Тензор углов поворота

Тензор углов поворота [c.83]

Триклинная система. Триклинная симметрия (классы l и i) не накладывает никаких ограничений на компоненты тензора а выбор системы координат с точки зрения симметрии вполне произволен. При этом отличны от нуля и независимы все 21 модуль упругости. Произвольность выбора системы координат позволяет, однако, наложить на компоненты тензора дополнительные условия. Поскольку ориентация системы координат относительно тела определяется тремя величинами (углами поворота), то таких условий может быть три можно, например, три из компонент считать равными нулю. Тогда независимыми величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 18 отличных от нуля модулей и 3 угла, определяющих ориентацию осей в кристалле. [c.52]

Тензор О несимметричный. Его компоненты зависят от координат точки. Компоненты главной диагонали этого тензора — относительные удлинения, остальные компоненты — углы поворота ребер элементарного параллелепипеда вокруг осей х, у, г. [c.18]

Если деформации (удлинения и сдвиги), а также углы поворота малы по сравнению с единицей и имеют одинаковый порядок малости (что имеет место при рассмотрении деформации тел, все размеры которых сравнимы друг с другом по величине), то в общей формуле (3.17) можно отбросить, как малые величины, нелинейные слагаемые. В этом случае тензор деформаций называется тензором малой деформации и обозначается через е ь. Следовательно, [c.49]

Пусть (г), 81 (г), г4 (г) — решение граничной задачи для упругого тела, деформации которого сопровождаются большими углами поворота при малых удлинениях и сдвигах, не превосходящих предела пропорциональности. Тогда компоненты тензора деформации e j (г) и напряжений о (г), а также вектора перемещений И (г) будут удовлетворять закону упругости (5.1), нелинейные уравнениям равновесия (5.4), соотношениям (5.5) и граничным условиям (5.6). Прямой подстановкой можно показать, что решение 8 ( , г), t, г), t,r) граничной задачи для такого [c.297]

Деформированное состояние элемента материала описывается при малых по сравнению с единицей относительных удлинениях и углах поворота линейных волокон известным симметричным тензором Коши с компонентами [c.41]

При отсутствии ограничений, налагаемых на величины относительных удлинений и углов поворота, в теории упругости обычно используется тензор деформаций с компонентами [53] [c.42]

При малых деформациях и углах поворота приведенные ранее соотношения, определяющие различные тензоры деформации, приводятся к форме [c.16]

Производную по контуру от трехмерного вектора перемещений контурных точек можно выразить через тензоры трехмерных деформаций е и углов поворота а в окрестности данной точки [c.106]

Как известно, три ненулевых компонента кососимметричного тензора (I) можно выразить через компоненты вектора углов поворота Й <лц = e./tQ, откуда [c.107]

Симметрия таких величин, как напряжения в элементе какой угодно соответствует преобразованию ком-тензора при повороте прямоугольной системы координат. Это преобразование сводится для напряжений и деформаций к суммированию произведений, содержащих множителями по два косинуса углов поворота осей координат, поэтому ранг соответствующего тензора — второй. Число компонент тензора напряжений не зависит от симметрии среды, а величина компонент не характеризует свойств среды, так как это полевой тензор. Например, действие гидростатического давления можно описать шаровым тензором напряжений, у которого все компо- [c.8]

Характеристики упругости анизотропных сред являются компонентами материального тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве. Их преобразование при повороте осей координат происходит путем суммирования произведений, содержащих множителями по четыре косинуса углов поворота осей. Число компонент материального тензора зависит от симметрии среды (расчетной схемы анизотропии материала), а величина компонент непосредственно характеризует упругие свойства материала. [c.9]

Xij компонентов тензора для пакета, угла поворота к главным осям и значений компонентов тензора А в осях, повернутых относительно главных на 15, 30, 45, 60, 75, 90° [c.177]

ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ, ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И УГЛОВ ПОВОРОТА 33 [c.83]

Тензоры деформаций, перемещений и углов поворота [c.83]

Из сказанного следует особая роль следящих нагрузок для них линеаризованные уравнения равновесия и статические граничные условия не содержат возмущений углов поворота, а записываются через компоненты линеаризованного тензора деформации ёц. [c.97]

Как представляется автору, область применимости стандартных материалов следует ограничить случаем малых деформаций при больших (не малых) углах поворота. Этот случай реализуется для гибких тел (стержней, пластин, оболочек), где, кстати, значение V = V2 уже не вызывает осложнений. Существенно, что в выделенном случае вследствие больших поворотов линейный тензор Е (etj) не характеризует деформацию, в то время как стандартные материалы при своей структурной простоте содержат характеристики деформации. Стандартный материал 2-го порядка особенно удобен для использования в криволинейной материальной системе координат (см. гл. 11—15). [c.45]

Примем, что в процессе деформирования удлинения сдвиги и углы поворота остаются малыми по сравнению с единицей. Порядки малости этих величин, вообще говоря, различны и будут уточнены ниже. При этих условиях малыми будут и компоненты тензора деформаций. В частности, если в недеформирован-ном состоянии система координат декартова, то относительные удлинения волокон материала, направленных до деформации вдоль координатных осей отождествляются с одноименными компонентами тензора деформаций, а изменение углов между двумя координатными осями — с соответствующими разноименными компонентами. Кроме того, условие малости удлинений и сдвигов позволяет пренебречь изменением объемов, площадей и линейных размеров тел в процессе их деформирования и отождествить компоненты симметричного тензора обобщенных напряжений [206 ] с истинными напряжениями в лагранжевых переменных. [c.41]

В общем случае между компонентами тензора деформации и компонентами перемещения Ых, Ыу, существует сложная дифференциальная связь (см., например, [113]). Однако, считая де( юрмации и углы поворота достаточно малыми, можно записать эту связь приближенно в следующем виде [c.12]

Тензор деформаций линеен, если относительные удлинения малы и сдвиги, и углы поворотов имеют тот же самый порядок малости. Такая ситуация имеет место для массивных тел. [c.227]

Коль скоро малы не только удлинения и сдвиги, но и углы поворота (и притом настолько, что тензор деформации может быть [c.208]

Для полноты сделаем здесь замечание относительно направления координатных осей. Чтобы получить выражение (1.19) из выражения (1.18), мы применяли поворот координатных осей. Величина углов поворота определялась значениями компонент e,j тензора диэлектрической проницаемости. Однако, так же как и в случае изотропной среды, эти компоненты обладают частот- [c.37]

Триклинная система. Наличие триклинной симметрии не накладывает никаких ограничений на компоненты тензора Х т-можем, однако, выбрать произвольным образом систему координат, в которой мы описываем деформацию. Поскольку ориентация системы координат относительно тела определяется тремя величинами (углами поворота), то правильность в её выборе означает, что мы можем наложить на компоненты тензора три дополнительных условия, например, мы можем три из компонент считать равными нулю. Таким образом, кристаллы триклинной системы обладают 18 независимыми модулями упругости. [c.679]

Вторым примером служит совокупность равенств (1) или (2), которые можно рассматривать как преобразования, переводящие вектор-радиусы точек пространства из старого в повое положение, т. е. как поворот абсолютно твердого тела, связанного с координатными системами. Тензор, матрицей которого служит таблица косинусов углов между старыми и новыми осями, называется тензором поворота. [c.117]

В работе 10 содержится вывод выражений для упругих констант в случае плоской задачи для малых искривлений арматуры. За основной прием при решении задачи принято усреднение тензора податливости неоднородного материала по углу, характеризующему поворот площадки при движении точки по линии искривления волокон. Сложные интегралы для вычисления коэффициентов матрицы податливости представлены разложениями в ряды. Выражение для модуля упругости при удержании первого члена в ряду соответствует (3.14). При этом погрешность вследствие неучета остальных членов ряда не превышает 9 % при ф 0,5. В этом же диапазоне параметра ф расчетные значения модуля упругости [по (3.13)1 удовлетворительно согласуются со значениями, вычисленными по формуле [c.64]

Две оставшиеся компоненсы Е ч з , характеризующие влияние поперечных к плоскости 2 3 касательных напряжений на деформации в ней, зависят от угла поворота осей ф, что потребовало к свойству осевой симметрии материала добавить приставку квази . Между компонентами Е и "П, относящимися к координатным плоскостям 1 2 и 13, должен существовать взаимный переход их значении при угле поворота, меньшем чем л/2. Так как ось 1 является осью симметрии третьего порядка (упругие свойства материала при повороте вокруг нее на 120° сохраняются), угол между компонентами Е и т) равен я/6. Дейст вительно, преобразованием компонент тензора податливости нетрудно убедиться, что [c.193]

Здесь Uj,, Uy, — компоненты вектора смещения и. Как известно, вышеприведенные формулы справедливы лишь для малых деформаций и малых углов поворота. Компоненты тензора деформации в формуле (1), имеюш,ие одинаковые индексы [расположенные на главной диагонали в матрице (1)], определяют собой часть деформации элементарного параллелепипеда, ребра которого параллельны направлениям х, у, z, связанную с изменением длин ребер. Компоненты тензора деформации с несовпадаюш ими индексами определяют собой изменение углов между ребрами в тех гранях элементарного параллелепипеда, нормаль к которым совпадает с отсутствующим индексом. В дальнейшем для удобства изложения вместо буквенной иногда будем применять числовую систему индексов, связанную с ранее введенной, следующим образом X , у 2, Z 2>. [c.7]

А и Aj. для однонаправленных слоев, составляющих пакет, компонентов тензора А пакета, угла поворота их произвольной системы осей координат относительно главных осей и значений компонентов тензора Хи в осях, повернутых относительно главных на 15, 30, 45, 60, 75, 90 [c.177]

Если к сформулированному выше предположению добавить предположения о том, что углы поворота имеют порядок малости такой л е, как удлинения и сдвиги, или более высокий, и что компоненты тензора напряжений являются величинами одного порядка, то в уравнениях (1.3.17) всемп нелинейными членами можно пренебречь. Уравнения (1.3.17) принимают тогда вид [c.29]

Обратимся к важному для приложений случаю, когда рассматриваемые тензоры имеют одну общую ось (плоское напряженпое состояние, плоская п антиплоская деформации и т. п.). Будем считать, что эта общая осг является третьей координатой. При этом матрица коси нусов угла поворота (1.24) принимает вид (2,9). Л тогда согласно выражениям (3.5) имеем [c.148]

При развитой пластической деформации, когда идет разориен-тация фрагментов, для получения скачка угла поворота при переходе от малого элемента к фрагменту необходимо вместо взять тензор изгиба — кручения й . [c.215]

При малых углах поворота изменением компонент тензора инерции тела, цри переходе от неподвижных осей к подвижным можно цренеб -речь, поэтому уравнению (16.4) с учетом (16.5) можно цридать форцу [c.71]

При деформации общего вида в качестве меры локального вращения могут быть выбраны вращения трех взаимно нерненди-кулярных главных элементарных нитей. Иначе говоря, такой мерой являются углы поворота от главных осей тензора деформации в материальн 1х координатах к главным осям тензора деформации в нространствепных координатах. Если эти два набора главных осей совпадают, то такая деформация называется чистой деформацией (без вращения). [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...