Комплексные числа равенство

При равенстве двух комплексных чисел должны быть в отдельности равны друг другу их вещественные и мнимые части. Пользуясь этим свойством, мы можем выразить функцию колебаний г)) = os ш/ как вещественную частЬ комплексной функции = а по окончании преобразований опять отделить вещественную часть. Мы можем свободно делать это, если в преобразования не входят произведения комплексных чисел, т. е. если уравнения в комплексных числах Линейны. Но с произведениями необходимо оперировать очень осторожно. Предположим, что нас интересует произведение Х Х2 двух вещественных величин. Если мы напишем [c.142]

Для определения постоянной С обойдем точку t = h (рис. 7.24, в) по полуокружности достаточно малого радиуса г = = I < — Л (с центром в точке t = h) против часовой стрелки. При этом аргумент вектора, соответствующий комплексному числу t — h, изменится от О до я. Тогда первое слагаемое в квадратных скобках равенства (7.67) примет вид 1п / —Л + ni, т. е. получит приращение ni. Второе же слагаемое In < — Ь получит малое приращение, так как оно непрерывно в точке < = Л. В результате приращение функции w после указанного перехода можно представить так [c.256]

С целью определения постоянной С обойдем точку I = й (рис. 137, в) по полуокружности достаточно малого радиуса г — 1 — 1г (с центром в t = к) против часовой стрелки. При этом вектор, соответствующий комплексному числу I — к, поворачиваясь, изменит свой аргумент с О на я. Тогда первое слагаемое Б квадратных скобках равенства (7-67) примет вид 1п — к А- я , т. е. получит приращение я/. Второе же слагаемое 1п (i— Ь) получит малое приращение, так как оно непрерывно в точке I к. В результате приращение функции (7-67) после указанного перехода можно представить так [c.277]

Действия над комплексными числами будем определять, во-первых, используя принцип, согласно которому равенство Л = а + (оа° = О означает, что одновременно удовлетворяются равенства а = О и а° = О, и, во-вторых, рассматривая каждое комплексное число формально как сумму, а множитель со как число, обладающее свойством со = 0. [c.20]

Произведение двух чисел может быть равно нулю не только при равенстве нулю одного из них, но и при равенстве нулю главных частей обоих чисел, ввиду чего извлечение корня из комплексного числа с нулевой главной частью возможно, если только и моментная часть равна нулю. [c.23]

Обыкновенно в примерах, подобных рассматриваемому, подкоренное выражение равенства (239) бывает отрицательным, так что корни р и р2 получаются сопряженными комплексными числами. [c.195]

Постулат равенства. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны порознь их вещественные и мнимые части, т. е. а + tfe = с 4- id, если а = с, Ь = d. [c.5]

Число г = Уа + Ь называется модулем, а угол ф —аргументом комплексного числа. Из равенств а = г os ф и ib = = ir sin ф следует тригонометрическая форма комплексного числа [c.6]

Всякое равенство между комплексными числами, обе части которого составлены только при помощи действий сложения, вычитания, умножения н деления, остается верным, если каждое из комплексных чисел заменить сопряженным с ним числом. [c.86]

Наибольшее значение в развитии неевклидовой механики имеет докторская диссертация А. П. Котельникова Проективная теория векторов (Казань, 1899). Котельников дал определение и метод сложения векторов, пригодных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая система векторов эквивалентна канонической системе , состоящей из двух векторов, направленных по двум взаимно полярным прямым, и нашел необходимое и достаточное условие эквивалентности двух систем векторов. Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода — винтов ( моторов , динам ), тесно связанных с комплексными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенности линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А. П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье Теория векторов и комплексные числа (опубликована посмертно в 1950 г.). [c.255]

В обеих частях этого равенства — комплексные числа, поэтому К ( ) - С (со) (со) — D (со) у (w) [c.423]

При равенстве нулю комплексного числа равны нулю его вещественная и мнимая части, поэтому [c.587]

Следовательно, равенство двух комплексных чисел означает равенство действительных и мнимых частей. Поэтому, приравнивая комплексные числа, мы можем приравнять действительные части с обеих сторон уравнения и отдельно приравнять мнимые части. [c.124]

Если два комплексных числа равны, то равны и сопряженные им числа. Выпишем сопряженное соотношение для соотношения (2) и разделим одно на другое, тогда получим равенство [c.349]

В обоих частях этого равенства — комплексные числа, поэтому а ((о) = с ш)х ((о) — d (o) у (ш) [c.329]

Выражения Мц — Ьц в этом случае чисто мнимые. В самом деле, и <л вещественны, если = щ [г = 1,, гп), где означает сопряженное комплексное число. Отсюда = gij. В силу равенств (1) примечания 7 это дает = Мц. Следовательно, Мц — Ьц имеют вид рг / , где р вещественны и отличны от нуля. Если они не все положительны, то при i, соответствующих отрицательным мы меняем ролями pi и qi, достигая этим положительности всех [c.362]

Поскольку, однако, спектр энергии-импульса находится внутри или на поверхности будущего светового конуса, то, если — 8 принадлежит физическому спектру и не содержит точки р = 0, левая часть последнего равенства обращается в нуль. Это означает, что вектор С Ч о ортогонален ко всем векторам Е —<5)ф (/ )...ф (А)Ч о, и поэтому С о — сЧ о, где с — комплексное число. Тогда равенство (4-17) для специального случая Т = Ч о принимает вид [c.198]

Если и 2 вещественны, то числа % и должны быть тоже вещественными, если же и 2 комплексно-сопряжены, то и 02 должны тоже быть комплексно-сопряженными числами. Поэтому величина, стоящая в круглых скобках равенства (8.34), вещественная, а ее квадрат должен быть положительным числом. На этом основании правую часть равенства (8.35) необходимо подчинить условию [c.278]

Полученные равенства представляют собой уравнения взаимно перпендикулярных прямых, показанных на рис/ VII.2, б. Если комплексный потенциал W (г), представляющий собой плоско-параллельный поток, умножить на мнимое число i, то линии тока и эквипотенциальные линии поменяются местами. [c.163]

Замечая, что a и P — действительные числа и что г-= —1, а также, что равенство (г) требует равенства порознь его действительных и комплексных частей, находим [c.181]

В случае замкнутого контура, содержащего начало координат, равенства (90) и (91) показывают, что если принять ii7(z) и х(-) в форме 2", где п — положительное или отрицательное целое число, то F , Fy и М равны нулю, так как при обходе контура функции в скобках возвращаются к своим начальным значен>1ям. Функция In 2 = In/" + 10 после обхода замкнутого контура, окружающего начало координат, не возвращается к своему начальному значению, поскольку В при этом увеличивается на 2п. Таким образом, если (2) С In 2 или х( ) = Dz In г, где С и D — комплексные постоянные, уравнение (90) дает ненулевое значение для F iFy. Точно так же дает ненулевое значе- [c.191]

Рассмотрим теперь составляющие собственного вектора определяемого уравнениями (10.15). Так как числа kk являются вещественными, то составляющие Uju относятся друг к другу, как вещественные числа. Однако в выборе этих составляющих имеется некоторая неопределенность, так как согласно (10.15) одну из них можно выбрать произвольно. Пользуясь этим, будем требовать, чтобы эта составляющая была числом вещественным, и тогда вещественность величины обеспечит вещественность и всех остальных составляющих вектора йй. [Любой комплексный коэффициент ui в равенстве (10.9) можно получить тогда за счет множителя С.] Умножая теперь (10.15) на йгл и суммируя по i, получаем [c.353]

При этом ij) ( ) в круге [ <] ро будет удовлетворять требованиям, предъявляемым к комплексным функциям напряжения ( 13.4), всюду, за исключением, быть может, точки = О, где надо выполнить условие аналитичности функции ( ). Этого можно достичь, только подчинив в равенстве (17.31.2) число п неравенству п 2 (конечно, исключается тривиальная возможность положить все Л и 5 равными нулю). При таком п цель будет достигнута, если в (17.31.5) положить т = п — 2. В результате получим формулу [c.251]

Функция обеспечивает особенно простое описание поля, содержащего много независимо возбужденных типов колебаний (мод). Поскольку в этом случае полная амплитуда поля % есть сумма большого числа независимо распределенных комплексных амплитуд, пропорциональных а , распределение амплитуды % будет соответствовать распределению конечных точек траекторий случайных блужданий в комплексной плоскости. Независимо от индивидуального распределения амплитуд в каждой моде это распределение принимает гауссову форму, когда число типов колебаний, дающих вклад, велико. С математической точки зрения, это утверждение едва ли отличается от теоремы о предельном значении, обсуждаемой в разделе 8 вышеприведенной статьи автора, т. е. равенство (14.44) становится по своей структуре подобным равенству (С8.1), когда функцию Р ( а ) можно представить в виде произведения Рд (а ). В порядке обобщения мы можем считать возбуждения [c.143]

При помощи двух действительных чисел х, у можно образовать комплексное число где через i обозначен У—1. Так как i не принадлеи<ит множеству действительных чисел, то следует определить для комплексных чисел понятия равенства, сложения, вычитания, умножения и деления ). Так, по определению, если x + + то х = х, у = у. Другие операции определяются так же, как и для действительных чисел. Например, [c.179]

Здесь множитель О к = Як- Ниже этот множитель используется в более общей задаче и вычисляется по формуле (2.5). Коэффициенты Вкп являются комплексными числами, за исключением точек Як, находящихся на действительной оси, где они принимают действительные значения. Кроме того, на действительной оси вертикальная компонента скорости г = 0. Для того чтобы представить равенство (3.2) в матричной форме, необходимо приравнять действительные и мнимые части. Пусть число коллокационных точек равно 2М 2 (по 7У-Ь1 на каждой окружности), причем точки и як+2 одновременно являются точками [c.336]

Из последггего равенства очевидно, что А. может быть определен только с точностью до 2 я т. о. всякое комплексное число имеет бесконечное множество А., представляющих арифметич. прогрессию с разностью 2п. См. также Комп,гексное переменное. В. Никаноров. [c.453]

Умножим полученное равенство на е и, проинтегрирэвав от нуля до -4-00 ( (В — комплексное число), получаем [c.130]

СИЛЫ Р = па р, а упругие перемещения определяются равенствами (11.9) и (11.10). Среднее нормальное перемещение внутри контактной площадки uz)m представляет интерес, так как оно определяет так называемую податлив ость (re eptan e) полупространства под действием осциллирующей силы. Податливость определяется как отношение среднего поверхностного перемещения йг)т внутри площадки нагружения к полной на- грузке Податливость выражается комплексным числом вещественная часть дает перемещение, синфазное с приложенной силой, мнимая часть — смещение, которое сдвинуто по фазе на л/2 от силы. [c.393]

На самом деле явление усложняется тем, что рассматриваемая нелинейность есть функция и скорости, и нагрузки / (со, р) или, что то же самое, / (м, ш). Само значение нелинейн010 сопротивления зависит от ш и обязательно имеется петля гистерезиса (зависимость от знака со). При увеличении скорости от нулевого значения сухое трение заменяется полусухим, а затем переходит в жидкостное с проявлением гидродинамического эффекта. Однако при уменьшении скорости гидродинамические эффекты сохраняются, обладая своеобразной инерцией, и при со = со , не равно /, если ШоСОг, 0. В этом случае нелинейный член в равенстве (10.57) q а, Q ) будет уже не действительным числом, а комплексным и соответствующая точка встречи с годографом системы уже не будет совпадать с осью действительных чисел. Тогда нельзя говорить о том, что автоколебания происходят на собственных частотах системы. [c.256]

Обратимся к составляющим смещений и напряжений, отвечающим комплексным корням. Если уч ть четность функции J (р и выражения для ( , г), ( , г), F (1) в (2.6), то легко убедиться, что все члены ряда по р (обозначенные для краткости uif х, г) и (х, 2)) в (2.5) являются вещественными функциями от х и г. Следовательно, вещественными являются соответствующие составляющие (х, г) и (х, Z) в выражениях для напряжений. Отсюда следует, что для любых пар ( р, — р) и ( , —tl) (в том числе и для р = q) комплексных корней справедливы равенства [c.253]

Тот факт, что в правые части этих равенств входит полупериод со — число вообгце говоря комплексное, дает основание сомневаться, будут ли ж и вегцественны при вегцественных значениях А, В и дуги S. Можно было бы показать, что при указанных значениях А, В, S координаты х vl у всегда будут вегцественны. [c.239]

Б. Определение и свойства обобщенных функций. Функционалом / (действительным или комплексным) на множестве Ф с элементами ср называется однозначное отображение f Ф R (или / Ф (7). Значение функционала на элементе ср будем записывать так (/, ср). Пусть Ф — липейпое пространство. Тогда функционал называется линейным, если для любых элементов ср, ф Е Фи любого числа а выполняются равенства (/, ср + ф) = (/, ср) -ь (/, ф) и (/, аср) = a f, ср). Множество таких функционалов обозначим через Ф Если на нем обычным образом ввести операции сложения (/ - - g, ср) = (/, ср) + (g, ср) и умножения на число Л (Л/, ср) = Л(/, ср), то оно само образует липейпое пространство и называется сопряженным с Ф пространством. [c.359]

Замечание 6. Исследование алгебраической интегрируемости системы (2.3), (2.8) содержится в работе [226], при помощи метода Ковалевской данная система исследована М. Адлером и П. ван Мёрбеке [187, 186, 185], где также обсуждается интегрируемость. В работе [185] найден новый интегрируемый случай. Условия мероморфности решения на комплексной плоскости времени получены в работах [37,38]. Они заключаются в том, что в равенстве (2.16) к должно быть целым нечетным числом. Необходимые условия алгебраической интегрируемости получены также в работе [206], при этом к должно быть рациональным. [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...