Квадрат тензора

При Q = Р приходим к тензору второго ранга, называемому квадратом тензора [c.812]

Под квадратом тензора а понимается тензор второго ранга, полученный скалярным произведением тензора а на себя [c.311]

Поскольку левый тензор деформаций является квадратом тензора (ср. с (1.25)), то из (5.11) следует [c.40]

Легко показать, что при учете анизотропного характера магнитного тензора иона Си + величину ( m) необходимо заменить на ( Н/ЛГ), где тензор представляет собой квадрат тензора g [32]. [c.189]

Начнем с компоненты 644 = Квадрат тензора поля мы уже считали = 2 (Н — Е ). Поэтому [c.225]

Более того, уравнение (3-1.19) имеет единственное решение для и, так как существует лишь один симметричный положительно определенный тензор, квадрат которого равен произвольно заданному симметричному положительно определенному тензо- [c.142]

В частности, есть произведение суммарной массы на квадрат расстояния от центра масс до оси с направлением вр, проходящей через точку О. Особенности внутренней структуры множества Q отражаются формой Тс(х,у) и связанным с ней тензором Теорема 1.10.1 дает возможность, определив однажды этот тензор, эффективно пересчитать его для любой интересующей нас точки пространства. [c.52]

Определение. Квадратом симметричного тензора второго ранга t называется тензор второго ранга вида [c.319]

Далее, поскольку свободная энергия является величиной скалярной, то и каждый член в разложении F тоже должен быть скаляром. Из компонент симметричного тензора можно составить два независимых скаляра второй степени в качестве них можно выбрать квадрат uh суммы диагональных компонент и сумму ujk квадратов всех компонент тензора Щк- Разлагая F по степеням мы получим, следовательно, с точностью до членов второго порядка выражение вида [c.21]

Обычно считают, что пластическая деформация начинается тогда, когда максимальное касательное напряжение в твердом теле достигает определенной величины. Как известно, -я компонента силы, действующая на единичную площадку, равна Рц п,-. Если взять главные оси тензора, то квадрат касательного напряжения в плоском случае равен [c.34]

Показать, что квадрат октаэдрического касательного напряжения может быть записан через первый и второй инварианты тензора напряжений в виде [c.30]

Если в этом равенстве раскрыть скобки и сложить его с тождественно равным нулю квадратом первого инварианта девиатора тензора напряжений, то оно примет вид [c.458]

Показана необходимость получения корректных аналитических выражений для объемной плотности магнитострикционных сил в ферромагнитных поликристаллах. Для нахождения аналитических выражений для магнитострикционных сил применен метод симметрии. Получен тензор магнитострикции для поликристалла. Компоненты тензора линейно зависят от квадрата вектора намагничения, что хорошо подтверждается экспериментально. [c.264]

Ниже рассмотрены уравнения гибких пластин большого прогиба (уравнения Кармана), из которых, в частности, получены соотношения для других видов пластин. При выводе уравнений принято, что справедливы гипотезы Кирхгофа, а составляющие тензора деформаций учитывают величины, пропорциональные квадратам производных от нормальных перемещений. В уравнениях равновесия, составленных для деформированного состояния, учтены наиболее существенные члены, содержащие силы в срединной плоскости на вторые производные от перемещений по нормали. [c.120]

Упругий потенциал — инвариантная величина, поскольку работа внутренних сил не зависит от выбора системы координат. Так как Дв — однородная функция e,ij второй степени, то Дв можно выразить через квадрат первого инварианта шарового тензора деформаций и второй инвариант девиатора деформаций, а именно [c.182]

Величина Одг представляет NN компонент тензора Т, а t% — квадрат величины вектора N-Т. Поэтому в системе осей is, не являющихся главными, [c.29]

Оценка удельной интенсивности касательных напряжений. Квадрат этой величины, равный абсолютному значению второго инварианта девиатора тензора напряжения, по (2.2.11), а также со ссылкой на формулы (I. 11.8), (I. 10.5), может быть записан в виде [c.51]

Этим допускается последовательное пренебрежение квадратами и произведениями компонент тензора Ум по сравнению с их первыми степенями. При таком допущении для описания деформированного состояния достаточно ввести один симметричный тензор второго ранга, называемый далее линейным тензором деформации, [c.58]

Вернемся к квадрату линейного элемента (3.3.1) учитывая (3.3.2), (3.3.3), приходим к его известному представлению квадратичной формой дифференциалов dq , образуемой с помощью матрицы ковариантных компонент тензора G [c.72]

Как указывалось в п. 1.1, в линейной теории упругости принимается предположение о малости компонент тензора SJu, позволяющее пренебречь квадратами этих величин по сравнению с первыми степенями. При этом условии тензор конечной деформации заменяется линейным тензором деформации [c.77]

Квадрат первого инварианта этого тензора выражается через главные значения и, значит, инварианты тензора G [c.91]

Непосредственным матричным умножением квадрат тензора Тц получается как внутреннее произведение Тц,Т , куб — как произведение Т1ьТктТтз и т. д. Таким образом, если Тц представлен в диагональной форме (1.137), то о-я степень этого тензора (и соот- [c.37]

Для выяснения смысла функций А и В выберем координатные оси так, чтобы одна из них совпала с направлением п. Компоненту скорости вдоль этой оси обозначим как Vr, а перпендикулярную п составляющую скорости будем отличать индексом t. Компонента корреляционного тензора Вгг есть тогда среднее значение квадрата относительной скорости двух частиц жидкости в их двиБ<ении навстречу друг другу. Компонента л<е Btt есть средний квадрат скорости вращательного движения одной частицы относительно другой. Поскольку — 1, = О, то из [c.194]

Когда мы в рассмотренном выше примере с лифтом переходим от локально инерциальной (сопутствующей кабине лифта) системы к системе, связанной с Землей, находящееся в лифте тело приобретает ускорение, обусловленное полем тяжести при этом в новых координатах квадрат интервала ds представляется в форме (68). Основополагающая идея Эйнштейна заключается в том, что отличие составляющих метрического тензора rs ) от brs объясняется полем тяготения, которое, таким образом, делает геометрию иространственно-временного континуума римановой геометрией. Если ири этом тензор grs) таков, что вычисленный по нему тензор кривизны обращается в нуль в протяженной области иространственно-временного континуума, то в этой области существуют такие координаты (л -), в которых квадрат интервала допускает представление (66). В исходной системе координат (x,j составляющие тензора (grs) характеризуют тогда специальное поле тяготения, называемое полем сил инерции. Может случиться, однако, что тензор кривизны не обращается в нуль в протяженной области пространственно-временного континуума, — в этом случае составляющие тензора (grs) определяют истинное поле тяготения, созданное распределенными в этой области материальными телами. Истинное поле тяготения нельзя устранить во всей области никаким преобразованием координат, которого в этом случае попросту не существует. В этом заключается фундаментальное отличие истинных полей тяготения от полей сил инерции эти поля эквивалентны только локально ( в малом ), но отнюдь не глобально ( в большом ). [c.477]

Условие (1.41) донускает пренебрежение квадратами и произведениями компонент тензора (u,j) по сравнению с их первыми степенями. При таком допущении формула (1.12) приводится к формуле (1.40). Таким образом, в случае малых перемещений деформации будут также малыми, при этом тензор малой деформации совпадает с линейным тензором деформации, который в дальнейшем называется тензором деформации. В последующем рассматриваются случаи малых перемещений, а следовательно, и малых деформаций. [c.15]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что 7 и V в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-j h6o смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного при-еедения двух квадратичных форм к сумме квадратов. [c.362]

Представление тензора второго ранга при помощи квадрат-Hoff матрицы. Тензор второго ранга в пространстве трех измерений может быть представлен в виде матрицы третьего порядка. На тензоры второго ранга распространяются классификация [c.772]

Квантовая теория рассеяния. В квантовой теории упругое рассеяние и неупругие процессы описываются иатричныыи элементами 5-матрицы, или матрицы рассеяния (амплитудами процессов),— комплексными величинами, квадраты модуля к-рых пропорц. сечениям соответствующих процессов. Через матричные элементы 5-матрицы выражаются фпз. величины, непосредственно иэмеряе.иые на опыте сечение, поляризация частиц, симметрия, компоненты тензора корреляции поляризаций и т. д. С др. стороны, эти матричные элементы могут быть вычислены при определ, предположениях о виде взаимодействия. Сравнение результатов опыта с тео-ретпч. предсказаниями позволяет получить информацию о взаимодействии. [c.271]

ЭЛЕКТРОСТРЙКЦИЯ—деформация диэлектрика, пропорциональная квадрату приложенного электрич. поля (или поляризации). Электрострикционная деформация не меняет знак при изменении направления поля на противоположное. При наличии обратного пьезоэлектрич. эффекта (линейной связи деформации и поля см. Пьеюэлек-трики) Э. выступает в качестве малой нелинейной добавки к нему. В отличие от пьезоэлектрич. эффекта, у Э. нет обратного эффекта, но есть термодина.мически сопряжённый эффект — изменение диэлектрической проницаемости пол действием механич. напряжения (аналог фотоупруго-сти), Коэф. Э. является тензором 4-го ранга, несимметричным по перестановке 1-й и 2-й пар индексов и симметричным по перестановке индексов внутри 1-й и 2-й пар. Тензор Э. характеризуется в общем случае (триклинная симметрия) 36 компонентами. Э. может иметь место в центросимметричных кристаллах и в изотропной среде. В сегнето-электриках с центросимметричной исходной (неполярной) фазой эффект Э. велик в области фазового перехода, а в сегнетоэлектрич. фазе пьезоэлектрич. эффект можно [c.594]

IV. 3. Метрический тензор. Из формул (IV. 2.6) следует, что величины gskig ) являются коэффициентами инвариантной квадратичной формы переменных (или й ,), а отсюда по сказанному в п. I. 4 следует заключить, что этими величинами определен симметричный тензор второго ранга, обозначаемый g gsk и g — его ко- и контравариантные компоненты его смешанные компоненты g суть коэффициенты билинейной формы переменных as, а . Тензор g определяет в принятом базисе квадрат длины. Это объясняет его наименование — метрический тензор. Диадное представление тензора g- записывается в одном из трех видов [c.872]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...