Комплексные числа сложение

После того как установлено понятие винта, для построения алгебры, в которой винт был бы объектом различных операций, необходимо дать определение действий над винтами. В основу их положим действия над моторами, соответствующими винтам. При задании двух и более винтов выберем в пространстве одну общую точку приведения и к ней отнесем моторы всех винтов. Любую алгебраическую операцию над винтами (умножение на число, сложение и умножение) будем определять как операцию над моторами этих винтов, а так как каждый мотор формально выражается комплексным вектором, то алгебра винтов сведется к алгебре комплексных векторов. [c.34]

Постулат сложения. Чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить порознь их вещественные части и множители при i, т. е. а + ib) + (с + id) = (а + с) + t (6 + d). [c.6]

Всякое равенство между комплексными числами, обе части которого составлены только при помощи действий сложения, вычитания, умножения н деления, остается верным, если каждое из комплексных чисел заменить сопряженным с ним числом. [c.86]

Действия над гармоническими кривыми, имеющими одинаковые периоды (сложение, вычитание, умножение на отвлеченное число, деление, дифференцирование и интегрирование), могут быть заменены теми же действиями над их радиусами-векторами, выраженными комплексными числами. [c.146]

Наибольшее значение в развитии неевклидовой механики имеет докторская диссертация А. П. Котельникова Проективная теория векторов (Казань, 1899). Котельников дал определение и метод сложения векторов, пригодных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая система векторов эквивалентна канонической системе , состоящей из двух векторов, направленных по двум взаимно полярным прямым, и нашел необходимое и достаточное условие эквивалентности двух систем векторов. Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода — винтов ( моторов , динам ), тесно связанных с комплексными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенности линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А. П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье Теория векторов и комплексные числа (опубликована посмертно в 1950 г.). [c.255]

Комплексное евклидово пространство. Пусть S О, е , ез, ез есть базис трехмерного комплексного евклидова пространства, в котором определены операции умножения векторов на комплексные числа и сложения векторов и заданы два скалярных произведения векторов х-у [13, 14] и (х, у) [6], которые назовем соответственно первым и вторым. [c.16]

Алгебраическая форма записи комплексного числа а (а, Р)= а + г Р позволяет производить операции сложения и умножения по обычным правилам алгебры для многочленов. Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению [c.52]

Крученая стеклянная нить получается в процессе размотки комплексных стеклянных нитей с бобин с первичной круткой и последующего трощения нескольких размотанных нитей с вторичной круткой. Крученые нити различаются по числу комплексных нитей, лежащих в их основе (две и более) схеме кручения (числу сложений на первичной и вторичной крутках) крутке (количеству кручений нити на [c.257]

Теперь легко получить закон сложения комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа [c.123]

Таким образом, основные правила алгебры при сложении, вычитании, умножении и делении можно применять к комплексным числам, если выполняется условие [c.124]

Векторные свойства комплексных чисел. Мы уже видели, что комплексные числа подчиняются векторному закону сложения, если их представить на векторной диаграмме. Пусть Рх и Р являются изображающими точками комплексных чисел 21 и 2. Тогда для выполнения операции [c.126]

При сложении синусоидальных колебаний применение комплексных чисел упрощает вычисления, но иногда затемняет их физический смысл. Поэтому в первой части книги комплексные числа не используются. Они появляются в главе 6 вместе с векторными диаграммами для гармонических колебаний, а в главе 8 (поляризация) комплексные числа широко используются. В главе 9 (интерференция и дифракция) комплексные числа используются мало, но преподаватель может применить их для облегчения расчетов. Ряды Фурье (п. 2.3) и интегралы Фурье (пп. 6.4 и 6.5) излагаются без комплексных чисел. [c.16]

Чтобы сконструировать гильбертово пространство Ж, мы будем исходить из векторного пространства Н, образованного всеми последовательностями вида / = (/о, fu /2, ) > где /о — любая комплексная постоянная, Д е s (R ), к = = 1,2,..., и все основные функции fu, кроме конечного числа их, равны нулю. Сложение и умножение на комплексные числа определены обычным образом [c.166]

Если данные монополи не синфазны, то объемные скорости их — комплексные числа. Поэтому сложение объемных скоростей следует производить по правилу геометрического сложения комплексных чисел с учетом сдвига фаз. При синфазной работе обоих [c.314]

Сравнение методов численной реализации математических моделей АР дано в табл. 3.1. Для простоты оценок анализ проводится при одномодовой аппроксимации тока излучателя, т. е. число уравнений в системе (3.1) совпадает с числом излучателей N. При этом в зависимости от конкретной программной реализации математической модели требуемый объем ОП и число мультипликативных операций могут изменяться и отличаться от величин, указанных в табл. 3.1 однако они будут иметь тот же порядок. (При сравнении методов численной реализации математических моделей учитывались только мультипликативные (умножение, деление) операции над комплексными числами, время выполнения которых существенно превосходит время выполнения операций сложения, вычитания и логических, операций.) [c.107]

Первым осн. понятием К. м. явл. квантовое состояние. Выбор матем. аппарата К. м. диктуется физ. принципом суперпозиции квант, состояний, вытекающим из волн, св-в ч-ц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, явл. также возможным состоянием системы. Объекты, для к-рых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, наз. векторами. Т. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось нек-рым вектором — вектором состояния (с к-рым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волн, ф-ции), являющимся элементом линейного пр-ва состояний . Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пр-в. Вектор состояния обозначается, по Дираку, 1 ф>. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор 1 )> может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на другой вектор, т. е. составить скалярное произведение г > с любым другим вектором состояния ф > оно обозначается как <г ) 1 ф> и явл. комплексным числом, причём [c.261]

Можно также распространить подход, основанный на собственных значениях для парных сравнений, на использование комплексных чисел. Процесс будет соответствовать сравнению объектов относительно двух независимых признаков одновременно. При согласованном случае остается А- = пш с п, являющимся наибольшим собственным значением А, и отношение согласованности а к = ац,/а1 также остается в силе. Малые возмущения в коэффициентах могут теперь произвести малое комплексное возмущение в п, в результате чего получим — комплексное число, и, конечно, решение в общем случае б> ет комплексным. Нормализация к единице прямым сложением больше не имеет смысла. Может стать необходимым применение евклидовой нормы (а1, ао) =а[- -1а-2, которая будет (01 + 02) . Обобщение может быть проведено на кватернионы, т. е. числа вида [c.86]

Рис. 4.26, Сложение комплексных чисел если x,==xi + ty, и 22=a +Jj/j. то 2=Zi+2j--=( <1 + Jfj) + (Hi + yi). Убедитесь, что это подтверждается графиком (а). Сложение векторов. Векторы тоже складываются по правилу составляющая с составляющей (б). Следовательно, если правило параллелограмма выполняется для сложения векторов, то оно выполняется также и для сложения комплексных чисел (в). Например, z + z —2x, т. е. равно вещественному числу (г). Подобным же образом вычитание комплексных чисел легко выполняется с помощью правила параллелограмма (д). Например, z—z =2iy, т. е.

С учетом закона сохранения энергии для лучей (но не граничных условий для волн ) векторная диаграмма сложения комплексных амплитуд лучей, отразившихся от пластины и прошедших через нее, изображена на рис. 98, а, где Ео,Еот, Епр—комплексные амплитуды падающего, отраженного и прошедшего луча, Еог = Епр = Е /у]2, = от+ пр- Если разность хода лучей при возвращении к пластине составляет целое число длин волн, то фазовое отношение между ними, принятое на рис. 98, а, не изменится и каждый из них разделится на два [рис. 98, б] ( Е ,х)от и ( пр)от — комплексные амплитуды отраженных лучей, которые при первом прохождении пластины были соответственно отраженным и преломленным (Еот )пр и ( пр)пр — комплексные амплитуды преломленных лучей, которые прй первом прохождении пластины были соответственно отраженным и преломленным Еот — ( от)от + (Еох) пр, Епр — ( пр)от + [c.151]

При одинаковых (или отличающихся на //л, где п — целое число) фазах ф и ф2 комплексных амплитуд Еох и Ещ в каждой точке происходит сложение взаимно перпендикулярных колебаний в одной фазе, что дает колебание в новом направлении. Результирующая волна будет линейно поляризованной. Направление ее поляризации зависит от отношения амплитуд а и Ь. Различные случаи представлены на рис. 1.5. [c.21]

Операции сложения, вычитания и умножения на скаляр для матриц имеют следующие свойства (если А и В — матрицы, а а и Р — числа в общем случае комплексные) [c.480]

Следовательно, после выполнения операций, необходимых для вычисления ДПФ в диапазоне О (Л /2) — 1, в оставшейся части нужно изменить знак слагаемого ( ,) и выполнить N 2 комплексных сложений. Дополнительных комплексных умножений не требуется. Поэтому полное число комплексных умножений для всего интервала О < — 1 равно N 2 N 2. При больших N это дает экономию почти в два раза по сравнению с прямым вычислением ДПФ. [c.184]

Введенные комплексные гармонические волны удобны при расчетах, потому что в них входит только одна (экспоненциальная) функция вместо двух различных тригонометрических функций (косинус и синус), переходящих друг в друга при дифференцировании и интегрировании. Следует, однако, иметь в виду, что сами комплексные решения уравнения Гельмгольца не имеют никакого физического смысла. Действительно, всякая физическая величина, всякое показание прибора, например отсчет по тому или иному индикатору, всегда есть вещественное число. Физический смысл имеет только вещественная часть комплексной волны. Для перехода от комплексной волны к имеющей физический смысл вещественной волне необходимо предварительно восстановить опущенный временной множитель а затем взять от комплексной величины вещественную часть. Чтобы вещественная часть результата операций над комплексными волнами равнялась результату тех же операций над вещественными частями комплексных волн, эти операции должны быть линейными допустимо сложение, вычитание волн, дифференцирование их по времени и по координатам. Но, например, вещественная часть произведения не равна произведению вещественных частей комплексных чисел. Поэтому энергию или мощность волны нельзя получить непосредственно перемножением комплексных величин, характеризующих волну, а приходится возвращаться к вещественной записи (см. гл. IV). [c.68]

При помощи двух действительных чисел х, у можно образовать комплексное число где через i обозначен У—1. Так как i не принадлеи<ит множеству действительных чисел, то следует определить для комплексных чисел понятия равенства, сложения, вычитания, умножения и деления ). Так, по определению, если x + + то х = х, у = у. Другие операции определяются так же, как и для действительных чисел. Например, [c.179]

Векторы состояния и линейные эрмитовы операторы. Принцип суперпозиции состояний диктует выбор матем. аппарата К. м. Первым осн. понятием К, м. является квантовое состояние. Согласно принципу суперпозиции состояний, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэф., является также возможным состоянием системы. Т. о., состояния системы образуют линейное векторное пространство. Тем самым принцип суперпозиции состояний вскрывает матем. природу квантового состояния. Он указывает на то, что состояние системы должно описываться нек-рым вектором — вектором состояния, являющимся элементом линейного пространства состояний. Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается, по Дираку, символом ij)>. Если система находится в состоянии, в к-ром физ. величина f имеет определ. (собств.) значение /, , вектор состояния системы удобно обозначать символом )/, >. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор ij)> может подвергаться еще двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение ij3> с любым др. вектором состояния оно обозначается как <г ) t ) и яв- [c.278]

ЛИ АЛГЕБРА — векторное пространство, на к-ром определепа операция, называемая коммутированием. Дл ( элементов алгебры определены линейные операции — сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то Л. а. наз. вещественной если допускается умножение на комплексные числа, то Л. а. наз. комплекс-н о й. Операция коммутирования сопоставляет любым двум, члемсч1там алгебры X, Y третий элемент [X, У] .4. Эта операция билинейна (т. е. линейна по каждому аргументу), антисиммет- [c.583]

Над целыми, вещественными и комплексными числами выполняются арифметические операции сложение, вычитание, умножение, деление и в ряде случаев возведение в степень. Кроме того, возможны операции отнощения больще, меньще, равно и т.д. [c.169]

Можно рассматривать также точечный в их реисточник, который представляет собой объединение в одной точке и источника, и вихря. Если вихреисточник расположен в начале координат, а его интенсивность характеризуется комплексным числом с = М- -1Т, то вектор скорости и комплексный потенциал течения, им инициированного, получится из (4), (5) и (6) сложением [c.64]

Обозначение марки состоит из трех частей, разделенных тире. В первой части буква В обозначает алюмоборосиликатный состав стекла, буква С — непрерывную элементарную нить, цифра — номинальный диаметр элементарной нити, мкм. Вторая часть обозначает толщину комплексной нити, текс, и число сложений при первом, втором я третьем скручяваннп. Третья часть обозначает вид замасливателя при выработке нитей на замаслвеателе парафиновая эмульсия вид замасливателя не указывается. [c.416]

Крученая стеклянная нить получается в процессе размотки комплексных стеклянных нитей с бобин с первичной круткой и последующего трощения нескольких размотанных нитей с вторичной круткой. Крученые нити различаются по числу комплексных нитей, лежащих в их основе (2 и более) схеме кручения (числу сложений на первичной и вторичной крутке) крутче (количеству кручений нити на метр ее длины, которое мэжет изменяться от 50 до 500) и характеристике исходной комплексной нити. Разрывное усилие крученых нитей может изменяться от 3 до 300 Н. Ассортимент, характеристики и требования, предъявляемые к крученым нитям, регламентируются ГОСТ 8325-70. Некоторые наиболее употребительные марки нитей приведены в табл. 9-7. [c.417]

Операции умножения в алгоритмах БПФ можно, как это видно из графов на рис. 2.1 и 2.2, заменить менее трудоемкими операциями двоичного сдвига или операциями сложения, если про-квантовать значения синусов и косинусов — мнимой и действительной частей комплексной экспоненты — на небольшое число уровней. Так мы приходим к преобразованию, которое является квантованным дискретным преобразованием Фурье (КДПФ) . [c.38]

Комбинация источника н стока. Движения, обусловленные равномерным потоком и любым числом источииков, можно получить сложением соответствующих комплексных потенциалов, если жидкость безгранична. [c.197]

Множество таких функций обозначим через Ф = <-р). При использовании обычных операций сложения функций и умножения их на число (действительное или комплексное) Ф является линейным пространством (действительным или комплексным). Паделим это пространство дополнительными свойствами. [c.357]

Б. Определение и свойства обобщенных функций. Функционалом / (действительным или комплексным) на множестве Ф с элементами ср называется однозначное отображение f Ф R (или / Ф (7). Значение функционала на элементе ср будем записывать так (/, ср). Пусть Ф — липейпое пространство. Тогда функционал называется линейным, если для любых элементов ср, ф Е Фи любого числа а выполняются равенства (/, ср + ф) = (/, ср) -ь (/, ф) и (/, аср) = a f, ср). Множество таких функционалов обозначим через Ф Если на нем обычным образом ввести операции сложения (/ - - g, ср) = (/, ср) + (g, ср) и умножения на число Л (Л/, ср) = Л(/, ср), то оно само образует липейпое пространство и называется сопряженным с Ф пространством. [c.359]

Матрица имеет вид таблицы решений (табл. 5.2). Комплексной детали А ставится в соответствие строка матрицы [Ц, состоящая из т-элементов, где т — число элементарных поверхностей, определяющих расчленение деталей на группы. В данном случае строка записывается в виде <2 = (1, 1, 1) — 18 позиций. Если с единичными элементами строки связать логические функции, описывающие свойства поверхностей и отношения между ними, то получается математическая модель группы деталей, которую удобно применять при решении задач технологии на ЭВМ. При адресации новой детали 3 к группе необходимо проверить, все ли элементарные поверхности детали 3 имеются в комплексной. Для этого используется вектор-строка а и вектор-строка 1, описывающая конкретную деталь, и логическая функция г = (а Ф ОЛ/, где 0 — операция подразрядного сложения Л — операхщя логического умножения. Правило логического сложения и умножения [c.286]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...