Общее рассмотрение сходимости

Общее рассмотрение сходимости [c.108]

Здесь изложена лишь общая идея численного решения уравнений Навье—Стокса. При его реализации возникают частные вопросы, требующие более подробного рассмотрения. Одним из важнейших является вопрос об устойчивости и сходимости вычислительного процесса, который подробно изложен в работе [18]. 324 [c.324]

Третью группу составляют работы, в которых решение строится методом малого параметра. В общем виде такой подход с доказательством сходимости рассмотрен в [1,93]. Различные конкретные задачи решались таким путем в [8, 63, 102, 148, 218, 219, 220, 237]. Допущение о малости параметров, входящих в функцию, описывающую неоднородность тела, существенно использовано в [30, 92, 161] для построения асимптотических решений. [c.43]

Известно [2], что поставленная для уравнения (2) задача имеет обобщенное решение, характеризуемое конечной скоростью распространения возмущения, обусловленного краевым режимом (4). В [3] для уравнения (2) при 7 = 1 (изотермический газ) был предложен конструктивный метод нахождения обобщенного решения поставленной задачи для аналитической f t). Там же были построены ряды с полиномиальными по t коэффициентами и сформулирована теорема сходимости этих рядов. Целью настоящей работы является получение двух типов решений уравнения (2), доказательство теорем сходимости соответствующих рядов при более общих, чем в [3] условиях, а также анализ двух классов точных решений (2), которые получаются при некоторых конкретных предположениях о законе изменения скорости распространения по нулевому фону возмущений. При этом метод рассмотрения — обратный, функция f t) не задается заранее, а определяется в процессе решения задачи. [c.269]

Основным аппаратом исследования явлений дифракции при рассмотрении периодических препятствий наиболее общего типа являются прямые методы построения решения с их последующей реализацией на ЭВМ [7, 42—52, 74, 121—130]. Главное их достоинство — универсальность, так как формальные ограничения на конфигурацию рассеивателей в большинстве из них отсутствуют. Однако практическая реализация прямых методов наталкивается на ощутимые трудности, связанные со сложностью обоснования достоверности окончательных результатов, медленной сходимостью, в ряде случаев отсутствием сходимости приближенных решений к точному и явлениями неустойчивости соответствующих алгоритмов. Эффективность прямых методов особенно резко падает при наличии ребер на контурах поперечного сечения образующих решетки и расчете амплитуд высших пространственных гармоник поля. Обычно прямые численные подходы требуют большого объема вычислений и даже на современных ЭВМ уже при I > X трудно получить с их помощью исчерпывающие данные о каком-либо дифракционном эффекте или явлении. [c.9]

Как показано в [65], подход, основанный на применении интегралов типа Коши, может быть использован также при решении краевых задач линеаризованной плоской теории упругости для многосвязных областей. Для таких задач может быть применен метод, известный в литературе [41, 63, 65, 135] как метод последовательных приближений Шварца. Этот метод представляет собой итерационный процесс, на каждом шаге которого решается граничная задача для односвязной области, ограниченной одним из контуров, составляющих границу Г данной многосвязной области, причем от шага к шагу номер контура меняется. В более общем виде (без привязки к методу Колосова-Мусхелишвили) метод Шварца рассмотрен в приложении IV. Сходимость этого метода для плоских задач теории упругости доказана [85. [c.80]

Таким образом, мы получим формальный метод интегрирования уравнений помощью рядов типа (2) вопрос о сходимости этих рядов, а также вопрос о том, удовлетворяют лн они диференциальным уравнениям, подлежит конечно особому рассмотрению. Сам собой напрашивается также вопрос об однозначности решений типа (2) можно определенно утверждать, что для достаточно малых значений X однозначность имеет место. В общем виде ее заведомо не существует, кгк это видно из простого примера, который в то же время поясняет физическое значение случаев наличия в решениях точки разветвления. Мы знаем, что прямолинейный стержень, сжатый некоторой силой в продольном направлении, при достаточной нагрузке, т. е. при достаточно большом X, претерпевает изгиб, т, наряду с неустойчивой прямолинейной [c.167]

Числовые приложения этих рассмотрений к планетной системе сопряжены с немалыми трудностями. Метод Коши, использованный в теореме о существовании, в общем случае дает слишком малые значения радиуса сходимости. Он все-таки будет, вероятно, достаточным, чтобы можно было доказать, что разложения по степеням фактически встречающихся в планетной системе масс остаются сходящимися не только в весьма малой области. Вероятно, можно отыскивать лучшие вспомогательные функции, которые позволяют более точно определить область сходимости. [c.499]

Решение уравнений (10.1) — (10.2) составляет задачу исключительной сложности, и общих рецептов здесь в настоящее время дать нельзя. В этом параграфе мы изложим простейший приближенный способ вычисления функций Грина [16], [17], основанный на разложении массового и поляризационного операторов в ряды по степеням константы связи с последующим улучшением сходимости с помощью группы перенормировки. (Предполагается, что с помощью введения той или иной системы единиц константа связи g сделана безразмерной.) Подчеркнем сразу же, что этот прием — даже при достаточно малой константе связи — имеет лишь ограниченную область применимости, ибо исключает из рассмотрения зависимости, не аналитические по g при >0 (важнейший пример задач последнего типа составляет теория [c.94]

То что мы установили в этом параграфе для задачи Дирихле, легко распространяется на все другие задачи, рассмотренные в предыдущих параграфах. Однако так как эти результаты не решают в общем случае вопрос о сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не будем рассматривать другие задачи, и снова, сославшись на хорошие результаты, обнаруженные на численных примерах, свидетельствующие о возможности получения общего доказательства сходимости, дадим в следующих параграфах еще один способ приближенного решения интересующих нас задач, родственный первому и для которого удается доказать сходимость. [c.394]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

Методы интегральных уравнений следуют из идей, упомянутых в гл. 1. Можно считать, что они дают математическое описание прохождения луча через кристалл. Падающая плоская волна последовательно рассеивается в кристалле, и многократно рассеянные компоненты суммируются согласно их относительным амплитудам и фазам, образуя выходящие волны. При использовании рядов Борна уравнения (1.17) и (1.22) можно интерпретировать как описание рассеяния последовательными элементами объема. Падающая волна (член нулевого порядка) рассеивается каждым элементом объема кристалла, что дает амплитуду однократно. рассеянной волны (член первого порядка), которая вновь рассеивается каждым элементом объема, что дает дважды рассеянную волну, и т. д. Это приближение для дифракции электронов использовал Фудзивара [149]. Хотя сходимость рядов Борна заведомо плохая, Фудзивара смог получить решения в виде рядов для рассеяния на кристалле. Эти решения позволили сделать важные общие выводы, включая характер модификаций теории рассеяния, требуемых при рассмотрении релятивистских эффектов для падающих электронов с высокой энергией [150]. [c.174]

На различных участках прессуемого металла величина К неодина-кова в связи с неодинаковым температурным и напряженно-деформированным -состоянием этих участков. -Поэтому соответственно основным участкам прессуемого металла в рассмотренных формулах применяются разные значения для К, а именно Ккр Км.б Км-п, Км-к и Км-с и при них в соответств-ующих местах в качестве множителей коэффициенты трения /к, которые в общем случае не равны между собой. Естественно, что сходимость результатов вычислений по всем приведенным формулам в очень большой мере зависит от правильности назначений всех перечисленных величин. [c.210]

Более общий подход к сходимости использует запись фуикционала в виде суммы вкладов. В результате производные в функционале вычисляются ие дифференцированием по области а дифференцированием на каждом элементе по отдельности, что позволяет обойти проблему разрыва производных прн пере-, ходе через границу между элементами. Поэтому сходимость даже несогласованных элементов может быть исследована иа основе того, стремится ли функционал (вычисленный описанным способом) к истинному значению по мере стремления к нулю размера элемента. Анализ сходимости наиболее удобным образом формулируется в терминах гильбертовых пространств и энергетических, норм. Оливейра [16] с использованием последнего подхода продемонстрировал, что для класса задач, рассмотренных выше, можно быть уверенным в сходимости метода Ритца, еслн и в пределах элемента аппроксимируется полным полиномом вплоть до порядка р (где р —порядок наивысшей производиои в функционале) прн условии, что требование согласованности. выполняется. То, что полнота ) и согласованность являются достаточными условиями сходимости, было подтверждено Оденом [И] с помощью более общего анализа того же самого класса задач. [c.173]

Акустика — линейная модель газодина.мики. В общем случае исследовать устойчивость разностных схем газовой динамики не удается в силу больших трудностей, порождаемых нелинейностью уравнений. Это обстоятельство вынуждает ограничиться рассмотрением линейного приближения газовой динамики — акустикой (см. 4 гл. I). Таким образом, о сходимости разностной схемы газово динамики приходится судить по тому, как эта схема работает в частио.м случае акустики, т. е. насколько хорошо схема воспроизводит процесс распространения малых возмущений. [c.156]

Классы воздействий, для которых устанавливается сходимость реакций потока, можно расширить, если ввести в рассмотрение класс Vo всех функций ф с ограниченной (общей для всех S Vo константой) вариацией (Уагф) и классы V,-(/> 1) всех функций (f В, каждая из которых имеет ограниченную (общей для всех ф V-, константой) вариацию i-й обобщенной производной. [c.167]

Вместе с тем при изучении стоксовского течения в угловой области обнаружена бесконечная система вихрей. Функция тока / стоксовского течения подчиняется би-гармоническому уравнению. Его решение при / = О и нулевой нормальной производной от / на границах угловой области получено в [4, 5]. В [5] доказана полнота найденной системы функций в частном случае параллельных стенок. Там же содержится утверждение о полноте и в угловой области. Подробное рассмотрение структуры стоксовских течений в угловых областях проведено в [6]. Авторы работ [7, 8] независимо от [5] вьшели условия сходимости рядов по упомянутым функциям при решении одной краевой задачи для бигармонического уравнения в полуполосе. В приведенном в [8] приближенном решении задачи о течении в прямоугольной каверне показаны возникающие в углах области вторичные вихри. В [9] вихревые системы в угловых областях получены как частный случай решения более общей задачи. [c.62]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...