Комплексные числа умножение

Уравнения (11.203) и (11.204) можно было бы получить из уравнений (II.194) и (11.195), а уравнениям (II.201) и (II.202) можно придать обычную векторную форму. Сначала выясним геометрический смысл умножения вектора, заданного комплексным числом, на г — [c.202]

Формулы (105) и (106) очень удобны для числовых расчетов. Из графического представления комплексного числа в виде вектора видно, что умножение на другое комплексное число равносильно растяжению вектора с поворотом го. Результат умножения не зависит от порядка этих операций. [c.142]

И Других заменить г новой переменной 2i = 2. Действительно, умножение на мнимую единицу изменяет (увеличивает на угол л/2) только аргумент комплексного числа, не изменяя его модуля. Поэтому картина течения (см. рис. 7.5) в плоскости переменного Zj окажется повернутой на угол я/2. Комплексный потенциал этого течения в плоскости Zj будет иметь вид [c.230]

Показать, что умножение комплексного числа па е" интерпретируется как поворот соответствующего вектора на угол [c.84]

Слева в (1.222) стоит вторая производная от комплексного числа z = x iy, умноженная на т, а справа — комплексная сила Z = Fx- iFy = Переход к полярным координатам несложен по формуле Эйлера [c.22]

Дадим определение умножения единичного винта Е на комплексное число R = г + ш°. [c.35]

Отсюда следует, что в результате умножения единичного винта Е на комплексное число = г + получается винт R, осью которого служит ось винта Е, и его можно представить комплексным вектором [c.35]

Умножение произвольного винта У = Еге Р на комплексное число А = а h (оа° определим как построение такого винта, мотор которого для произвольной точки получается умножением мотора (ег, е°г + ег°) данного винта для этой же точки на комплексное число. Представляя мотор как комплексный вектор, имеем [c.36]

Постулат умножения. Два комплексных числа перемножаются, как обычные двучлены с последующим приведением подобных членов, имея в виду, что i = —1, т. е. (а + г6) (с + id) = [c.6]

Всякое равенство между комплексными числами, обе части которого составлены только при помощи действий сложения, вычитания, умножения н деления, остается верным, если каждое из комплексных чисел заменить сопряженным с ним числом. [c.86]

В инженерно-физических приложениях используются конечно- и бесконечномерные действительные или комплексные векторные пространства, соответственно определяемые как линейные (векторные) пространства над полем действительных и комплексных чисел в зависимости от того, допускается ли умножение векторов только на вещественные или на любые комплексные числа. 206 [c.206]

Умножение матрицы на число. Если к—вещественное или комплексное число, то произведение ХА матрицы А на число к определяется формулой [c.95]

Действия над гармоническими кривыми, имеющими одинаковые периоды (сложение, вычитание, умножение на отвлеченное число, деление, дифференцирование и интегрирование), могут быть заменены теми же действиями над их радиусами-векторами, выраженными комплексными числами. [c.146]

Так как по график ам комплексные числа даются в виде модуля и аргумента, то требующиеся затем действия умножения и деления производятся без труда. [c.158]

Комплексное евклидово пространство. Пусть S О, е , ез, ез есть базис трехмерного комплексного евклидова пространства, в котором определены операции умножения векторов на комплексные числа и сложения векторов и заданы два скалярных произведения векторов х-у [13, 14] и (х, у) [6], которые назовем соответственно первым и вторым. [c.16]

Допустим, что один из корней комплексный, т. е. X2=p, + /v ( х и V — действительные числа, а i=Y—i). Соответствующее этому корню решение уравнения (11.3) можно представить в виде = x + iy где л и — действительные числа. После подстановки этих выражений в (11.3), умножения на сопряженное комплексное число [c.332]

Полученное выше спектральное разложение является двусторонним, т. е. соответствует изменению т от —оо до оо. Общепринято пользоваться односторонними спектрами, определенными только при m > 0. Поскольку рт и р-т являются сопряженными комплексными числами, односторонний спектр получается умножением соответствующих двусторонних гармоник на sj2, т. е. [c.839]

Алгебраическая форма записи комплексного числа а (а, Р)= а + г Р позволяет производить операции сложения и умножения по обычным правилам алгебры для многочленов. Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению [c.52]

Нетрудно показать, что это правило не распространяется на нелинейные операции, в частности на умножение комплексных чисел, и комплексный метод в этом случае неприменим. Однако, если необходимо вычислить квадрат амплитуды, можно воспользоваться другим правилом произведение комплексного числа Л = ае Ф на комплексно-сопряженное B = be J4> равно произведению модулей этих чисел [c.18]

Полярные координаты комплексного числа удобны для выполнения действий умножения и деления. Нетрудно показать, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются [c.54]

Таким образом, основные правила алгебры при сложении, вычитании, умножении и делении можно применять к комплексным числам, если выполняется условие [c.124]

Напомним, что умножение комплексного числа на / соответствует повороту вектора на 90° в сторону возрастания угла ф. Тогда радиус-вектор точки М [c.99]

Пространственным комплексным числом называют [37] выражение г + а j, где г и а — комплексные числа вида и + V i, + г] i, а символы i, j — мнимые единицы, таблица умножения которых задаётся в следующем виде [c.217]

Последний вектор получается из предыдущего в результате умножения на комплексное число ехр(—1ц>х) [c.252]

Два вектора, отличающихся только умножением на комплексное число модуля единица, описывают одно и то же состояние, потому что результаты любых экспериментов над состоянием, описываемым с помощью могут быть выражены в терминах величин [c.15]

Чтобы сконструировать гильбертово пространство Ж, мы будем исходить из векторного пространства Н, образованного всеми последовательностями вида / = (/о, fu /2, ) > где /о — любая комплексная постоянная, Д е s (R ), к = = 1,2,..., и все основные функции fu, кроме конечного числа их, равны нулю. Сложение и умножение на комплексные числа определены обычным образом [c.166]

Каждая из сумм в выражении (7.23) требует N/2 комплексных умножений для каждого значения к. Кроме того, одно комплексное умножение требуется для экспоненциального множителя перед второй суммой. Поэтому полное число умножений для каждого значения к = М/2)- - М- -2)- - = N- -. Для всех значений к в интервале [О, (Л /2—1)] полное число комплексных умножений равно М/2) М ) = N /2 + N/2. [c.183]

При помощи двух действительных чисел х, у можно образовать комплексное число где через i обозначен У—1. Так как i не принадлеи<ит множеству действительных чисел, то следует определить для комплексных чисел понятия равенства, сложения, вычитания, умножения и деления ). Так, по определению, если x + + то х = х, у = у. Другие операции определяются так же, как и для действительных чисел. Например, [c.179]

В 1895 г. опубликовано выдающееся сочинение А. П. Котельникова [27], в котором впервые построено собственно винтовое исчисление. В этой работе использованы комплексные числа с множителем со, введенным Клиффордом, умножением на которые вектор преобразуется в винт. Главная заслуга Котельникова состоит в том, что он впервые в наиболее полном и ясном виде сформулировал принцип перенесения . Котельникову путем, как он выразился, небольшой уловки, заключавшейся в преобразовании бикватерниона Клиффорда в кватернион с комплексными коэффициентами, удалось установить, что все формулы теории кватернионов суть неразвернутые формулы бикватернионов, т. е. установить тождественность формул для тех и других. Это, в свою очередь, привело к выводу, что все операции векторного исчисления превращаются в операции винтового исчисления, если в них все вещественные величины заменить комплексными с множителем со. Благодаря этому удалось одним уравнением заменить не три, как в векторном исчислении, а шесть скалярных уравнений, что придает большую компактность записи условий и решению многих задач. [c.4]

Векторы состояния и линейные эрмитовы операторы. Принцип суперпозиции состояний диктует выбор матем. аппарата К. м. Первым осн. понятием К, м. является квантовое состояние. Согласно принципу суперпозиции состояний, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэф., является также возможным состоянием системы. Т. о., состояния системы образуют линейное векторное пространство. Тем самым принцип суперпозиции состояний вскрывает матем. природу квантового состояния. Он указывает на то, что состояние системы должно описываться нек-рым вектором — вектором состояния, являющимся элементом линейного пространства состояний. Это позволяет использовать матем. аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается, по Дираку, символом ij)>. Если система находится в состоянии, в к-ром физ. величина f имеет определ. (собств.) значение /, , вектор состояния системы удобно обозначать символом )/, >. Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор ij)> может подвергаться еще двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение ij3> с любым др. вектором состояния оно обозначается как <г ) t ) и яв- [c.278]

ЛИ АЛГЕБРА — векторное пространство, на к-ром определепа операция, называемая коммутированием. Дл ( элементов алгебры определены линейные операции — сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то Л. а. наз. вещественной если допускается умножение на комплексные числа, то Л. а. наз. комплекс-н о й. Операция коммутирования сопоставляет любым двум, члемсч1там алгебры X, Y третий элемент [X, У] .4. Эта операция билинейна (т. е. линейна по каждому аргументу), антисиммет- [c.583]

При умножении вектора х= х, +/х на комплексное число а=а,+ /а,-peiyjibTHpyramnii сектор [c.18]

Образ вектора г остается а подпространстве, определяеши векторами х,- и х,-. При умножении на комплексное число изотропный сектор остается изотропным, а простой — простым. При умножении на Ы векторы вещественной и мнимой частей изотропных векторов вращаются в пространстве, а простых — осциллируют со сдвигом по фазе на я/2. [c.18]

Над целыми, вещественными и комплексными числами выполняются арифметические операции сложение, вычитание, умножение, деление и в ряде случаев возведение в степень. Кроме того, возможны операции отнощения больще, меньще, равно и т.д. [c.169]

Итак, давление и колебательная скорость в прямой плоской волне совпадают по фазе, и их отношение характеризуется вещественной величиной — удельным волновым сопротивлением В общем случае давление и скорость могут отличаться по фазе как это имеет место, например, в обратной плоской волне. Поэтому в общем случае отнои1ение давления к колебательной скорости характеризуют комплексным числом, называемым удельным акустическим импедансом- р/и =-- г z , 4- 1у, мнимая часть которого определяет величину фазового сдвига между р и и. Умножение удельного импеданса на площадь 5, на которой действует давление р, соответственно дает величину полного илтеданса 2 — гЗ. [c.47]

Вектор z = x- -yi обнимает два скаляра, посадовательность которых фиксирована и называется поэтому. комплексным числом (Гаусс), причем термин число , до сих пор применявшийся лишь к ска.тярам в этом смысле, распространяется и на векторы одной плоскости. Основание такого распространения для понятия число заключается в том, что правила исчисления с обычными вещественными числами все без исключения применимы и к векторам плоскости, если вычитание, умножение и деление (согласно 1 и 2) соответственным образом определяется и при вычислениях всегда полагается = — 1. [c.177]

Покажем, что если Le = e и fi —другое собственное значение L, то Л > /i . Если fl—действительное число, то рассмотрим собственный вектор / с собственным значением fj, и плоскость, порожденную ей/. Мы уже доказали, что никаких других векторов с собственными значениями Л не существует. Допустим, что (/i > Л. Тогда, как и выше, для а, >0 при n 00 направления векторов L"(ae + f) стремятся к направлению f и, следовательно, для достаточно большого n эти векторы находятся вне Р. Но если е достаточно мало, то е -f е/ J и мы пришли к противоречию. Точно так же, если fi —комплексное число, скажем, ц = р то можно найти дв)гмерную инвариантную плоскость, на которой L действует как умножение на р и вращение на угол tp. Если р > Л, то мы получаем противоречие, рассматривая действия L на трехмерном пространстве, порожденном вектором е и нашей плоскостью. [c.68]

Физическое поле, соответствующее комплексному полю равно вещественноп части т. е. о os (со/—ф). Упрощения, которые появляются при использовании комплексного числа ехр (— со/) для выражения зависимости от времени, связаны с тем, что сдвиг на 90° эквивалентен умножению на i -iat -iioi Таким образом, [c.497]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...