Плоскости, касательные к поверхностям с эллиптическими точками

Плоскости, касательные к поверхностям с эллиптическими точками [c.273]

Ниже на конкретных примерах покажем построение плоскости, касательной к поверхности, с эллиптическими (пример 1), параболическими (пример 2) и гиперболическими (пример 3) точками. [c.178]

ПРИМЕР 1. Построить плоскость а, касательную к поверхности вращения /3, с эллиптическими точками. Рассмотрим два варианта решения этой задачи, а) точка М G и б) точка М Ц/i Вариант а (рис. 210). [c.143]

Примеры поверхностей с эллиптическими, параболическими и гиперболическими точками и проведенными к ним касательными плоскостями показаны на рис. 245 (на рис. 245, а точка М — эллиптическая, на [c.176]

Классификация точек поверхности. Если в точке М (и, с ) поверхности величина DD"—D 0, то точка называется эллиптической / j и У з — одного знака вблизи точки М поверхность расположена по одну сторону касательной. Если DD"—< О, то точка называется гиперболической, к R% — разных знаков. Поверхность пересекается касательной плоскостью в точке М, и вблизи этой точки поверхность имеет вид гиперболического параболоида. Если DD" — D 2 = О, то точка называется параболической. Rx или / г равен оо. [c.296]

Далее, найденное решение легко также обобщить на случай полого вала, предполагая, что внутренний контур полого сечения совпадает с одной из траекторий касательных напряжений соответствующего сплошного сечения. Это замечание действительно во всех случаях, а не только для эллиптического сечения, к которому мы применили его здесь. Именно, если мы предположим, что в сечении любой формы проведена одна из траекторий касательных напряжений, то она разделит сечение на внутреннюю и наружную части. Точно так же и цилиндрическая поверхность, сечение которой представляет рассматриваемая траектория касательных напряжений, разделит весь стержень на внутреннюю и внешнюю части. В сплошном стержне на границе между этими двумя частями никакие силы действовать не будут. Это вытекает из следующего во всех точках стержня мы имеем чистый сдвиг, и поверхность раздела проведена нами таким образом, что во всех точках касательная к ней плоскость совпадает с площадкой, на которой не действует никаких напряжений. [c.57]

Сперва предположим, что х — эллиптическая точка поверхности Р , Т — касательная плоскость к в точке х и соотношение (5) выполняется для поверхности в х. Тогда не только поверхность 9 лежит вся по одну сторону от вблизи точки х, но можно также построить параболоид вращения 9 с вершиной в X, имеющий касательной плоскостью и такой, что при достаточно малых Аг соответствующий кусок поверхности 9 Заключен между ним и плоскостью А именно, если [c.135]

Оптическая ось О О" лежит в плоскости падения под некоторым углом к преломляющей поверхности кристалла (рис. 17.21, а). Пусть на преломляющую поверхность кристалла падает плоский фронт волны АВ. Угол падения равен I. За время, в течение которого свет от точки В достигнет О на границе двух сред, в кристалле около А возникнут две волновые поверхности — сферическая и эллиптическая, соприкасающиеся друг с другом в направлении оптической оси АО. На рис. 17.21, а эллиптическая поверхность лежит внутри сферической, что соответствует случаю положительного кристалла. Около всех точек между А п О возникнут такие же волновые поверхности. По принципу Гюйгенса необходимо провести две плоскости, касательные к сфере (ОР) и эллипсоиду (ОЕ). Первая плоскость дает фронт преломленной обыкновенной волны, вторая — необыкновенной. Обыкновенные преломленные лучи Л , Со, Оо получим, проведя линии к точкам касания сферических поверхностей с плоскостью ОЕ. Колебания электрического вектора в этих лучах происходят перпендикулярно к плоскости главного сечения кристалла, которая совпадает с плоскостью чертежа (на рис. 17.21, а они отмечены точками). Необыкновенные преломленные лучи Ае, Се, Ое получим, проведя ЛИНИИ К точкзм касания эллиптических поверхностей с плоскостью ОЕ. В рассматриваемом случае они лежат в плоскости падения, но они не нормальны к волновому фронту. Колебания электрического вектора в необыкновенных лучах происходят в плоскости главного сечения кристалла (на рис. 17.21, а они отмечены стрелками). Таким образом, из рис. 17.21, а видно образование двух систем лучей — обыкновенных и необыкновенных, идущих в кристалле в разных направлениях. [c.48]

Из теоремы Лапласа вытекает одно весьма важное следствие. Пользуясь этой теоремой, можно составить компоненты по осям координат силы притяжения бесконечно тонким эллиптическим слоем точки лежащей на его внешней поверхности. Будем рассматривать слой относительно прямоугольных осей Oxyz (фиг. 471), имеющих Качалов центре эллипсоида. Замечаем, что толщина Е слоя может быть выражена с помощью длины перпендикуляра, опущенного из центра эллипсоида на касательную к нему плоскость в точке М. Проведем через М касательную плоскость к внешней поверхности слоя и опустим из начала координат О перпендикуляр О А на эту плоскость, длину которого назовем через h. Этот перпендикуляр будет лежать в одной плоскости с нормалью так как обе прямые параллельны. Вследствие этого легко убедиться в подобии прямоугольных треугольников ОАМ и N KMf имеющих по равному острому углу. Из их подобия следует соотношение МК MN = ОА ОЖ, откуда [c.761]

На рис. 379, а изображены две поверхности вращения второго порядка со скрещивающимися осями, параллельными П2 параболоид и конус. Найдем на обеих поверхностях подобные эллиптические сечения. Для этого впишем в параболоид сферу произвольного диаметра и параллельно перенесем конус так, чтобы сфера была вписана и в него. Построения проводим только на фронтальной проекции- фигур. Они сводятся к проведению касательных к окружности — проекции сферы, параллельных проекциям контурных относительно П2 образующих конуса. Вершина конуса 5 переместится в точку 5. Заданный параболоид и перемещенный конус пересекаются по двум эллипсам, проецирующимся на П2 в отр1езки прямых 2 2 и (см. /161/ и /162/). Сечения обеих поверхностей плоскостями, параллельными сечению А В (или СО), представляют собой эллипсы, подобные эллипсу АВ (или СО). Сказанное относится и к заданному конусу с вершиной 5, так как при параллельном перемещении поверхности фигура сечения не меняется. [c.143]

Можно показать, что входящие в (в) величины А к В положительны, так как должна быть полол<нтельной сумма + Отсюда можно сделать вывод, что все точки с одним и тем же расстоянием + лежат на эллипсе. Следовательно, если тела сдавливаются в направлении, нормальном к касательной плоскости в точке О, то поверхность контакта будет иметь эллиптическую границу. [c.417]

В качестве фиктивных нагрузок , как отмечалось выше, можно выбирать не только сосредоточенные силы, но и другие силовые особенности. Например, в [39] при рассмотрении задач о тонких включениях и трещинах используются наряду с сосредоточенными силами особен ности типа диполя. Описанный способ приводит, вообще говоря, к сингулярным ИУ. Метод особенностей позволяет получить и регулярные ИУ. Для этого можно поступить следующим образом. Рассмотрим со вокупность плоскостей, касающихся данного тела. Пусть Лм — та из них, которая касается тела в произвольной точке М. Поместим в точке М сосредоточенную силу Рм и вычислим напряжения и (или) смещения, возникающие при этом на месте границы 5 тела в полупространстве, ограниченном плоскостью Лл -. Проделав аналогичные вычисления при перемещении точки М по поверхности S и просуммировав вклады, соответствующие различным положениям касательной плоскости, придем, используя граничные условия, к регулярным ИУ по границе S тела относительно распределения сосредоточенных сил. Описанный прием применительно к задачам теории упругости предложен в [36]. Там же показано, что в двумерном случае возникают регулярные ИУ, эквивалентные ИУ Лаурйчеллы — Шермана [41], Подобный способ применяется при сведении к регулярным ИУ краевых задач для систем эллиптических дифференциальных уравнений общего вида и называется обычно методом полуплоскостей или методом замораживания. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...