Эллиптические точки поверхност

Если DD" — D 0, то линия есть эллипс все R имеют один и тот же знак, и все точки поверхности, достаточно близкие к М, располагаются по одну сторону касательной плоскости в этом случае М называется эллиптической точкой поверхности. [c.218]

Эллиптические секторы — Площадь 107 Эллиптические точки поверхности 296 Эллиптические цилиндры — Уравнения 256 [c.567]

Эллиптические точки поверхности 1 — [c.499]

Сперва предположим, что х — эллиптическая точка поверхности Р , Т — касательная плоскость к в точке х и соотношение (5) выполняется для поверхности в х. Тогда не только поверхность 9 лежит вся по одну сторону от вблизи точки х, но можно также построить параболоид вращения 9 с вершиной в X, имеющий касательной плоскостью и такой, что при достаточно малых Аг соответствующий кусок поверхности 9 Заключен между ним и плоскостью А именно, если [c.135]

Касательная плоскость может иметь с поверхностью одну общую точку. В этом случае все линии поверхности, пересекающиеся в рассматриваемой точке, находятся по одну сторону касательной плоскости Такие точки поверхности называют эллиптическими. [c.267]

Плоскости, касательные к поверхностям с эллиптическими точками [c.273]

Какие точки поверхности называют эллиптическими, параболическими, гиперболиче- [c.285]

В зависимости от вида поверхности, индикатриса Дюпена может иметь вид эллипса, гиперболы или двух параллельных прямых линий. Если индикатриса Дюпена касается поверхности только в одной точке, то она является эллипсом. В этом случае все точки поверхности, достаточно близкие к рассматриваемой точке, находятся по одну сторону касательной плоскости. Такие точки поверхности, как известно, называются эллиптическими. [c.409]

Поверхности, состоящие только из эллиптических точек, являются выпуклыми и называются поверхностями положительной кривизны (например, сфера, эллипсоид, параболоид и Т.Д.). [c.137]

Какие точки поверхности называются эллиптическими, параболическими и гиперболическими Приведите примеры поверхностей, состоящих из эллиптических, параболических и гиперболических точек. Существуют ли поверхности, содержащие все типы точек [c.143]

Эллиптическая точка характеризуется тем, что в ее окрестности поверхность и касательная плоскость не содержат других действительных точек, т. е. линия пересечения имеет две мнимые ветви, проходящие через эту точку. Например, касательная плоскость 2 (рис. 165) (F = R), проведенная к сфере в точке [c.132]

Если индикатриса Дюпена поверхности — эллипс, то точка М называется эллиптической, а поверхность — поверхностью с эллиптическими точками (рис. 206). В этом случае касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, а все линии, принадлежащие поверхности и пересекающиеся в рассматриваемой точке, расположены по одну сторону от касательной плоскости. Примером поверхностей с эллиптическими точками могут служить параболоид вращения, эллипсоид вращения, сфера (в этом случае индикатриса Дюпена - окружность и др.). [c.142]

Одна поверхность может иметь точки разных видов, например, у торсовой поверхности (рис. 209) точка М эллиптическая точка N — параболическая точка К - гиперболическая. [c.143]

ПРИМЕР 1. Построить плоскость а, касательную к поверхности вращения /3, с эллиптическими точками. Рассмотрим два варианта решения этой задачи, а) точка М G и б) точка М Ц/i Вариант а (рис. 210). [c.143]

Рассмотрим некоторые случаи преломления света в одноосных кристаллах. При анализе будем пользоваться принципом Гюйгенса (см. 2.4) —простым и в то же время достаточно эффективным способом изучения распространения света в анизотропных средах. Поверхности, фигурирующие в построении Гюйгенса, есть лучевые поверхности, а не поверхности нормалей. Действительно, по правилу Гюйгенса для получения фронта плоской волны проводят плоскость, касательную к поверхности Гюйгенса. А фронт волны касателен именно к лучевой поверхности И пересекает поверхность нормалей. Таким образом, используя представление о сферической и эллиптической волновых поверхностях, можно найти направления обыкновенного и необыкновенного лучей в одноосных кристаллах. Разберем частные случаи. [c.47]

Оптическая ось О О" составляет некоторый угол с преломляющей гранью кристалла (рис. 17.21, б). В этом случае одновременно около всех точек А, С я О возникнут сферические волновые поверхности одинакового радиуса, в результате чего волновой фронт обыкновенной волны в кристалле пойдет параллельно падающему и обыкновенные лучи Ло, С и Оо пересекут грань кристалла не преломляясь. Волновой фронт необыкновенной волны также параллелен падающему фронту, но точки его касания с эллиптическими волновыми поверхностями сдвинуты относительно точек А, С, О. Это приводит к отклонению необыкновенных лучей Ае, Се и Ое от их первоначального направления. Таким образом, геометрическое построение Гюйгенса объясняет отклонение [c.48]

Эллиптические координаты в пространстве. В эллиптической системе координат точка М в пространстве ог ределяется параметрами тре.т пересекающихся в этой точке поверхностей второго порядка, софокусных заданной. Пусть [c.453]

Классификация точек поверхности. Если в точке М (и, с ) поверхности величина DD"—D 0, то точка называется эллиптической / j и У з — одного знака вблизи точки М поверхность расположена по одну сторону касательной. Если DD"—< О, то точка называется гиперболической, к R% — разных знаков. Поверхность пересекается касательной плоскостью в точке М, и вблизи этой точки поверхность имеет вид гиперболического параболоида. Если DD" — D 2 = О, то точка называется параболической. Rx или / г равен оо. [c.296]

Как видно из формулы (8), полная кривизна равна нулю при а = = 90°. Это значит, что эвольвенты, проходящие через точки Ь и Ь (см. фиг. 2), являются параболическими линиями. Эти линии разделяют эвольвентную каналовую поверхность на внешнюю и внутреннюю области. Внешняя область содержит только эллиптические точки. Уравнения этой области [c.54]

Из (88), в частности, следует, что скорость направлена в ту сторону оси Oz, в которую направлена скорость точек поверхности в наивысшей точке эллиптической траектории. [c.52]

Поверхности, у которых все точки эллиптические, называются поверхностями положительной гауссовой кривизны (сфера, эллипсоид) поверхности, у которых все точки параболические,— поверхностями нулевой гауссовой кривизны (цилиндр, конус), и поверхности, имеющие только гиперболические точки,— поверхностями отрицательной гауссовой кривизны. [c.23]

При этом эллиптическими называются поверхности с /С°>0 для параболических поверхностей К°=0] гиперболические поверхности характеризуются отрицательными значениями гауссовой кривизны. В случае поверхности знакопеременной гауссовой кривизны говорят об эллиптических, параболических или гиперболических точках поверхности. [c.85]

Поверхности, имеющие лишь эллиптические точки, называют поверхностями положительной гауссовой кривизны, поверхности, имеющие лишь параболические точки, — поверхностями нулевой кривизны и поверхности, имеющие лишь гиперболические точки, — поверхностями отрицательной кривизны. [c.36]

Особенно важен второй инвариант. В зависимости от знака гауссовой кривизны точки поверхности относят к трем типам эллиптические К >0), параболические (УС = 0) и гиперболические К < 0). Вид окрестностей перечисленных типов точек показан на рис. 10.7. Поверхность, имеющую лишь эллиптические точки, называют поверхностью положительной (гауссовой) кривизны, параболические — нулевой и гиперболические — отрицательной кривизны. [c.152]

Касательная плоскость может иметь с поверхностью одну точку касания М (рис. ПО, П2,а). В этом случае все линии поверхности, пересекающиеся в данной точке, находятся по одну сторону касательной плоскости. При этом, если соприкасающийся параболоид в рассматриваемой точке является эллиптическим, то эту точку называют эллиптической. Поверхности, состоящие только из эллиптических точек, напри- [c.82]

Существуют кривые поверхности (гладкие), которые содержат все типы точек - эллиптические, параболические и гиперболические. Например, поверхность тора (кольца) содержит все типы точек (рис. 113, а). Точки М, расположенные на внещней, выпуклой части поверхности,-эллиптические точки Л -на внутренней вогнутой части тора-гиперболические точки Ь, лежащие на двух окружностях, разделяющих внешнюю и внутреннюю части поверхности,-параболические. На рис. 113,6-поверхность вращения, имеющая архитектурный профиль, называемый обратный гусек, также содержит все типы точек. [c.83]

Если соединить прямыми первую точку нижнего эллипса с восьмой точкой верхнего ИТ. д., то поверхность гиперболоида станет конической, если первую точку нижнего эллипса соединить с первой же точкой верхнего и т. д., то поверхность станет цилиндрической. Следовательно, эллиптическая, коническая и цилиндрическая поверхности являются частными случаями однополостного гиперболоида. Другой его частный случай возникает тогда, когда сечение поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее оси симметрии, становится не эллипс, а окружность. Такую поверхность мы рассмотрим ниже. [c.152]

Для построения линии пересечения поверхности вращения с поверхностью второго порядка общего вида, например сферы и эллиптической конической поверхности, удобно воспользоваться вспомогательным проецированием (рис. 381). Спроецируем коническую поверхность из вершины S на плоскость 2 ее проекцией будет эллипс fli = аГ (так как поверхность становится проецирующей). Рассечем сферу горизонтальной плоскостью Q и полученное се ни (окружность с центром А) спроецируем на ту же плоскость S. Отметим точки С и Di пересечения проекций сечения и конической поверхности проведенные через них проекции проецирующих прямых в точках Сг и Da пересекаются с прямой Qj.Найдем точки С и Di. Взяв новое сечение, повторим построения и т. д. [c.257]

Отсюда можно видеть, что асимптотические направления существуют лишь при iZii 2 = К <0. Поэтому в эллиптической точке поверхности асимптотических направлений не существует. [c.36]

Поверхности, состоящие только из эллиптических точек, например сферу, называют выпуклыми или поверхностями положи-тельнойкривизны. [c.133]

Поверхности, содержащие все тины точек, называют поверхностями двоякой кривизны. Например, поверхность тора ольца) Ф содержит все типы точек (рис. 167) точки окружностей I, I, по которым плоскости 2, 2 касаются Ф, — параболические точки М — на внешней части поверхности Ф между плоскостями Е, Е —эллиптические точки на внутренней полости поверхности кольца между плоскостями 2, 2 — гиперболические. [c.134]

W = (Ki + Ki) 12 VL К = К1К2 соответственно средней кривизной поверхности и полной (гауссовой) кривизной поверхности в рассматриваемой точке. Для эллиптических точек К > О, гиперболических К < О, параболических = 0. [c.143]

Можно показать, что входящие в (в) величины А к В положительны, так как должна быть полол<нтельной сумма + Отсюда можно сделать вывод, что все точки с одним и тем же расстоянием + лежат на эллипсе. Следовательно, если тела сдавливаются в направлении, нормальном к касательной плоскости в точке О, то поверхность контакта будет иметь эллиптическую границу. [c.417]

Уравнение F х, у - - = О определяет при /72 = 1 поверхность, получаемук> вращением кривой F (х, У) = 0 вокруг оси х. Если плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекается с этой поверхностью, то в сечении получается точка или окружность. При т ф I (но т фЩ эти окружности переходят в эллипсы. Поэтому отклонение m от единицы называется эллиптической деформацией поверхности вращения. [c.15]

Заметим в заключение, что параметр К = l/RiRi называют гауссовой кривизной поверхности. Прн этом точки поверхности подразделяются на эллиптические (К > 0), параболические (К = 0) и гиперболические (К <0). Поверхность, все точки которой эллиптические, называют поверхностью положительной гауссовой кривизны. Если же все точки параболические, то говорят, что поверхность имеет нулевую гауссову кривизну. Если же все точки гиперболические, то соответствующая поверхность имеет отрицательную гауссову кривизну. [c.22]

В рассмотренных примерах (рис. 350 и 351) касательная плоскость имеет с поверхностью одну общую точку. Если представить себе проходящие через эту точку кривые на поверхности, то эти кривые в окрестности точки касания располагаются по одну сторону от касательной плоскости. То же мы могли бы видеть на параболоиде вращения, на торе, образованном дугой (меньше полуокружности), вращающейся вокруг ее хорды, и др. Такие точки на поверхности называются дллиптическими. Если у поверхности все точки эллиптические, то эта поверхность выпуклая, например эллипсоид, показанный на рис. 350. [c.226]

Геометрическое место кинетических фокусов, сопряженных началу рассматриваемого пучка траекторий, представляет сопряженную этому началу фокальную поверхность. Так, в примере движения материальной точки в поле силы тяжести этой поверхностью служила парабола безопасности (14.19), а в случае эллиптического кеплерова движения — эллипс (16.35). От расположения этой фокальной поверхности относительно начала пучка зависит протяженность примыкающей к нему достаточно малой области , о которой выше говорилось. Ее граница определяется той поверхностью семейства Л = onst, на которой расположен ближайший к началу кинетический фокус. Нет нужды доказывать, что действие по Лагранжу на траектории, соединяющей начальное положение с конечным, расположенным за кинетическим фокусом, не является минимумом, так как доказательство свелось бы к дословному повторению сказанного в п. 12.3 и иллюстрируемого рис. 89. [c.750]

Построение кругового сечения на эллиптической конической поверхности (рис. 328). Построим сферу, которая касается в двух точках В и С поверхности конуса. При данном расположении конуса построение следует начинать с профильной проекции сферы. Ею будет окружность с произвольно выбранным центром Лз в точках Вз и Сз, касающаяся проекций очерковых относительно Пз образующих. Найдя точку Ла, построим фронтальную проекцию сферы и отметим точки Оа, 2, Рз и Яа ее пересечения с проекциями очерковых относительно Па образующих. Точки О, Е, Р к Н лежат во фронтальной плоскости, проходящей через ось конуса и центр сферы, поэтому являются общими для этих поверхностей. Точки Ви С лежат в профильной плоскости, проходящей через очерковые относительно Пз образующие, и также принадлежат обеим поверхностям. Сечением конуса фронтально-проецирующей плоскостью, проходящей через точки О к Е, является эллипс, а сферы — окружность. Точки О и Е представляют собой концы большой оси эллипса, совпадающей с диаметром окружности общим для обоих сечений являются точки В и С (так как лежат на обеих поверхностях), поэтому эллипс и в остальных точках совпадает с окружностью. Следовательно, сечением конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью, проходящей через точки О н Ей антипараллельнымему (проходящим через точки Р и Н), является окружность. [c.218]

Описанный прием можно использовать и в том случае, когда только одна из пересекающихся поверхностей образована вращением. На рис. 379 показаны пересекающиеся прямая круговая цилиндрическая и эллиптическая коническая поверхности. Возьмем произвольное круговое сечение эллиптической поверхности, проецирующееся на Пг в отрезок А В ,- Из его центра С восставим перпендикуляр к плоскости сечения до встречи с осью цилиндрической поверхности в точке О. Проведя сферу с центром в точке О радиуса АО = ВО, построим вторую линию пересечения сферы и конической поверхности (см. /138/), проецирующуюся в отрезок и линию пересечения сферы и цилиндрической поверхности она проецируется в отрезок 2 2. Отметим общие точки К и М (как и в предыдущем примере, каждая из точек Кг и Мг представляют собой проекцию двух точек). Возьмем другое сечение, параллельное АВ повторим построения и т. д. Линия пересечения проходит через точки пересечения очерковых образующих. Для приведенного примера справедливо /139/. Сечения конической поверхности, проецирующиеся в отрезки А2.В2 и Е2Р2, являются антипа-раллельнымн. Если бы нам не было известно расположение кругового сечения эллиптической поверхности, следовало бы вначале поступить, как показано на рис. 328, а уже затем проводить построение линии пересечения. [c.256]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...