке М, соответствующие кривизны — г л а в н ы м и кривизнами поверхности. Если на поверхности провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с главными направлениями, то получим так называемые линии главных кривизн. Эти линии образуют на поверхности ортогональную [c.217]

Кривая, у которой это свойство имеет место во всех точках, т е. кривая, у которой главная нормаль всегда совпадает с нормалью поверхности, носит название геодезической линии (отсюда произошло и название геодезическая кривизна она является мерой отклонения кривой от геодезической линии). [c.200]

Общие винтовые линии (линии откоса) — кривые, касательные к которым образуют постоянный угол с заданным направлением. Они лежат на цилиндре с образующими, параллельными данному направлению, и пересекают их под постоянным углом. Главная нормаль общей винтовой линии совпадает с нормалью к цилиндрической поверхности. [c.289]

Таким образом, в общем случае торс представляет собой геометрическое место касательных к своему ребру возврата. Ребро возврата поверхности называют также стрикционной линией торса. Любую пространственную кривую можно принять за ребро возврата, касательные к которому будут образовывать торсовую поверхность. У конических поверхностей ребро возврата вырождается в точку — вершину конуса, у цилиндрической поверхности ребро возврата вырождается в несобственную точку, т. е. эта точка удаляется на бесконечность. Поверхность главных нормалей и поверхность бинормалей ни для какой неплоской линии не могут быть развертывающимися. [c.6]

Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости (т. е. линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей), называется главной нормалью данной кривой в точке М. За [c.263]

Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью к кривой в точке М. [c.81]

Кривые на поверхности, для которых в каждой точке главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности, называются геодезическими линиями. [c.207]

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с геодезическими линиями на поверхности. Геодезической линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Смысл определения геодезической линии заключается в том, что геодезическая линия, соединяющая какие-нибудь две точки, всегда является прямой линией на поверхности и кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки на плоскости, геодезическими линиями являются прямые. Для того чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора кривизны на касательную плоскость равнялась нулю. Линия на поверхности — геодезическая, если ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности или эта линия прямая. [c.46]

Составим другим способом дифференциальные уравнения движения материальной точки по поверхности Р (рис. 190). Пусть аа — отрезок траектории точки М, т — единичный вектор касательной к траектории в точке Л]. Проведем через точку М элемент геодезической кривой ЬЬ поверхности Р, касающейся орта т. Здесь мы воспользуемся известным из дифференциальной геометрии определением геодезических кривых поверхности, согласно которому главные нормали к геодезическим линиям во всех ее точках совпадают с нормалями к поверхности ). Это свойство соответствует определению геодезических кривых, приведенному выше, в 210 [c.425]

Движение точек частицы параллельно плоскости, не изменяющей направления, определяется по движению точек, лежащих в этой плоскости. Разлагаем это последнее движение на удлинение радиуса и девиацию. Удлинение радиуса будет зависеть от кривой сечения, по которой не изменяющая направления плоскость пересечет поверхность удлинения, а девиация сложится из внутренней девиации радиуса в этой плоскости и из угловой скорости, равной проложению скорости вращения частицы на нормаль к плоскости, не изменяющей направления. Если наибольшая внутренняя девиация радиуса в не изменяющей направления-плоскости будет менее проложения вращения частицы на нормаль к этой плоскости, то мы будем иметь только одну не изменяющую направления плоскость и одну не изменяющую направления линию в противном случае два радиуса, лежащие в данной не изменяющей направления плоскости и имеющие девиации, равные угловой скорости вращения частицы около нормали к плоскости, но направленные в сторону, обратную этому вращению, будут две новые не изменяющие направлений линии. По 9 эти не изменяющие направления линии должны лежать обе в одном и том же прямом углу, образуемом главными осями сечения не изменяющей направления плоскости с поверхностью удлинения, и должны быть равно наклонены к биссектору этого угла. Когда в данной не изменяющей направления плоскости не существует неподвижных линий, то девиация всех радиусов, лежащих в этой плоскости, совершается в сторону вращения частицы около нормали к плоскости в противном [c.56]

Перпендикуляр к касательной в точке М называется нормалью к кривой в этой точке. Очевидно, что в данной точке кривой можно провести бесконечное множество (пучок) нормалей, и все они будут лежать в плоскости, проходящей через точку М и перпенди кулярной к касательной. Эта плоскость называется нормальной пло скостью. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью к кривой в точке М. Таким образом, главная нормаль есть линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей в данной точке Ж криЕЮЙ ). Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. [c.70]

Геометрическим местом винтовых осей пространственной кривой линии, а также геометрическими местами ее бинормалей и главных нормалей являются некоторые линейчатые неразвертывающиеся (косые) поверхности. [c.353]

На рис. 476 показана пространственная кривая линия с иррегулярной вершиной в точке С. Полукасательные сторон в точке стыка направлены так же, как и главные нормали — в разные стороны. Дуги кривой линии в окрестности точки стыка расположены по разные стороны соприкасающейся и спрямляющей плоскостей. Положение главных нормалей в точке стыка сторон показывает, что полукасательные сторон получают приращения углов их поворота а с различными знаками. [c.355]

Дуги кривой линии расположены по разные стороны соприкасающейся и спрямляющей плоскостей. Положение главных нормалей показывает, что полукасательные сторон получают приращения углов их поворота а одного знака. [c.355]

Прямые, проходящие через точку А траектории и перпендикулярные касательной, называются нормалями кривой. В пространстве к заданной в точке А касательной можно провести целый гучок нормалей, которые лежат в одной плоскости, называемой нормальной плоскостью траектории (кривой линии). Вектор Pi определяет одну из них. Мы будем называть ее главной нормалью. Плоскость векторов pi, pi называется соприкасающейся плоскостью (рис. 1.5). Она определяется как предельное положение плоскости, проходящей через любые три точки фивой, когда эти точки стремятся к точке А. Из (1.110) следует, что Xi = I dpi/ds 1. [c.23]

Если движущая сила равна нулю, то теорема живой силы непосредственно дает = onst. Скорость точки имеет постоянную величину во все время движения. В этом случае нормальная реакция N поверхности есть в то же время полная сила, действующая на точку поэтому эта сила, так же как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости к траектории и направлена по главной нормали к этой кривой. Таким образом, главная нормаль к траектории в каждой ее точке есть в то же время нормаль к поверхности. Кривые, обладающие таким свойством, называются геодезическими линиями. Можно доказать, что геодезические линии являются кратчайшими из всех линий, которые можно провести на поверхности между двумя точками, если только эти две точки находятся достаточно близко одна от другой. Таким образом, если при движении точки по абсолютно гладкой поверхности движущая сила равна нулю, то траекторией точки будет геодезическая линия. В частности, если поверхность сферическая, то траекторией точки будет дуга большого круга этой сферы. [c.195]

Геодезпческой линией на поверхности называется такая линия, в каждой точке которой А = 0. Вдоль геодезической линии ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности. Расстояние но геодезической линии между двумя ее достаточно близкими точками меньше расстояния между теми же точками по всякой другой кривой, проходящей через эти точки. [c.297]

Кривая на поверхности, направление которой в каждой ее точке совпадает с одним из главных направлений, называется линией кривизны поверхности. Через каждую неомбилическую точку поверхности проходят две линии кривизны, пересекающиеся под прямым углом. Выполнение этого условия можно обеспечить и в омбилических точках, выбрав в каждой такой точке два ортогональных направления с сохранением гладкости линий кривизны. Знаки собственных значений задачи (1.1.11) зависят от направления нормали к поверхности они отрицательны, если нормаль направлена в сторону ее выпуклости, и положительны — в противном случае. Поэтому в системе координат, связанной с линиями кривизны поверхности, радиусы кривизны последних определяются из равенства [c.20]

Аналогично мы поступаем в геометрии — средством определения объекта может явиться задание его дифференциальных свойств, описываемых соответствующими дифференциальными уравнениями, а может служить и некоторое вариационное требование. Так, геодезическая линия определяется как кривая на поверхности, главная нормаль в точках которой сонаправлена с нормалью поверхности и это немедленно приводит к записи дифференциальных уравнений геодезических линий но последнюю можно полностью определить как кривую, дающую кратчайшее расстояние между двумя достаточно близкими точками на поверхности. Требование, чтобы интеграл, определяющий длину линии на поверхности, имел стационарное значение, является гариационной формулировкой задачи о геодезических. [c.642]

Здесь da = Wadg —элемент дуги на Г , Ргх — ес радиус кривизны. Было бы ошибочно отождествлять главную нормаль т в бесконечно близкой точке р// на Га с 8П, п — нормаль к поверхности в с// - Такое свойство присуще не любой ортогональной сети на поверхности, а сети линий кривизны па ней. Далее предполагается, что кривые [i/ 1—линии крпвизнь[. По их определению Три вектора j, п и n+ni di/ расположены в одной плоскости [c.494]

Стержень искривленный в начальном состоянии ). Стержень может иметь в недеформированном состоянии как кривизну, так и кручение. Ось стержня в этом состоянии может быть кривой линией, и главные центральные оси сечения могут образовывать с главной нормалью к кривой углы, которые меняются от точки к точке. Упомянутые главные оси сечения и касательная к кривой центральной линии образуют координатный трехгранник (х , г ,) пусть ось при этом совпадает с направлением касательной. Допустим, что начало этой системы движется по кривой с единичной скоростью. Компоненты угловой скорости координатного трехгранника на мгновенное положение осей пусть будут , Тц. Тогда, У.д будут компонентами начальной кривизны и начальной степенью кручения. Пусть будет кручением упругой линии Иутг—углом, кото- [c.413]

Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М. Плоскость, нроведенную через точку М перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 9.21 соприкасающаяся, юрмальная н спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами /, // и ///. [c.139]

Рассмотрим на поверхности, отнесенной к линиям главной кривиз-ны, некоторую линию g, характеризующуюся касательной и нормалью e (рис. 2). Обозначим через X угол между линией и нормалью к кривой д. Из рис. 2 легко установить, что [c.20]

Белее простые формулы для кривизны поверхности. Если кривые а— onst., onst, совпадают с линиями кривизны поверхности, то все формулы значительно упрощаются. В этом случае оси х а у будут касательными к главным нормальным сечениям поверхности в данной точке, в то время как ось Z будут нормалью в той же точке. Мы имеем [c.542]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...