Уравнения на торе с иррациональным числом вращения

Перейдем к изучению того случая, когда уравнение (10.1) имеет иррациональное число вращения. Как следует из теоремы 10,2, все интегральные кривые на торе незамкнуты. [c.160]

Теорема 10.9. Пусть число вращения 1 . иррационально, а множество Р совпадает со всем нулевым меридианом, тогда существует гомеоморфное преобразование 8 тора на себя, такое, что интегральные кривые уравнения [c.170]

Доказательство. Доказательство леммы мы будем проводить от противного. Предположим сначала, что число вращения 1 уравнения (11.1) иррационально. Возьмем произвольное е > 0. Сделаем относительно решения 6 = (ср, 0) уравнения (11.1) такие же предположения, как и при доказательстве леммы 11.1. Как было показано, тогда число вращения (Х уравнения (11.9) больше числа вращения (х уравнения (11.1). В силу теоремы 11.1 число вращения (15(е) уравнения (11.9) зависит от е непрерывно, и потому существует такое бо < е, что число вращения х (ед) рационально. Но ясно, что тогда не существует топологического преобразования тора R на себя, переводящего интегральные кривые уравнения (11.1) в интегральные кривые уравнения (11.9), в котором е = 5о ибо в противном случае при таком преобразовании незамкнутая кривая переходила бы в замкнутый цикл, что невозможно. Но тогда из определения 11.2 следует, что уравнение (11.1) не является грубым. Мы получили [c.180]

В этой главе исследуются качественные свойства типичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движения независимы. Найдены числа вращения касательных векторных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела — квазипериодическое движение, а собственное вращение и прецессия обладают главным движением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии узлов равно нулю. [c.148]

Согласно этому уравнению фаза ф2 вращается с постоянной скоростью. Это свойство, однако, связано лишь с рассматриваемым приближением с ростом надкритичности R — Rkp2 равномерность нарушается и скорость вращения по тору становится сама функцией ф2. Чтобы учесть это, добавим в правую сторону уравнения (30,6) малое возмущение Ф(ф2) поскольку все физически различные значения ф2 заключены в одном интервале от О до 2я, функция Ф(ф2)—периодическая с периодом 2я. Далее, аппроксимируем иррациональное отношение озг/м) рациональной дробью (это можно сделать со сколь угодной степенью точности) С02/С01 = Ш2//П1 + А, где mi, m2 — целые числа. Тогда уравнение принимает вид [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...