Скаляры, векторы, тензоры

В заключение отметим, что скаляры, векторы, тензоры второго ранга, а также более сложные объекты — тензоры более высоких рангов, могут быть объединены в общую систему и все рассматриваться. как тензоры разных рангов. Скаляр — как тензор нулевого ранга, вектор —как тензор первого ранга. При этом в пространстве п измерений тензор г-го ранга может быть [c.771]

Последняя строка показывает, что для любого инварианта (скаляра, вектора, тензора) ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. [c.145]

При решении конкретных задач в механике сплошной среды вводят различные физические величины скаляры, векторы, тензоры. Скалярные величины не зависят от системы координат. Векторы и тензоры характеризуются своими компонентами, которые изменяются при переходе от одной системы координат к другой. [c.524]

Определяющие соотношения. Основной этап в моделировании процессов деформирования заключается в выборе определяющих соотношений. Под процессом понимается задание некоторого геометрического объекта (скаляра, вектора, тензора и т. п.) или их комбинаций в некоторой частице среды как функций времени 1. Большинство параметров МСС могут быть разбиты на основные (деформация, температура, градиент температуры, изменение объема, электрическая или магнитная напряженности и т. п.) и на их потоки (напряжения, энтропия, вектор теплового потока, давление, электрическая и магнитная индукции и т.п.). [c.646]

Полагая в (1.78) последовательно А = (рС, А = ВхС, А —Т С (А. =, тр, С —произвольный постоянный вектор, а В и Т —переменные скаляр, вектор тензор второго ранга соответственно, получаем [c.96]

Функцию q , q , q 1) материальных координат и времени, будь то скаляр, вектор, тензор, вследствие однозначной разрешимости уравнений (7), можно рассматривать и как функцию или а , /), или (х , /). Конечно, вместо проекций г, К на оси можно говорить об их компонентах в любом векторном базисе и принять обозначение [c.12]

П.1. СКАЛЯРЫ, ВЕКТОРЫ, ТЕНЗОРЫ [c.199]

Среди многообразия физических величин по сложности их математического описания различают скаляры, векторы, тензоры [1, 34]. [c.199]

Дифференцирование скаляров, векторов и тензоров 29 [c.29]

Из изложенного выше ясно, что символ V широко применяется при введении различных величин. Этот символ V имеет также специальное название — оператор набла. Во избежание недоразумений важно помнить, что оператор, подразумеваемый под этим символом, зависит от природы величины, к которой он применяется в этом отношении он различен в применении к скалярам, векторам и тензорам. С другой стороны, в компонентной форме эта операция допускает общую формулировку при помощи кова-риантного дифференцирования тензора и-го ранга. Кроме того, следует подчеркнуть различие между операторами V и V., которые обозначают градиент и дивергенцию соответственно. [c.35]

Рассмотрим функцию al5 (т) единственного скалярного аргумента т,. который, в частности, можно интерпретировать как время. Значение может быть скаляром, вектором, точкой или тензором. [c.78]

При заданном времени наблюдения t и для заданной зависящей от времени величины 1 з (т) (значения которой могут быть скалярами, векторами или тензорами) можно ввести новую функцию г ) (s), определяемую как [c.98]

Конечно, простейший пример функции имеет место в случае, к гда как аргумент (или аргументы), так и значение функции являются скалярными величинами. Тем не менее распространение этого понятия на другие случаи оказывается интуитивно весьма несложным. В частности, мы трактовали тензоры как векторные функции векторных аргументов, обладающие специальным свойством линейности. Кроме того, мы встречались с функциями тензорных аргументов, значения которых могут быть скалярами, векторами или тензорами. [c.134]

Формулы преобразования скаляров, векторов и тензоров линейны относительно их компонент в новой и старой системах координат. Количество компонент скаляра равно единице, или 3 , количество компонент вектора равно трем,т. е. 3 количество компонент мультипликативного тензора (1.37) или (1.38) равно девяти, или 3 . Следовательно, количество N компонент скаляров, векторов и простейших тензоров в трехмерном пространстве определяется общей формулой [c.45]

По числу компонент — в случае вектора это три его проекции на оси координат — вектор можно рассматривать как тензор первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга. [c.116]

Определения скаляра, вектора и тензора [c.7]

Все величины (скалярные, векторные и тензорные) можно считать тензорами различного ранга. Скаляр—это тензор нулевого ранга, вектор—тензор первого ранга, > [c.523]

Скалярные, векторные и тензорные поля. Если каждой точке М части пространства (области V), занятой сплошной средой (деформируемым телом), в каждый момент времени i to (где — начальный, ti — конечный моменты времени) однозначно сопоставлена некоторая величина ф (например, температура, скорость, напряженное состояние), то говорят, что задано поле этой величины ф = ф (М, t). Если ф —скаляр, вектор или тензор, поле называется соответственно скалярным, векторным или тензорным. [c.50]

Совокупность величин — образует тензор с = Vo на единицу большей валентности, чем о, который называется градиентом тензора о. В частности, градиент скаляра — вектор. [c.212]

Тензоры обозначаются заглавными латинскими буквами, светлым курсивным шрифтом, например Р, Q, 8, Т компоненты тензоров — теми же буквами с индексами. Число индексов при компоненте определяет ранг тензора. Вектор по числу индексов можно рассматривать как тензор первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга. В дальнейшем будут применяться тензоры второго ранга, у компонент которых два индекса — Ррд, Qrs и т. д. [c.17]

Дифференцированием тензора в декартовых координатах образуются тензоры более высокого ранга. В общем случае дифференцирование скаляра (тензора нулевого ранга) по координатам вектора (тензора первого ранга) дает [c.530]

Формально V является вектором он может объединяться со скалярами, векторами или тензорами так же, как и обычный вектор кроме того, дифференцирует каждую часть величины, по отношению к которым он расположен слева. [c.16]

Тензор — более общее понятие, чем вектор, характеризуемый тремя составляющими. Скаляр есть тензор нулевого ранга, а вектор—тензор первого ранга. [c.45]

Физические величины (13). Скаляр - это тензор нулевого ранга (15). Аналитическое определение вектора (16). Тензоры 2-го ранга (18). [c.5]

Различные физ. величины нреобразуются иод действием Л. п. в зависимости от их свойств ковариантности. Наиб, употребительными являются четырёхмерные скаляры, векторы, тензоры, спиноры. Примером (антисимметричного) тензора второго ранга является тензор ЭЛ.-магн. поля, элементы к-рого представляют собой нространств. компоненты напряжённостей электрич. [c.609]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

В алгебре все операции были относимы к фиксированной точке, введение криволинейных координат и векторного базиса (4) соответствует переходу к изучению поля—сравнению величин (скаляров, векторов, тензоров) в различных точках трехмерного евклидова пространства 3, В нем возможно задание положения любой точки, как это сделано выше, в единой декартовой систем OXYZ. [c.466]

Проведение вычислений над тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной структуры. Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) обусловлено прису-Ш.ИМИ ему свойствами оно определяется с помош,ью набла-оператора — в символической записи й ( ) = йг-у ( ) Иначе обстоит дело с компонентами, их изменение зависит еш,е от внесенного в рассмотрение базиса. Например, пусть а—постоянный вектор, йа = 0, но а или а вовсе не постоянны вследствие изменяемости базиса. Обратно, при постоянных компонентах вектор а не остается неизменным по величине и направлению. Требуется поэтому ввести в рассмотрение характеристики изменяемости тензора, сочетаюш,ие учет изменяемости как его компонент, так и базиса, к которому они отнесены. Это достигается операцией ковариантного ( абсолютного ) дифференцирования. [c.472]

В трехмерном пространстве тензоры второго ранга иногда полезно представлять квадратными матрицами третьего порядка, а тензоры первого ранга (векторы)—матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Хотя скаляры, векторы и тензоры второго ранга можно представлять матрицами, не каохдая матрица представляет собой тензор. Вследствие этого для тензорных величин вместо [c.17]

Итак, абсолютные скаляры, векторь и мультипликативные тензоры являются тензорами различных рангов. Абсолютные скаляры — тензоры нулевого ранга, векторы — тензоры первого ранга, мультипликативные тензоры (1.37) и (1.39)—тензоры второго ранга. [c.45]

Можно было бы сказать, что скаляр представляет собой тензор нулевого ранга, вектор—тензор первого ранга, а инертные свойства твердого тела характеризуются симметричным тензором, второео ранга. [c.561]

II вообще осреднение по фазам не меняет тензорного характера и тензорного ранга осредняемых величин, а именно скаляр остается скаляром, вектор — вектором, тензор 2-го ранга — тензором 2-го ранга, симметричный (антисимметричный) тензор остается соответственно симметричным (аитисиммет-ричиым). [c.50]

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме-, все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерпом пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. [c.219]

Осн. объектами тензорного исчисления являются скаляры, векторы и тензоры разных рангов, к-рые преобразуются по определ. эакона.м при переходе о1 одной координатной системы к другой (см. Тензор). [c.190]

В кристаллах кубической системы (таких, как каменная соль Na l, флюорит Сар2, алмаз Сит. д.) все три главных направления диэлектрического тензора физически эквивалентны, поэтому главные значения в , Еу и в. одинаковы. Это значит, что тензор b вырождается в скаляр (векторы Е и D всегда совпадают по направлению) и кристаллы кубической системы в отношении оптических свойств ведут себя как изотропная среда. В отношении других свойств, выражаемых тензорами более высокого ранга (например, упругих), кубические кристаллы анизотропны. Оптическая анизотропия кубических кристаллов появляется только при учете очень слабых эффектов пространственной дисперсии, описываемых тензором четвертого ранга (см. 2.9). [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...